Функции Грина и их спектральные представления

Отсюда получаем соотношения, связывающие функции Грина в частотном представлении (Фурье) (9.21) и (9.22) со спектральной плотностью 1 [c.168]

Спектральная плотность. Начнем с того, что получим так называемое спектральное представление для корреляционных функций и функций Грина. [c.360]

Спектральное представление функции Грина A- A2))z легко находится из выражения (5.1.40) с помощью замены коммутатора [Л ( ), Л2] на [АЛ ( ), A 2( )] и последующего спектрального разложения усредненных произведений. В результате получаем формулу [10] [c.361]

Хотя сами по себе спектральные представления (5.2.9) и (5.2.10) не облегчают вычислений, поскольку спектральная плотность — весьма сложная функция частоты, они очень полезны при обсуждении общих свойств корреляционных функций и функций Грина. Отметим, например, что формулы (5.2.9) и (5.2.10) определяют аналитическое продолжение функций (5.1.32) и (5.1.40) из верхней комплексной полуплоскости 2 в нижнюю. Таким образом каждую из этих функций можно рассматривать как единую аналитическую функцию, состоящую из двух ветвей, одна из которых определена в верхней, а другая в нижней полуплоскости комплексной переменной 2 . [c.361]

Соотношения симметрии. Исходя из спектральных представлений (5.2.9) и (5.2.10), можно установить важные свойства симметрии корреляционных функций и функций Грина, следствием которых являются аналогичные свойства обобщенных восприимчивостей и кинетических коэффициентов. [c.361]

Из спектральных представлений (5.2.8) и (5.2.9) находятся соответствующие свойства симметрии корреляционных функций и функций Грина [c.364]

Дисперсионные соотношения. Покажем теперь, что из аналитических свойств корреляционных функций и функций Грина, которые отражены в спектральных представлениях (5.2.9) и (5.2.10), следуют точные интегральные соотношения между действительными и мнимыми частями восприимчивостей и кинетических коэффициентов. [c.366]

До сих пор мы использовали спектральные представления корреляционных функций и функций Грина для того, чтобы изучать свойства восприимчивостей и кинетических коэффициентов, исходя из свойств спектральной плотности. Теперь мы взглянем на те же самые представления с противоположной точки зрения, т. е. воспользуемся ими, чтобы выразить спектральную плотность через восприимчивости или кинетические коэффициенты. [c.370]

Получим теперь спектральные представления для термодинамических функций Грина. Пусть i) и — собственные состояния и собственные значения оператора энтропии ), т. е. [c.14]

Подставим теперь выражения (6.1.32) и (6.1.33) в (6.1.19) и выполним преобразование Фурье (6.1.26). Интеграл по х = х — Х2 легко вычисляется и мы приходим к спектральному представлению для термодинамической функции Грина [c.15]

Символом обозначена процедура упорядочения, в результате которой операторы располагаются слева направо в порядке убывания значений переменной х. Для ферми-систем, как и раньше, вводится множитель г] = (—1) , где V — число перестановок фермиевских операторов при упорядочении. Благодаря инвариантности следа относительно циклической перестановки операторов, функция (6.1.44) зависит фактически от п — 1 независимых переменных. Выполняя фурье-преобразование по этим переменным, можно выразить функции типа (6.1.44) через спектральные плотности, зависящие от нескольких частот. Впрочем, для практического вычисления средних значений такое представление менее удобно, чем спектральное представление функций Грина (6.1.19). [c.16]

Вернемся к спектральному представлению (6.1.37) для равновесной временной функции Грина и выразим спектральную плотность через термодинамиче- [c.32]

Как мы уже отмечали, спектральное представление (6.1.37) позволяет аналитически продолжить запаздывающую функцию Грина в верхнюю полуплоскость комплексной переменной 2 . Поэтому, согласно формуле (6.2.38), диэлектрическую проницаемость [c.34]

Начнем с того, что найдем связь равновесных кинетических коэффициентов (6.2.43) с термодинамическими функциями Грина. Как и в случае с обобщенной восприимчивостью, удобно воспользоваться спектральным представлением для равновесных временных корреляционных функций, которое было получено в разделе 5.2.1 первого тома [c.36]

ФУНКЦИИ ГРИНА и их СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 29 [c.29]

Таким образом, в данном случае правильнее было бы называть функцией Грина не а вспомогательную величину Д функция же Ос получается из с помощью дифференциального оператора /. Очевидно, для Д справедливы спектральные представления и дисперсионные соотношения, установленные ранее для 0 . Мы, однако, сохраним за название функция Грина , имея в виду, что это не может повести к каким-либо недоразумениям по существу. [c.67]

Спектральное представление парной функции Грина. Речь в этом параграфе будет идти об аналитических свойствах многочастичных спиновых функций Грина, определенных выражением [c.46]

Выражение (4.8) является стандартным спектральным представлением температурной функции Грина [1] с веш ественной спектральной плотностью р12(-3 )- [c.47]

Из соотношений (4.14) и (4.15) следует, что запаздывающая функция Грина аналитична в верхней, а опережающая — в нижней полуплоскости. Сравнение спектральных представлений (4.8) и [c.48]

Используя спектральное представление для функции Грина [c.53]

Точные свойства функции Грина к ) в релятивистской теории могут быть получены из спектрального представления Лемана [c.62]

Согласно спектральным представлениям для запаздывающей и температурной функций Грина [46] фурье-компонента. .(к, (о) функ- [c.69]

Используем спектральное представление температурных функций Грина (4.8) и просуммируем по частотам (О1 и сог с помощью формул (4.24) и (4.25), Эти суммы вычислялись уже в связи с гра- [c.70]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Флуктуационно-диссипационную теорему Кэллена—Вельтона для кинетических коэффициентов можно получить из спектрального представления (9.54) функций Грина аналогично тому, как это было сделано выше для восприимчивости. Так, для симметричной спектральной плотности [c.177]

Напомним, что в теории линейной реакции используются коммутаторные функции Грина, которые связаны с обобщенными восприимчивостями. Если rj = —1, то формула (6.1.36) аналогична спектральному представлению для так называемой антикоммутаторной функции Грина [3, 10]. [c.15]

Во-первых, представление о квазиодночастичном характере некоторых ветвей энергетического спектра системы многих тел возникает в теории без каких-либо предположений специального типа. Оно в общем виде вытекает из спектральных теорем 3—5, касающихся связи особых точек функций Грина с величинами, определяющими эволюцию системы во времени. Эти теоремы справедливы при весьма общих предположениях, и поэтому данное обоснование идеи об элементарных возбуждениях не связано с какими-либо аппроксимациями и в указанном смысле является окончательным. [c.14]

Во-вторых, в этом параграфе мы ограничились только двухвременными величинами, поскольку они достаточны для решения конкретных задач, рассмотренных в этой книге. Можно, однако, получить спектральные представления и для многовременных функций Грина (см. приложение IV). [c.34]

Прежде всего, как уже отмечалось выше, сам факт существования квазиодночастичного спектра возбужденных состояний непосредственно вытекает из общих спектральных теорем 3—5, устанавливающих связь энергетического спектра системы с особыми точками одно- и двухчастичных функций Грина [см. замечания к (5.1), (5.25), (9.18), (9,19)1. В этом смысле представление об элементарных возбуждениях обосновывается точно, без всяких аппроксимаций. Следует, однако, иметь в виду, что одного лишь квазиодночастичного характера спектра еще недостаточно для полного обоснования гипотезы элементарных возбуждений в том виде, в каком она обычно употребляется. Надо еще показать, что термодинамические величины, связанные с данной ветвью энергетического спектра, можно вычислять по формулам теории идеального газа. В 9 и 12 мы видели, что в условиях применимости билинейных разложений типа (9.26) это действительно имеет место [см. равенства (9.31), (9.33) и (12.38)1. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...