Приближение Эйнштейна

Менее ясным является вопрос о виде D( o). Для его определения пришлось прибегнуть к дополнительным приближениям. Наиболее часто используются приближения Эйнштейна (1907) и Дебая (1912). [c.223]

В приближении Эйнштейна полагают, что все 3N осцилляторов одинаковы. Это означает, что [c.223]

Полученные результаты означают, что найденная в приближении Эйнштейна теплоемкость численно согласуется с экспериментом при комнатных и высоких температурах и в качественном согласии с экспериментом убывает при понижении температуры. Однако закон убывания v T) отличается от экспериментально наблюдаемого для твердых тел. [c.223]

Получить выражение для низкотемпературной теплоемкости одномерной цепочки в приближении Эйнштейна и Дебая. [c.227]

При высоких температурах (Йа /гв Т) в приближении Эйнштейна [c.231]

Если допустить, что частоты всех фононов в каждой из фаз одинаковы (это соответствует приближению Эйнштейна), то [c.253]

Пусть разность энергий двух фаз при О К составляет 10-з эВ. Каким должен быть скачок частот (в приближении Эйнштейна), чтобы полиморфное превращение происходило при 800 К [c.273]

Размер зерна, НМ Приближение Дебая Приближение Эйнштейна [c.62]

Рис. 45. Теплоемкость в приближении Дебая (сплошная кривая) и в приближении Эйнштейна (пунктирная кривая).

Если ввести температуру Эйнштейна б , соответствующую температуре Дебая, и множитель 3, соответствующий трем оптическим ветвям, то для приближения Эйнштейна получим [c.144]

Выражение (11.2.17) описывает в дипольном приближении коэффициент Эйнштейна для спонтанного испускания (поскольку [c.267]

Используя (11.2.18), (3.2.9) и (3.2.12), можно получить в дипольном приближении коэффициенты Эйнштейна также для процессов поглощения и вынужденного испускания. Величина [c.267]

В начале текуш его столетия были заложены основы квантовой физики. Вскоре после этого Эйнштейн [75], Борн и Карман [76] и Дебай [77] применили принципы квантовой теории для объяснения результатов, полученных при измерении теплоемкости твердых тел. Б несколько более поздней работе Эйнштейн [78] признал, что его первоначальное предположение о наличии одной частоты колебаний у всех атомов твердого тела не может рассматриваться как точная физическая модель. Тем не менее его первую работу характеризует глубокое понимание основных особенностей теплоемкости, что полностью оправдывает использование в качестве первого приближения сравнительно грубой первоначальной модели. Теоретическим результатом первостепенной важности было введение представления о свойственной каждому веществу характеристической температуре 0, выше которой тепловое движение полностью нивелирует индивидуальные особенности любой решетки и поэтому действительна универсальная классическая формула Е = 31 кТ. При температурах ниже в теплоемкость, а также многие другие экспериментально определяемые свойства твердых тел весьма критическим образом зависят от особенностей данной решетки. Так, например, аномальная теплоемкость алмаза, значительно меньшая классического значения, в свете этой теории получает прямое объяснение как результат высокой характеристической частоты колебаний решетки v (это подтверждается также исключительной твердостью алмаза). Характеристическая температура алмаза в (A 0=/zv) много выше комнатной температуры, а потому и его теплоемкость при комнатной температуре много ниже значения, которое следует из закона Дюлонга и Пти. Иными словами, алмаз при комнатной температуре находится в низкотемпературной области . [c.186]

Воспользовавшись приближением идеального газа, которое приводит к правильному порядку величины температуры конденсации Бозе —Эйнштейна I случае тяжелого изотопа, можно показать, что изменения в восприимчивости произойдут при вполне достижимых температурах. Для газа Ферми— Дирака с атомной массой Не и плотностью жидкого Не температура вырождения равна 5° К. Однако первые измерения, проведенные в области температур выше 1°К, не дали указании на какое-либо упорядочение спинов [c.816]

В данном параграфе будут изложены приближенные теории теплоемкости Эйнштейна и Дебая, основанные на рассмотрении колебаний кристаллической решетки, для неметаллических кристаллов. [c.35]

В квазиклассическом приближении, когда все величины медленно изменяются на расстояниях порядка длины волны частицы (т. е. когда состояние частицы определяется координатой и импульсом, но ее импульс и энергия дискретны, частицы квантово неразличимы и удовлетворяют принципу Паули), можно пользоваться кинетическим уравнением Больцмана. Как мы увидим в следующей главе, учет квантовых свойств частиц в этом случае состоит в использовании для приближенного вычисления члена столкновений равновесной функции распределения Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна. [c.135]

Связь аналитической механики и современной физики. Два великих достижения современной физики теория относительности и квантовая механика — теснейшим образом связаны с аналитической механикой. Теория относительности Эйнштейна революционизировала все области физики. Было показано, что ньютонова механика справедлива лишь приближенно для скоростей, малых по сравнению со скоростью света. Однако аналитический метод, основанный на использовании принципа наименьшего действия, остался неизменным. Модифицирована была лишь функция Лагранжа получение же дифференциальных уравнений движения из принципа минимума осталось. Действительно, полная независимость вариационного принципа от какой-либо специальной системы отсчета делала его особенно ценным для построения уравнений, удовлетворяющих принципу общей относительности. Этот принцип требует, чтобы основные уравнения природы оставались инвариантными при произвольных преобразованиях координат. [c.394]

Первый член формулы Эйнштейна дает постоянное, не зависящее от температуры приближенное значение теплоемкости, которое учитывает только энергию поступательного и вращательного движения молекул. Второй член, учитывающий энергию внутримолекулярных колебаний, вычисляется на основании экспериментальных спектроскопических данных, характеризующих частоты внутримолекулярных колебаний. [c.37]

Вернемся теперь к вопросу, поставленному нами в начале 34 являются ли частицы одного сорта (электроны, фотоны, атомы и т. д.) тождественными или они могут немного отличаться друг от друга. Ответ на этот вопрос следует из того, что, как показывает сравнение с экспериментом, в природе для всех частиц справедливы распределения Бозе - Эйнштейна или Ферми - Дирака, а распределение Максвелла - Больцмана оказывается лишь приближенно справедливым в предельном случае малых чисел заполнения. Это значит, что микрочастицы одного сорта являются неотличимыми и уж тем более тождественными. [c.187]

Мы можем при малых числах заполнения приближенно считать частицы различимыми и перейти от формул распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми -Дирака к формулам статистики Максвелла - Больцмана. Критерий возможности такого перехода был рассмотрен нами в 37. [c.198]

Ввиду явной важности размера частиц в определении характеристической вязкости желательно изучить данные, которые могли бы оказаться уместными. Вязкость водных растворов сахарозы была точно определена в широком диапазоне концентраций. Молекула сахарозы представляет собой с точки зрения размера нижний предел, когда еще можно ожидать применимости континуальной теории. В оригинальной работе Эйнштейна фактически использовались данные по растворам сахара в качестве метода определения размера молекулы сахара. Эйнштейн заметил, что, как было установлено экспериментально, удельный объем сахара в растворе такой же, как для твердого сахара, и принял в качестве приближенной модели, что молекулы сахара образуют суспензию мелких сферических частиц. Он нашел, что характеристическая вязкость раствора равна 4,0 вместо 2,5. Это расхождение Эйнштейн объяснил, предположив, что молекула сахара, находящаяся в растворе, ограничивает подвижность непосредственна примыкающей к ней воды, так что количество воды, по объему равное примерно половине объема молекулы сахара, оказывается связанным с этой молекулой (4,0/2,5 = 1,6). Кажется также пригодным и такое объяснение, что значение 2,5 для постоянной Эйнштейна может оказаться заниженным для столь мелких частиц. [c.540]

Приближенными расчетами установлено, что вблизи температуры плавления атом совершает диффузионные скачки в среднем десять миллионов раз в секунду (Г 10 с ). Согласно А. Эйнштейну, диффузионный путь атома [c.146]

Вязкость ползучести т]с цементного раствора может быть в первом приближении вычислена из следующего модифицированного уравнения Эйнштейна [c.200]

Зная коэффициент диффузии кислорода, его концентрацию и величину предельного диффузионного тока (/д), по этому уравнению можно рассчитать толщину диффузионного слоя. Однако не для всех диффундирующих частиц и электролитов мы располагаем данными о величине коэффициента диффузии. Поэтому при расчете его величины можно с некоторым приближением воспользоваться известным уравнением Эйнштейна, определяющим соотношение между коэффициентом диффузии и другими характеристиками раствора и диффундирующей частицы [c.112]

Причина лучшего в этом случае по сравнению с приближением Эйнштейна согласия с экспериментом легко объяснима и состоит в том, что при низких температурах возбуждаются в основном низкочастотные акустические фононы, спектр которых совпадает сдебаевским. Стоит отметить, что дебаевское приближение широко используется во многих разделах физики твердого тела, [c.225]

Для основного состояния системы фактор Дебая — Уолера можно представить в более удобном виде. В этом случае значение (бг ) определяется нулевыми колебаниями фононного поля. Для выполнения вычисления можно использовать приближение Де<бая, разложив бго по нормальным модам, каждая из которых находится в основном состоянии. Вычисления, однако, несколько упрощаются,, если воспользоваться приближением Эйнштейна. При этом мы заменяем излучающее ядро гармоническим осциллятором с частотой о) . Среднее значение кинетической энергии равно тогда [c.478]

Классическая механика Ньютона развивалась на протяжении XVIII — XIX вв., а в XX в. этот процесс развития привел к современной теории относительности, в которой законы классической механики рассматриваются как асимптотические приближения, вытекающие из более общих закономерностей. Однако классическая механика сохраняет огромное практическое значение и теперь, так как отклонения от законов Ньютона, найденные Альбертом Эйнштейном, количественно невелики, если движение тела происходит со скоростью, значительно меньшей, чем скорость света в пустоте, и когда вблизи движущегося тела нет огромных скоплений материи, которые, например, сравнимы с количеством материи Солнца. В современной технике преимущественно применяется классическая механика, за исключением тех случаев, когда, например, требуется исследовать движение элементарных частиц электронов и др., которые движутся со скоростями порядка скорости света в пустоте. По-видимому, аналогичные задачи могут возникнуть также при развитии космонавтики. [c.21]

Как будет выяснено в гл. XXXI, система механики Ньютона является частным случаем релятивистской механики Эйнштейна, примененной к движениям в областях, малых по масштабу по сравнению с масштабами Вселенной, и со скоростями, малыми по сравнению со скоростью распространения света в пустоте. Такое приближение совершенно достаточно для земной практики, включая и современные космические полеты ракетных аппаратов с их пока еще сравнительно малым удалением от Земли и малыми по сравнению со скоростью света скоростями. [c.11]

Космология по Ньютону . Выше уже отмечалось, что силы тяготения определяют движения планет и Галактик, эволюцию Вселенной в целом. Нельзя ли, используя законы Ньютона, попытаться построить хотя бы приближенную модель дш1амики Вселенной Это представляется возможным, но на это впервые указали английские астрофизики Э. Милн и В. Маккри всего лишь в 1934 г., т. е. спустя почти 250 лет после Ньютона. Парадоксально, но модель динамики Вселенной могла быть построена еще Ньютоном. Вероятнее всего, это не было сделано в силу прочно укоренившегося еще со времен Древней Греции представления о неизменности, стационарности Вселенной. О динамике Вселенной долгое время никто даже и не догадывался. Поэтому излагаемая ниже космология по Ньютону появилась уже после создания А. Эйнштейном в 1917 г. общей теории относительности, после теоретического предсказания А. Фридманом в 1922 г. расширения Вселенной, после экспериментального подтверждения этого явления в 1929 г. американским астрономом Э. Хабблом. Ньютоновская космологическая модель дает первый набросок эволюции Вселенной, раскрывает новые грани в раскрытии физической сущности гравитационной постоянной. [c.58]

Постоянная Грюнейзена [2] = VIkr v, где Р — объемный коэффициент температурного расширения v — теплоемкость тела при постоянном объеме kr—изотермический коэффициент сжимаемости, слабо зависит от температуры й объема. Тепловая энергия решетки в первом приближении равна =(3/2)ЛГ (для одного моля вещества), ее значение может уточняться в рамках теории твердого тела (Дебая, Эйнштейна и др.). [c.315]

Если мы будем рассматривать постоянную е как величину первого порядка (квадратом которой можно пренебречь), то к уравнению (26 ) можем прийти, применяя к движению планет теорию Эйнштейна во втором приближении (тогда как в первом приближении, т. е. при е = 0, мы снова получим уравнение (26), выражающее кеплерово движение). Необходимо добавить, что согласно это теории постоянная s определяется равенством ) [c.184]

В частном, но представляющем существенный интерес случае псевдоожижения в насадке перемешивание материала описывается несколько более просто. Для его горизонтальной составляющей автору работ Л. 452, 453] удалось получить приближенные расчетные корреляции. Он определял (Л. 453] горизонтальное перемешивание материала в псевдоожиженных азотом слоях медных и никелевых сферических частиц (средним диаметром 96,5 137 230 и 357 мкм) в неподвижной насадке из шаров (диаметром 9,5 мм) в аппарате прямоугольного сечения (178X46 мм). Были сделаны допущения, что весь газ сверх необходимого для минимального псевдоожижения проходит в виде пузырей, а на единицу своего объема пузыри переносят (увлекают) неизменный объем материала, не зависящий от размера и частоты пузырей. На базе уравнения диффузии Эйнштейна, используя эмпирическую константу, автор [Л. 453] [c.28]

В классич. физике С. п.— приближённый, он вытекает из линейности ур-ний движения соответствующих систем (что обычно является хорошим приближением для описания реальных систем), капр. Максвелла уравнений для эл.-магн. поля в пустоте. При отклонениях от линейности обнаруживаются нарушения С. п. Так, достаточно сильное гравита . поле не удовлетворяет С. п., поскольку оно описывается нелинейными ур-ниями Эйнштейна (см. Тяготение), макроскопическое эл.-магн. поле в веществе, строго говоря, также не подчиняется С. п. в силу зависимости (иногда существенной) диэлектрич. и магн. проницаемостей от внеш. поля (напр., в ферромагнетике, лазерных материалах) и т. д. [c.26]

Во 2-м десятилетии 20 в. классич. теория тяготения была революц. образом преобразована Эйнштейном. Новая теория тяготения была создана путём логич. развития принципа относительности применительно к гравитац. взаимодействиям она была названа общей теорией относительности. Эйнштейн по-новому интерпретировал установленный Талилеем факт равенства гравитац. и инертной масс (см. Масса) это равенство означает, что тяготение одинаковым образом искривляет пути всех тел. Поэтому тяготение можно рассматривать как искривление самого пространства-времени. Теория Эйнштейна вскрыла глубокую связь между геометрией пространства-времени и распределением и движением масс. Компоненты т. н. метрич. тензора, характеризующие метрику пространства-време-ни, одновременно являются потенциалами гравитац. поля, т.е, определяют состояние гравитац. поля. Эволюция состояния описывается нелинейными ур-ниями Эйнштейна для гравитац. поля, В общем виде ур-ния тяготения Эйнштейна не решены. В приближении слабых полей из них вытекает существование гравитац. волн (прямые эксперименты по их обнаружению пока не увенчались успехом). [c.316]

Рассматриваемое в предыдущем разделе приближение нулевого порядка можно трактовать как аналог закона Стокса по отношению к степени взаимодействия частиц. При седиментации однородной суспензии результат для перепада давления или диссипации энергии, вызванных только силами сопротивления, оказывается одинаковым независимо от того, мала или велика по сравнению с единицей величина allf Rja), В случае сдвигового течения, по-видимому, уже невозможно получить одни и те же результаты для этих двух предельных значений отношения поверхности частиц к площади стенок. Эта неопределенность, касающаяся поведения сферы в сдвиговом течении с произвольными границами, порождает сомнения относительно дальнейших обобщений метода Эйнштейна на более концентрированные системы. [c.512]

В общем можно сделать вывод, что фундаментальных исследований эффектов первого порядка по концентрации, основанных на гидродинамическом анализе, весьма мало и что даже если принять на веру справедливость формулы Эйнштейна для нулевого приближения, эти исследования не дают окончательных объяснений рассматриваемых эффектов. Даже в случае, когда пренебрегают влиянием столкновений и хотят должным образом учесть в перйом приближении взаимодействие частиц как между собой, так и со стенками, математический аппарат становится очень сложным. [c.517]

Во всех рассмотренных случаях броуновским движением пренебрегали. Если же иметь дело с очень маленькими частицами, например макромолекулами, то броуновское движение будет основным фактором, влияющим на ориентацию частиц. Броуновское движение увеличивает вязкость, разупорядочивая положение частиц по отношению к потоку жидкости, так что ориентации частиц относительно главных осей сдвига не соответствуют минимизации диссипации энергии. Фриш и Симха [13] приводят обзор ряда работ, в которых рассматривается влияние броуновского движения на мелкие частицы, имеющие форму сильно вытянутых сфероидов. Во всех случаях избыточная вязкость при заданном отношении характерных размеров частиц пропорциональна объемной концентрации, как и в формуле Эйнштейна. Для эллипсоидов вращения, у которых большая ось равна Ui, а малая 2, Кун и Кун [25] получили следующие приближенные выpaжeнияi (Р = i/ag) [c.531]

Это приближение, называемое больцмамовским приближением, дает гораздо более простое описание к нему в предельном случав высоких температур сводятся статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Более точный критерий его применимости будет дан ниже. В больцмановском приближении число состояний подсчитывается так, как будто частицы различимы [т. е. так, как это делается в классической механике или в выражении (5.2.2)], а неразличимость учитывается лишь поправочным множителем N1 (см. также разд. 4.3). [c.172]

Гравитационные волны. По вопросу о гравитационных волнах и их характере не существует единства мнений. Гравитационные волны можно характеризовать как слабое нестационарное гравитационное поле в вакузтае. Они могут уподобляться электромагнитным в том смысле, что они поперечны и в вакууме распространяются со скоростью света. Понятие о гравитационных волнах было впервые введено Эйнштейном. Математически задача сводилась к нахождению периодических во времени и пространстве точных или приближенных решений уравнения тяготения Эйнштейна. Дж. [c.373]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...