Условие Вейерштрасса — Эрдман

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

ЛИ (рис. 7) удовлетворяются хорошо известные условия Вейерштрасса — Эрдманна. Наконец, дуга окружности ничего не прибавляет к интегралу (18), так как функция и к = (г + А) в подынтегральном выражении обращается вдоль этой дуги в силу (2г) в нуль. [c.231]

Второй метод заключается в использовании ряда параметров (множителей) Лагранжа и решении задачи как задачи типа Майера. Этот метод непосредственно дает ряд дополнительных дифференциальных уравнений и конечных условий. Связи между экстремалями различных типов обычно определяются с помощью так называемых угловых условий Вейерштрасса—Эрдманна. Если при этом остаются еще какие-либо сомнения в правильности синтеза оптимальной траектории, то они обычно устраняются, как это будет показано на примерах, путем применения сильного вариационного критерия Вейерштрасса. Обычно достоверность максимума или минимума исследуемых характеристик достаточно ясно определяется физической интуицией, поэтому это дополнительное и достаточно трудное доказательство оказывается излишним. В частных случаях, исследованных в работе [4], это доказательство носит элементарный характер. [c.747]

Угловые условия Вейерштрасса—Эрдманна требуют, чтобы множители Лагранжа и функция V были непрерывными. Это следует из того, что в любых угловых точках мы будем иметь [c.772]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...