Условие Якоби

Условие 1° не будет достаточным для минимума интеграла, если пределы и не сколь угодно близки друг к другу. В общем случае нужно удовлетворить условию Якоби о кинетических фокусах ). [c.229]

Условия Якоби 1 (1-я) — 252 Экстремум двойного интеграла 1 (1-я) — 252 - условный функции многих переменных [c.354]

Условия (6), (8), (9) принято называть условиями Якоби — Пуанкаре. [c.197]

Канонические системы (1) являются частным случаем систем с медленными и быстрыми переменными, поэтому изложенные в гл. I результаты, естественно, применимы и к ним. Если при этом мы хотим, чтобы преобразование х, у) (х, у ) было каноническим, необходимо строить замену переменных таким образом, чтобы выполнялось условие Якоби—Пуанкаре (соотношения (6), (8), (9)). [c.204]

Проверим теперь, выполняется ли усиленное условие Якоби, т.е., что отрезок [1о, 1х] не содержит точек, сопряженных с /о- Уравнение Якоби для функционала (3.2) в нашем случае имеет вид [c.195]

В вариационном исчислении условие (24) называется условием Якоби, а (29) — условием Лежандра. В задачах механики последнее оказывается требованием положительной знакоопределенности кинетической энергии и поэтому всегда соблюдается условие Якоби выполняется на истинных путях, не проходяш.их через соответствуюш.ий начальному положению кинетический фокус. [c.660]

Таким образом, каждой экстремали соответствует слабый минимум (см. стр. G74), если выполняется условие Якоби (63). Однако, поскольку выпуклость функции F для данных значений л, у, г, т. е. для данного п, направлена вниз при всех х, у, то из геометрического истолкования условия Вейерштрасса следует, что минимум является сильным. [c.676]

Если система (5.1) нелинейна, то условие (5.2) используется как приближенное, фигурирующие в нем собственные значения относятся к матрице Якоби системы (5.1) [c.227]

Часть матрицы Якоби, определяемая компонентными уравнениями при условии, что /ь /2 — хорды, С , С2 — ветви дерева, представлена в табл. 3.5. Коэффициенты в матрице определяются по следующим формулам [c.123]

Для решения интересующей нас задачи нет нужды находить общее решение уравнения Гамильтона — Якоби. В силу сказанного выше нас интересует любая функция от q ц. t, удовлетворяющая тождественно этому уравнению и зависящая от п констант. Вспомним еще, что производящая функция должна удовлетворять условию (129). Теперь, когда вместо переменных q функция S зависит от п констант а, это дополнительное условие может быть переписано так [c.323]

Любая функция S (q, a, t), обращающая уравнение (132) в тождество, зависящая от п констант а и удовлетворяющая условию (133), называется полным интегралом уравнения (132). Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Г амильтона — Якоби. [c.323]

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию V, зависящую от всех q н от п констант, причем последней из этих констант является a = /i. Эта функция V должна удовлетворять условию [c.333]

Покажем, что в рассматриваемом случае эта функция является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (158). Непосредственно видно, что функция (161) тождественно удовлетворяет уравнению (158) и зависит от п констант, а условие (155) сводится в этом случае к виду [c.334]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Отвечающее этим начальным условиям решение системы есть характеристика задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби. Выберем значение <1 настолько близким к чтобы характеристики, выходящие из близких друг к другу точек qo, не пересекались при 0 < < < 1. Значения q([c.648]

Теория Якоби дает возможность полностью проинтегрировать систему в этих условиях. Итак, [c.678]

К. Якоби доказал, что условие (р) всегда выполняется. Это доказательство здесь не рассматривается ). [c.359]

Воспользуемся уравнением, которому удовлетворяет известный по условию теоремы множитель Якоби. На основании уравнения (11.398) найдем [c.395]

Якоба, представляет собой отношение избыточной энтальпии перегрева единицы объема жидкости к теплоте фазового перехода, приходящейся на единицу объема пара. По условиям задачи это — известная величина. Соотношение (6.29) определяет градиент температуры на поверхности пузырька. [c.253]

На рис. 6.8 показаны значения температур и давлений в перегретой жидкости и паре в некоторый произвольный момент роста пузырька в условиях одновременного влияния энергетических и инерционных эффектов. Вдали от пузырька ( на бесконечности ) жидкость существенно перегрета по отношению к температуре насыш,е-ния при актуальном давлении жидкости р . Однако в условиях больших чисел Якоба этот перегрев оо Т (роо), используемый как параметр в энергетической схеме роста, выступает лишь как предельная расчетная величина, не достигаемая при экспериментальном исследовании процесса. Действительный перегрев ДГ, = Гоо - Т", который следует теперь использовать в граничных условиях для уравнения энергии (6.25), всегда меньше А.Т . Температура Т" и давление р" в пузырьке связаны как параметры на линии насыщения (кривая 1 на рис. 6.8). Эти параметры, в отличие от тех, что принимаются в предельных схемах роста, непрерывно изменяются (уменьшаются) по мере увеличения объема пузырька. Давление пара р" всегда меньше, чем его предельное расчетное значение р (Тао), но на начальной стадии роста пузырька (практически при г < 1 мс для условий Ja > 500) это различие еще не слишком велико, тогда как на этой стадии АГ, АТ . Это означает, что ранняя стадия роста пузырька управляется главным образом динамически- [c.258]

Помимо Э.— Л. у. и условий трансверсальности оптимальное решение вариац. задачи должно удовлетворять и др. необходимым условиям [условию Клебша (Лежандра), условию Вейерштрасса и условию Якоби). [c.497]

Условия (5.11) или (5.12) устойчивости методов интегрирования в применении к нелинейным системам ОДУ можно рассматривать как приближенные, при этом под X/ понимают собственные значения матрицы Якоби Я = <ЗУ/(ЗУ. Так как в нелинейных задачах элементы матрицы Якоби непостоянны, то непостоянны и ее собственные значения. Поэтому априорный выбор значения постоянного шага h, удовлетворяющего условиям устойчивости на всем интервале интегрирования [О, Ткон], оказывается практически невозможным (случай гарантированного выполнения условий устойчивости за счет выбора /г<Стпип неприемлем, так как приводит к чрезмерным затратам машинного времени). [c.239]

Поскольку структура компонентных уравнений определена набором элементов, используемых в объекте, то влиять на разреженность можно только за счет топологической части ММС. Один из алгоритмов, обеспечива-ьощий высокую разреженность М-матрицы, а потому и разреженность топологической части матрицы Якоби, основан на включении в дерево в первую очередь тех ветвей (по возможности), которые обладают наибольшим весом. Вес ветви определяется суммарной кратностью вершин, между которыми она включена. Кратность вершины, в свою очередь, определяется количеством ветвей, ей инцидентных. Для графа гидромеханической системы (рис. 3.4, б) ветви, включенные в дерево, отвечают этому условию. [c.124]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Второе из этих условий совпадает с ранее написанным условием обращения в нуль якобиана. Два других условия 9 Н. в, Бугенин и др. [c.257]

Для расчета термодинамических свойств, не (входящих непосредственно в фундаментальное уравнение, используют условие равенства вторых смешанных производных (4.10) и некоторые другие математические соотношения и методы. Так, очень часто возникает потребность перейти от одного набора независимых переменных к другому. Для этой цели удобно применять метод функциональных определителей Якоби. Пусть, например, требуется заменить переменные хи.. .,Хп на новые леременные уи...,уп. Это означает, что каждая из у (i = = 1,...,л) может рассматриваться как функция старых переменных yi = yi(xi,..., Хп), причем все у,- должны быть независимыми между собой. Дифференцирование функции у,- дает систему п линейных относительно dxj (/= ,...,л) уравнений [c.77]

Так как взаимнооднозначное соответствие между сопряженными переменными возможно при любом знаке якобиана, это условие, строго говоря, необходимое, но недостаточное. Если, однако, принять постулат о невозможности существования лабильных равновесий, то его можно считать достаточным. [c.125]

В соответствии с принятым условием невырожденности якобиана можно найти р,- = ... , пЯ) воспользоваться услови- [c.694]

Подробное и<хледование достаточных условий существования экстремума приводит к понятию о так называемых кинетических фокусах. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, скажем несколько слов об упомянутых достаточных условиях существования экстремума функционала, входящего в математическую формулировку принципа Эйлера — Лагранжа в форме Якоби. [c.204]

Как видно из равенства (II. 151), действие по Якоби зависит лишь от формы и положения действительной траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. Кривая, на которой удовлетворяется условие (II. 149), называется экстремалью. Следовательно, действительная траектория — экстремаль. Через фиксированную точку Л пространства конфигураций, можно провести бесконечное множество экстремалей, соответствующих различным начальным условиям. Проведем через точку 44] действительную траекторию и экстремаль, образующую с действительной траекторией малый угол и пересекающую действительную траекторию в точке М%. Предположим, что при уменьшении угла между вспомогательной экстремалью и действительной траекторией точка Мг приближается к предельному положению Мг. Точка Ма называется точкой, сопряженной с М, пли ее кинетическим фокусом. Если точка М2 лежит между точками и Мэ, то якобие-во или лагранжево действия имеют минимум для действительного движения системы. [c.205]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения x-=f x) с начальным условием л (0) = =0. Вводя фазовое л-, р-пространство и гамильтониан H=pf x), мы получи.м возможность использовать мощные методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби. г= =sn(/, k) — эллиптический спиус. В этом случае f= [c.319]

Проверим условие 1° для приицпнов Гамильтона (7.10) и Якоби (7.21). Разбивая функцию L = T+U на формы Lu однородные степени i относительно скоростей qs, имеем [c.229]

Докажем теперь, что условие 1° выполняется и для принципа Якоби. В принципе Якоби при времени, измеряемом по искомой траектории, от скоростей gs зависит лишь множитель 2Т qi, q ). Разложение ]/ 2Т q , q i +е)в ряд по 8,- осуществляется разложением по параметру и выражения2T qi, q + г ) после чего принимается м = 1. Пусть [c.230]

Определенный интеграл, входящий в уравнение (6.31), не выражается в общем случае через элементарные функции и может быть найден лишь численно. Такое интегрирование было проведено Скривеном, и искомая зависимость (6.32) была представлена в [67] в табличной форме (табл. 6.3). Фактически эта таблица отражает зависимость модуля роста т только от числа Якоба, так как параметр Y в [67] принимался равным единице. При давлениях, далеких от критического, это допущение вполне оправдано (обычно уже при р < 0,5р р р"/р < 0,1). В [21] показано, что при условии с доо < 0,1 (или, что то же, Ja < 0,1р /р") расхождение значений т при Ja = idem для различных у не превышает 2—3 %. [c.254]

Естественно все сказанное выше о равенстве давления пара в пузырьке и давления жидкости во всех точках его поверхности остается в силе (с точностью до ничтожного для рассматриваемых крупных пузырей лапласовского скачка давлений). Однако само это давление превышает гидростатическое давление жидкости на той же глубине, но вдали от растушего пузырька. Так как скорость роста парового пузырька на стенке, определяемая для различных диапазонов числа Якоба формулами (6.41) или (6.44), уменьшается во времени, то уменьшается и избыточное давление в жидкости, вызываемое расширением пузырька можно ожидать, что пузырек начнет отходить от стенки, когда скорость его роста сравняется с установившейся скоростью всплытия пузыря в спокойной жидкости, Uao- Действительно, при стационарном всплытии крупных пузырей давление жидкости на поверхности пузыря одинаково (см. п. 5.6.3), причем в лобовой точке оно выше, чем на той же глубине далеко в стороне от всплывающего пузыря. Если скорость роста парового пузыря на стенке снижается до, то достигаются те же условия, какие существуют при стационарном всплытии пузыря, когда его форма и скорость всплытия не зависят от глубины (если, конечно, давление столба жидкости много меньше давления над уровнем жидкости). [c.277]

Следует отметить, что инерционные силы в жидкости, приводимой в движение растущим пузырем, оказываются существенными для условий отрыва парового пузырька даже при относительно небольших числах Якоба (Ja = 3—30). Благодаря их влиянию можно объяснить, в частности, почему паровой пузырек отрывается от поверхности нагрева в условиях микрогравитации, когда актуальное ускорение массовых сил составляет (10"" —10 ) g (практически в невесомости) или в земных условиях в направлении, противоположном силе тяжести, вниз от поверхности цилиндрического нагревания. Для такого объяснения используем модель сферического пузырька. С учетом сказанного в п. 6.5.1 априорное задание формы газовой полости делает анализ приближенным. Однако постулирование не изменяемой во времени формы пузыря позволяет использовать достаточно простые методы механики твердого тела, в частности понятие силы, приложенной к центру масс. Степень приближенности такого подхода зависит от того, насколько принимаемая в модели форма близка к наблюдаемой в опытах. Это отступление от требований строгого анализа никоим образом не распространяется на принцип Даламбера баланс сил, приложенных к пузырьку заданной формы, остается справедливым в любой момент времени и не может использоваться как условие отрыва. [c.279]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...