Условия дополнительные экстремума необходимые

В разделах 3.2 и 3.3 были рассмотрены необходимые условия экстремума величины волнового сопротивления в тех случаях, когда исходная характеристика не разрушается. Определены области, в которых течения с ударными волнами не допустимы. В задачах этого типа полезно дополнительно исследовать необходимое условие минимума волнового сопротивления. Следующий раздел будет посвящен этому вопросу. [c.107]

Однако это условие само по себе не гарантирует наличие максимума. Мы можем находиться на седловой точке, что приводит к наличию минимума по отношению к одним направлениям и максимума по отношению к другим. Поэтому равенство нулю скорости изменения функции во всех возможных направлениях является необходимым, но отнюдь не достаточным условием наличия экстремума. Требуется провести дополнительное исследование, чтобы установить, что в действительности реализуется максимум, минимум или седловая точка без какого-либо экстремального значения. [c.59]

Действительно, условие ( ) определяет экстремум функции Э+П, а условия ( ) и ( ) разделяют максимумы, когда положение равновесия тела с трещиной является неустойчивым (условие ( )), и минимумы, когда положение равновесия тела с трещиной является устойчивым (условие ( )), этой функции из всего множества экстремальных точек (рис. ). Из рис. А следует, что после достижения критического состояния для дальнейшего продвижения трещины не требуется дополнительных затрат на преодоление межатомных связей, тогда как пз рпс. Б видно, что для поддержания роста трещины необходима дополнительная энергия и, следовательно, рост трещины является устойчивым. Случай, когда вторая производная функции Э + И обращается в нуль, требует, как это следует пз основ дифференциального исчисления, дополнительного исследования. [c.93]

Знак неравенства при вариациях энергии равновесной сис темы необходимо, следовательно, использовать тогда, когда экстремум функции достигается не внутри области определения переменных, а на ее границах. Это имеет место при наличии среди дополнительных условий таких, которые выражаются неравенствами (такие условия обычно называют ограничениями). При граничном экстремуме функция U равновесной системы может не иметь стационарного значения, т. е. может не выполняться (11.7), и общее условие равновесия в виде (11.10) учитывает такую возможность. [c.106]

Однако не около всякого положения равновесия возможно колебательное движение системы. Найдем дополнительные условия, которые необходимо наложить на экстремум функции О или П для того, чтобы было возможно колебательное движение системы около положения равновесия. [c.197]

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60]

Решение задачи на экстремум функции S (ао, аз, 5,. ..) при дополнительном условии типа (3.26) можно выполнить по-разному. Во-первых, можно использовать метод неопределенных множителей Лагранжа. Обозначим левую часть уравнения (3.26) через L (ао, аз, as,. ..). Согласно методу Лагранжа необходимые условия максимума запишем в виде [c.64]

Ответ на этот вопрос можно получить, используя метод неопределенных множителей Лагранжа [27J. Используя эту методику, необходимо составить форму из Qa (но лучше InQ ) с добавлением упомянутых дополнительных условий, вводя неопределенные множители а и р, и искать условный экстремум этой формы относительно Ni. Это приводит к системе уравнений [c.322]

Будем искать такие режимы планирования (законы программирования тяги), для которых время активного планирования 7 = тах при заданном запасе топлива (т. е. заданном значении /е). Математически задача сводится к исследованию экстремума (максимума) интеграла (5) при дополнительном не-интегрируемом (неголономном) условии (4). Таким образом, мы должны найти такую функцию f=f(t), которая удовлетворяет уравнению (4) и дает максимум интегралу (5). Это вариационная задача на условный экстремум. Для того чтобы записать необходимое условие экстремума (5) при неголономном соотно-шении (4), мы введем вспомогательную функцию ф в виде [c.219]

Тогда наша задача сводится к определению экстремума функции Р без дополнительных условий. Необходимое условие экстремума функции Р состоит в равенстве нулю ее производных по х, у и г, т. е. [c.622]

При использовании газового оптического генератора в связных системах необходимо автоматически настраивать зеркала резонатора, а также поддерживать их параллельность при тепловых и вибрационных возмущениях при работе в полевых условиях. Схема автоматической следящей системы, решающей эту задачу, изображена на рис. 2.9. Излучение с нерабочей части генератора принимает фотодиод, усиливается и подается на блок, вырабатывающий сигнал для преобразователя, который регулирует одно ИЗ зеркал резонатора. При изменении положения зеркал изменяет-.ся выходная мощность. График этой зависимости имеет экстремум. Одинаковый уровень выходной мощности может наблюдаться как при положительной, так и при отрицательной расстройке резонатора. Информацию о полярности расстройки и наклоне кривой удается получить при подаче на преобразователь дополнительного сигнала, вызывающего перемещения зеркала. Если эти перемещения будут происходить по синусоидальному закону, то фаза выходного сигнала будет свидетельствовать о характере расстройки резонатора, а амплитуда выходного сигнала примерно пропорциональна наклону кривой в рабочей точке. Управляющий сигнал подается на преобразователь, работа которого основана на использовании теплового и магнитострикционного эффектов. Преобразователь представляет собой полный никелевый стержень диаметром при- [c.48]

Основное требование при записи условий для экстремума характеристической функции — среди них не должно быть избыточных линейно зависимых уравнений, так как иначе система условий становится несовместной и необходимо вводить дополнительные критерии, с помощью которых эту несовместность можно исключить, Минимальйое необходимое и достаточное для решения число условий (и число известных значений различных термодинамических свойств системы) равняется общей вариантности рассматриваемого равновесия, т. е. с + 1. [c.175]

Полученная система (9.21) является необходимым условием экстремума функционалов (9.15), (9.16). Однако для суждения о максимуме или минимуме экстремума необходимо знать знак второй вариации. Для этого используются условия Лежандра — Клебша и Вейерштрасса, которые являются дополнительными необходимыми условиями экстремума и определяют его вид. [c.180]

Таким образом, общие критерии равновесия термодинамических систем математически формулируются в виде задачи на условный экстремум той или иной характеристической функции. Экстремум ищется при этом в обобщенном пространстве дополнительных внутренних переменных (см. с. 37), а дополнительными условиями является постоянство естественных независимых переменных характеристической функции. Выбор характеристической функции и критерия равновесия связан только с набором термодинамических величин, равновесные значения которых известны и которые могут, следовательно, использоваться в качестве параметров при расчете равновесия, т. е. при нахождении других, неизвестных свойств. С этой точки зрения вариационная запись критерия равновесия также имеет определенные преимущества перед дифференциальной записью, так как не создает ощибочных представлений, что для применения того или иного общего условия типа (11.1) необходимо [c.110]

Согласно (40) и (41) характер экстремума функции Л + В или — Л — В, соответствующего устойчивым движениям, меняется в зависимости от характера анизохронизма объектов, а действие связей первого и второго рода в известном смысле противоположно В отличие от систем с почти равномерными вращениями условия устойчивости, выражаемые с помощью уравнения (8) или условия минимума функции D, в данном случае являются лишь необходимыми кроме того, для устойчивости корни уравнения (8) должны быть вещественными и отрпцательными. Дополнительные соотношения, дающие систему необходимых и достаточных условий, можно получить на основе результатов работы [31]. В частном случае квазиконсервативных объектов с одной степенью свободы при наличии связей, ие вносящих в систему новых степеней свободы, указанные дополнительные условия устойчивости сводятся к неравенствам [30] [c.226]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...