Одномерного поиска методы

К понятию реентерабельности подпрограмм близко (но не тождественно) понятие рекурсивности. Рекурсивная подпрограмма — подпрограмма, которая вызывает сама себя (либо непосредственно, либо через цепочку модулей). Многие алгоритмы автоматизированного проектирования в области структурного синтеза и параметрической оптимизации по сути рекурсивные. Самым простым примером здесь может служить метод половинного деления, используемый для одномерного поиска экстремума функций. Однако не все алгоритмические языки [c.23]

В зависимости от количества внутренних параметров в целевой функции различают методы одномерного (если аргументом целевой функции является один внутренний параметр) и многомерного поиска при числе внутренних параметров больше единицы. Так, например, выбор коэффициентов смещения и колес зубчатой передачи является задачей двумерного поиска. Алгоритмы одномерного поиска применяются внутри алгоритмов многомерного. При выборе направлений и шагов в многомерном поиске внутренние параметры необходимо привести к одной размерности или к безразмерному виду. При этом -й внутренний параметр синтеза а/ преобразуется в безразмерный [c.317]

Минимальное значение Ртах в интервале от фтш до фтах можно найти одним из методов одномерного поиска. Следует отметить, что важно ограничить множество возможных значений так, чтобы функция Р в процессе вычислений не обращалась в бесконечность каждый раз, когда sin (р + фг) = 0. [c.82]

Одномерный поиск по параметру а выполнялся методом деления шага пополам до первой удачной попытки, т. е. если [c.188]

МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОГО ПОИСКА [c.142]

СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ОДНОМЕРНОГО ПОИСКА [c.152]

Логическим развитием рассмотренной выше методики одномерного поиска было бы последовательное изменение каждого проектного параметра до тех пор, пока не будет достигнут максимум целевой функции. По завершении этой процедуры для всех переменных можно вернуться к первой и посмотреть, нельзя ли еще более усовершенствовать решение. Этот метод, называемый методом покоординатного подъема, не всегда позволяет найти оптимальное решение. На рис. 7.1, а показана двумерная целевая функция, подходящая для решения задачи этим методом. Ее особенность состоит в том, что линии уровня близки по форме к окружностям или эллипсам, оси которых параллельны осям координат. Если же эти оси наклонены к осям координат (рис. 7.1, б), то эффективность алгоритма снижается, так как для нахождения оптимума приходится вычислять гораздо больше значений целевой функции. Метод покоординатного подъема совершенно неприменим, если линии уровня имеют точки излома (рис. 7.1, в) Поскольку линии уровня такого типа весьма часто встречаются в инженерной практике, то прежде, чем воспользоваться указанным методом, следует убедиться, что решаемая задача не имеет подобного недостатка. Несмотря на это, метод покоординатного подъема часто используют на первой стадии решения задачи, применяя затем более сложные методы. К достоинствам метода покоординатного подъема следует отнести возможность использования простых алгоритмов одномерного поиска, таких, как метод золотого сечения. [c.163]

Зная из предыдущей главы, насколько эффективно методы одномерного поиска позволяют сокращать интервал неопределенности (одномерный или двумерный), можно попытаться применить ту же методику и к многомерному пространству. Один из наиболее очевидных методов исключения областей называется методом [c.165]

В некоторых методах поиска информация о градиенте используется для ведения одномерного поиска в направлении наискорейшего подъема или спуска, причем используется соотношение [c.170]

ПК ПА9 имеет библиотеку методов одномерной и многомерной оптимизации. В состоянии поставки ПК ПА9 библиотека содержит методы полного перебора, половинного деления, золотого сечения, квадратичной интерполяции, случайного поиска, метод Нел дера-Мида. [c.501]

Методы поиска экстремума классифицируются по следующим признакам в зависимости от характера экстремума существуют методы условной и безусловной, локальной и глобальной оптимизации по числу переменных проектирования различают методы одномерного и многомерного поиска, а по характеру информации о виде целевой функции — методы нулевого, первого и второго порядков, причем в методах первого порядка используют градиент целевой функции, поэтому эти методы называются градиентными, в методах второго порядка применяют вторые производные, а в методах нулевого порядка производные не используют. [c.281]

Если в задаче оптимального проектирования поверхность отклика ограничена концентрическими эллипсоидами, то точное местоположение оптимума не более чем за (2п—1) одномерных итераций позволяет получить метод параллельных касательных. Идея этого метода для п—2 иллюстрируется на рис. 6.4, б. Метод заключается в поиске центра системы концентрических эллипсов. Первоначально определяют направление касательной ло из точки- [c.284]

Величина шага для каждого метода или алгоритма поиска может определяться по-разному. В простейших случаях шаг выбирается постоянным или изменяется пропорционально модулю градиента Яо. Максимальная величина шага (до достижения границы или наилучшего в данном направлении значения Нд) выбирается с помощью методов одномерной оптимизации, рассмотренных в [43]. [c.131]

К выбору коэффициента Xk для градиентных методов можно подойти двояко. Если учесть локальный характер аппроксимации (П.15), то шаг Д2),, а следовательно, Хк надо выбирать достаточно малым. Это приводит к увеличению количества шагов в процессе поиска и снижает его эффективность. Поэтому часто ki, выбирают из условия оптимизации АНок, решая одномерную зада- [c.245]

Время поиска существенно уменьшается при стремлении к локальному оптимуму. В этом случае соотношение (П.43) принципиально сохраняет свою силу, однако значения N существенно уменьшаются и не являются постоянными. Количество расчетов Но на каждом этапе определяется принятым методом одномерной оптимизации и начальной точкой, с которой начинается поиск на данном этапе. Поэтому N изменяется при повторной оптимизации на данном этапе. На основе стратегии динамического программирования построены алгоритмы локальной оптимизации, обеспечивающие значительно меньшее время поиска по сравнению с глобальной оптимизацией [4, 8]. [c.255]

Первым шагом градиентного метода является выбор начальной точки Xi- Каких-либо правил для выбора начальной точки нет и она является эвристической точкой, как и при направленном переборе (см. предыдущую главу), представляющим собой дискретный аналог градиентного метода в одномерном пространстве. При поиске максимума переход от начальной точки Х = (хц, [c.171]

Отдельную группу детерминированных методов поиска составляют покоординатные методы, в связи с тем что человек, работающий в диалоговой системе оптимизации, обычно выбирает пошаговый покоординатный принцип работы с поочередным варьированием переменных. Покоординатное изменение параметров сводит поиск к одномерному, и наибольшими возможностями в однопараметрическом поиске обладают известные итерационные приемы, такие, как методы дихотомии, метод золотого сечения, сходимость которых проверена на многих задачах. [c.120]

В зависимости от числа управляемых параметров различают методы одномерной и многомерной оптимизации, в первых из них управляемый параметр единственный, во вторых размер вектора X не менее двух. Реальные задачи в САПР многомерны, методы одномерной оптимизации играют вспомогательную роль на отдельных этапах многомерного поиска. [c.158]

Метод покоординатного спуска характеризуется выбором направлений поиска поочередно вдоль всех п координатных осей, шаг рассчитывается на основе одномерной оптимизации, критерий окончания поиска Х , - < 8, [c.160]

Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Согласно методам внутренней точки (иначе называемым методами барьерных функции), исходную для поиска точку можно выбирать только внутри допустимой области, а для методов внешней точки - как внутри, так и вне допустимой области (важно лишь, чтобы в ней функции целевая и ограничений были определены). Ситуация появления барьера у целевой функции Ф(д ) и соотношение между условным в точке и безусловным в точке д , минимумами F x) в простейшем одномерном случае иллюстрируется рис. 4.10. [c.167]

В работе [141 ] решалась первая задача (задача быстродействия) поисковыми методами на ЭВМ с использованием одномерной нелинейной модели индукционного нагрева. Априорно задавалось число интервалов управления i, и в г-мерном евклидовом пространстве производился поиск продолжительности интервалов т/, / = 1, 2,. . . , i. Поиск разбивался на два этапа. На первом этапе основной целью было достижение гиперповерхности максимального отклонения температуры от требуемой в пространстве т,-, определяемого величиной е. На втором этапе происходило движение по гиперповерхности с целью минимизации суммарного времени процесса = [c.232]

Наилучшими критериями сравнения пяти методов поиска, описанных выше, являются их эффективность и универсальность. Под эффективностью алгоритма обычно понимают число вычислений функции, необходимое для достижения требуемого сужения интервала неопределенности. Из табл. 6.2 следует, что лучшим в этом отношении является метод Фибоначчи, а худшим — метод общего поиска. Конструктор иной раз неохотно прибегает к методу Фибоначчи, так как при его применении требуется заранее задать число вычислений значений функции. Однако он может воспользоваться методом золотого сечения. Как правило, оказывается, что методы Фибоначчи и золотого сечения, обладающие высокой эффективностью, наиболее подходят для решения одномерных унимодальных задач оптимизации. [c.152]

Метод конфигураций включает выполнение циклов из п шагов покоординатного спуска. После каждого цикла делается один дополнительный шаг, определяемый с помощью одномерной оптимизации (3.14), вдоль направления и, —и п, где к=п,2п,Ъп,. .., т. е. по линии, проходящей через конечные точки двух смежных циклов шагов. На рис. 3.8 показан поиск по методу конфигураций точки Х[ и Хг получены из начальной Хо с помощью покоординатного спуска, точка Хд — результат дополнительного шага. [c.73]

С---- одномерный поиск методом золотого сечения вдоль кашдой [c.51]

В многозтапных методах каждый щаг поиска осуществляется изменением одного или нескольких параметров из полного их числа и. К таковым относится группа методов покоординатного поиска, основанных на использовании одномерного поиска экстремума Q по каждому параметру х., и метод динамического программирования, в соответствии с которым функция цели разбивается на составляющие, которые последовательно оптимизируются на различных этапах расчета, чем и достигается решение задачи оптимизации в целом. [c.152]

Работа с моделью. В рассматриваемой задаче для на- хождения оптимального варианта конструкции теплообменника варьируют два параметра 1 и гакв Дв программе соответственно Ш и/02). В связи с этим говорят о двумерной задаче оптимизации. Простейшим методом решения таких многомерных задач является алгоритм покоординатного спуска. Его идея заключается в последовательном циклическом применении одномерного поиска для каждого варьируемого параметра. Проще всего проиллюстрировать метод покоординатного спуска с помощью распечатки, полученной на ЭВМ (рис. 5.21). Поиск был начат с начальной (базовой) точки 01 ==0,08 02=0,04. Сначала осуществлялся спуск вдоль координаты 02 при фиксированном значении 01 = 0,08, и в точке 02 = 0,06 было достигнуто наименьшее значение целевой функции 2=212. Затем спуск проводился вдоль координаты 01 при фиксированном значении 02 = 0,06. [c.249]

Решение экстремальной задачи (33) можно получить методами одномерного поиска типа Фибоначи, золотого сечения и др. [41]. В практических задачах наиболее часто используют следующие интерполяционные формулы при квадратической интерполяции [c.354]

Рассмотренные в 2 гл. 7 методы определения направления наискорейшего подъема функции минимума лежат в основе алгоритмов определения ее стационарных точек. Простейший алгоритм для решения этой задачи, в основу которого положены идеи метода наискорейшего подъема, сводится к следующему. Пусть найдено 1-е приближение W . Решив задачу линейного программирования (7.11), проверяем точку W на стационарность. Если наибольшая производная по направлению г(5 (W ) 0, что эквивалентно равенству нулю величина которого определена при решении задачи линейного программирования, то Wj — стационарная точка и процесс поиска на этом заканчивается. В противном случае, воспользовавшись одним из описанных в предыдущем параграфе алгоритмов, находим направление наискорейшего подъема gi Wi) и производим в этом направлении поиск до тех пор, пока функция минимума увеличивается. Далее опять проверяем найденную точку на стационарность и т. д. Изложенный алгоритм при численной реализации на ЦВМ характеризуется большими потерями на поиск в силу следующих причин. Функция минимума ZO(W) имеет гребневой характер. Так как выход на гребень при одномерном поиске производится с некоторой погрешностью, то в множество R(Wi), как правило, будет входить лишь один индекс и направление наискорейшего подъема функции минимума в текущих точках W будет совпадать с направлением наискорейшего подъема одной из функций 2j(W). Допустимый шаг поиска в этом направлении будет исчезающе малым. При фиксированной минимальной величине шага траектория поиска примет зигзагообразный характер и продвижение к стационарной точке будет крайне медленным. [c.181]

Сравнение методов одномерного поиска по значениям коэффициента дриблеи 5я интервала неопределенности [c.153]

Таким образом, остается только один проектный параметр 3. Значение Т (<р)тах в интервале отф ,п до Фтах можно найти одним из методов одномерного поиска. Для этого потребуется отдельный поиск помимо поиска оптимальной конструкции. Поскольку в данном случае функция Г (ф) является, по-видимому, МуЛЬТИМОДЗЛЬКОИ, то для поиске се оптимума будет ПраВИЛЬКсИ воспользо-ваться методом общего поиска, хотя для отыскания оптимального решения задачи в целом можно обратиться и к другому методу. Следует также отметить, что важно ограничить множество возможных значений р так, чтобы функция Т (ф) Е процессе вычислений пе обращалась в бесконечность, так как это создаст дополнительные трудности. Такая ситуация будет складываться каждый раз, когда з1п( 3+ф)=0. Чтобы избежать этого, потребуем [c.156]

На первый взгляд может показаться, что различие между методами многомерного и одномерного поиска состоит лишь в том, что первые требуют большего объема вычислений и что в принципе методы, пригодные для функций одной переменной, можно применять и для функций многих переменных. Однако это не так, поскольку многомерное пространство качественно отличается от одномерного. Прежде всего с увеличением числа измерений уменьшается вероятность унимодальности целевой функции. Кроме того, множество элементов, образующих многомерное пространство, гораздо мощнее множества элементов одномерного пространства. Объем вычислений, необходимых для сужения интервала неопределенности в многомерном пространстве, является степенной функцией, показатель которой равен размерности пространства. Так, если в случае одномерного пространства для достижения /=0,1 требуется вычислить 19 значений целевой функции, то в случае двумерного пространства это число составляет 361, трехмерного—6859, четырехмерного — 130 321, а пятимерного — 2 476 099 Поскольку при выборе оптимальной конструкции нередко приходится иметь дело с пятью и более переменными, серьезность трудностей, обусловленных многомерностью, становится очевидной. [c.162]

Индекс к указывает на последовательность вычислений в процессе итераций. Новые направления называются сопряженными и соответствуют текущей локальной квадратичной аппроксимации функции. Затем по новому направлению проводят одномерный поиск и, найдя минимум, проверяют, достигнута ли требуемая степень сходимости. Если проверка показывает, что это так, то счет прекращается. В противном случае определяют новые сопряженные направления, к увеличивают на единицу и продолжают процесс до тех пор, пока не будет обеспечена сходимость или пока поиск не будет проведен по всем Л +1 направлениям. Закончив цикл поиска по Л +1 направлениям, начинают новый цикл, в котором опять используется направление наискорейшего спуска. Достоинство этого алгоритма состоит в том, что он позволяет использовать преимущества градиентных методов, проявляющиеся при исследовании целевой функции с разрывными производными. Так как N+1 направлений поиска второй совокупности отличаются от направлений единичных векторов градиента, то поиск не зависает на изломе , а идет вдоль линии, соединяющей точки изломов линии уровня, которая, как правило, проходит через точку оптимума. Вообще можно утверждать, что методы, основанные на определении новых направлений поиска на основе накопленных данных о локальном поведении функции, по самой своей природе более эффективны, чем методы, в которых направление поиска задается заранее. Именно поэтому метод Флетчера — Ривса обладает большими преимуществами по сравнению с методами наискорейшего спуска или подъема. Его недостаток состоит в том, что, будучи сложнее указанных методов, он требует разработки более сложных программ. [c.173]

В соответствии с правилами матричного исчисления числители выражений для А > и В > представляют собой матрицы размерности ЫхМ, а знаменатели являются скалярами. Определив новое направление поиска, проводят одномерный поиск и продолжают итерационный процесс. При выполнении описываемого алгоритма поиск после первой попытки ведется в тех направлениях, в которых целевая функция в ближайщей окрестности имеет значения, приближающиеся к оптимальному. Лишь в редких случаях эти направления совпадают с направлением градиента. Поэтому данный алгоритм часто называют методом отклоненного градиента. Указанное свойство метода Дэвидона — Флетчера — Пауэлла позволяет обходить трудности, связанные с разрывами производных в пространстве проектирования. Широко распространено мнение, что этот метод является наиболее эффективным из всех градиентных методов. В отличие от метода Флетчера — Ривса он дает полную ин( юрмацию [c.178]

Таким образом, методы покоординатного поиска могут иметь различную модификацию в зависимости от выбора последовательности координатных осей, способов преодоления оврагов ( гребней ) и т. п. Используя эти модификации, а также возможные вариации методов одномерной оптимизации, можно построить ряд эффе1 тивных алгоритмов направленного поиска, изложенных в [79, 80]. [c.244]

Задачи такого рода называются поиском экстремума (максимума или минимума функции), и некоторые способы их решения широко известны. Сложность заключается в том, что функция эффективности S a (w) в рассматриваемой задаче обладает свойствами, при которых общеизвестные способы отыскания минимума неприменимы или невыгодны. Поэтому, прежде чем перейти к практическим примерам, необходимо хотя бы коротко остановиться на довольно разнообразных по процедуре и очень различных по эффективности методах отыскания экстремума одномерной функции. Прежде всего назовем две особенности функции эффективности (со). Первая особенность состоит в том, что хотя показатель эффективности (со) является дифференцируемой функцией, его нельзя представить в таком виде, при котором вычисление производных методами анализа практически возможно. Вторая особенность заключается в одноэкстремаль- -ности функции Son ( ). когда, фигурально выражаясь, на ее [c.149]

Завершая обсуждение KZ-модели и всех моделей, сводящихся к ней, необходимо заметить, что все они эквивалентны квантовому синус-Гордона уравнению, прототипом к-рого является классич. одномерное нелинейное ур-ние. Создание квантового метода обратной задачи стимулировало поиск новых точных решений (см. [10—14]), причем они получены не только для одномерных квантовых систем, но также и для двумерной классич. гейзенберговской модели, где была использована инвариантность относительно конформных преобразований (А. М. Поляков и Вигман [9]). [c.154]

Гибридные алгоритмы. Лучшими среди универсальных методов одномерной минимизации считаются так называемые гибридные (или регуляризо-ванные) алгоритмы. Они представляют собой комбинации надежных, но медленно сходящихся алгоритмов типа бисекции с быстро сходящимися методами типа последовательной параболической интерполяции или Ньютона. Эти алгоритмы обладают высокой надежностью и гарантированной сходимостью, причем сходимость становится сверх-линейной, если в окрестности точки строгого минимума функция /достаточно гладкая. Примером эффективного гибридного алгоритма является алгоритм РМГМ [33, 74], который осуществляет поиск [c.140]

При переходе от трехмерного физического пространства к одномерным структурам (канал, трубопровод и т. п.) естественно использовать для описания течения РГ ряд гидродинамических характеристик. Важнейшими из них для решения задач вакуумной техники являются понятия молекулярного потока через канал и проводимости (сопротивления) канала. В исторической ретроспективе поиски корректных методов вычисления этих величин, стимулируемые техническими потребностями, дали, по-видимому, решающий толчок серии классических исследований Кнудсена, Смолу-ховского и Клаузинга. Не удивительно поэтому, что рассмотрению процессов молекулярного течения в каналах и трубах посвящена едва ли не большая часть публикаций по вакуумной технике. Начиная с основополагающей книги Г. А. Тягунова [108], этим вопросам уделялось значительное внимание во всех монографиях по расчету и проектированию ВС. Очень подробно оии освещены, в частности, в работах [17, 32]. Поэтому ограничимся только перечислением важнейших формул и приведем необходимые табличные данные по проводимости трубопроводов, каналов и отверстий, причем <цеит будет сделан на методику Клаузинга. Его подход, реализованный еще в 30-е годы, можно рассматривать в контексте о пого из универсал ,ных методов [c.27]

Количество проб на одном цикле поиска в методе Розенброка превышает количество проб одного шага градиентным методом и составляет Ппт,об — пк, где к — среднее количество проб при одномерной минимизации целевой функции вдоль каждой координатной оси п — количество управляемых параметров. Следует отметить, что точность одномерной минимизации должна быть достаточно высокой, иначе цели преобразования координат могут быть не достигнуты. Это обстоятельство увеличивает к. При узких оврагах точка, из которой начинается покоординатный спуск в каждом новом цикле, оказывается на малом расстоянии от дна оврага. В этих условиях существует опасение, что поиск будет выполняться с чрезмерно малым шагом, что также приводит к росту потерь на поиск. Несмотря на эти недостатки, метод Розенброка, безусловно, более эффективен, чем метод Гаусса — Зайделя или наискорейшего спуска. [c.164]

Хотя задача одномерной оптимизацип является частью более общей задачи многомерной оптимизации, она так часто встречается в процессе конструирования и обладает столь ярко выраженной спецификой, что мы сочли целесообразным рассмотреть ее отдельно. В следующей главе рассматриваются более сложные методы многомерного поиска оптимальных решений. [c.159]

Для хранения разреженных матриц применяются следующие способы прямой, упорядоченных и связанных списков. В первом способе для каждого ННЭ запоминаются числа ац, 1 и /. Этот способ применяется при вводе исходной матрицы, но неудобен для реализации метода Гаусса. Поэтому после ввода исходных данных переходят к другим способам хранения матрицы А, При хранении матрицы А с использованием упорядоченных списков ННЭ располагаются по строкам в соответствии с основным алгоритмом метода Гаусса. Вводятся дополнительные одномерные массивы указателей длиной п для хранения столбцовых и строчных индексов главных элементов, необходимых для выполнения прямого хода. Новые ВНЭ добавляются к строчно-упорядоченному и столбцовоупорядоченному спискам в процессе прямого хода. Это требует дополнительных затрат памяти и времени ЭВМ и процедур по сжатию информации. При хранении матрицы А с использованием связных списков ННЭ располагаются произвольно. В массивах указателей для каждого ННЭ хранятся адреса следующих элементов в той же строке и в том же столбце. Добавление нового ВНЭ в /-ю строку и /-Й столбец сводится к выборке первого элемента свободного списка и установке соответствующих связок, что значительно проще, чем в предыдущем способе. Основной недостаток этого способа — в ходе исключения нужны дополнительные вычисления на поиск главного элемента. [c.37]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...