Метод Фибоначчи

Наиболее эффективными численными методами одномерной оптимизации являются методы Фибоначчи и золотого сечения, основанные на построении последовательности отрезков, стягивающихся в точку оптимума [80]. В качестве примера рассмотрим схему метода золотого сечения (рис. П.2, г). Произвольно выберем начальный интеграл изменения Х в виде (Хтш, Яшах). С помощью чисел Фибоначчи [c.243]

Приведенные соотношения сами по себе не представляют интереса, так как интуитивно очевидны. Они привлечены для иллюстрации минимаксного подхода, который будет использован при рассмотрении метода Фибоначчи. [c.155]

Несколько эффективней метода дихотомии так называемый метод Фибоначчи, в основу которого положена особая числовая последовательность, применявшаяся математиком XII века Фибоначчи. Этот метод сравнительно недавно разработан американским математиком Кифером [26]. Как и метод дихотомии, метод Фибоначчи выражается правилом деления каждого очередного интервала неопределенности, но не на две, а на три части, и не приращением А/ (х), а результатом одного вычисления в отличие от метода дихотомии, но так же, как при способе направленного перебора, число вычислений в каждом конкретном случае применения метода Фибоначчи колеблется в зависимости от непредвиденных сочетаний обсчитываемых точек и точки минимума х на каждом шаге поиска. Поэтому в отношении метода Фибоначчи применим только минимаксный принцип оптимальности, что обязательно надо иметь в виду, рассматривая изложенное ниже обоснование метода. [c.158]

Обоснование метода Фибоначчи начинается с исследования ситуации, возникающей на предпоследнем шаге поиска. Когда поиск после т вычислений закончится, останется интервал неопределенности, равный (т ). Независимо от того, каким он будет, решим вопрос, в каких точках предыдущего интервала неопределенности т — 1) надо вычислить / (х) для того, чтобы в наименее удачном случае интервал S г ( ) оказался наименьшим. [c.158]

Последовательность обсчитываемых значений х при поиске методом Фибоначчи легко определяется, если поиск уже начат. Так как каждый интервал (/) состоит из интервалов (/ + 1) и 2 а + 2), то после того, как получены интервалы (/ + 1) и S а + 2), для выделения S (/ + 3) вычисление надо выполнить в точке интервала S (/ + 2), находящейся на удалении S а + I) — S (/ + 2) от какой-либо из его границ. [c.160]

Заметим, что поиск методом Фибоначчи, таким образом, можно начать, задавшись длиной остаточного интервала неопределенности или числом вычислений. Если это затруднительно, можно воспользоваться методом золотого сечения, который характеризуется примерно такой же эффективностью (см. [26]). [c.161]

Для сравнения эффективности метода Фибоначчи и метода дихотомии можно привести количество вычислений для каждого из них при одинаковом.остаточном интервале неопределенности на уровне менее одного процента. Для метода Фибоначчи = = т = 11, для метода дихотомии mf — 14. [c.161]

Как явствует из описания метода Фибоначчи, при поиске минимума в каждом интервале неопределенности, включая исходный, [c.165]

Если выбрать X=Xn (метод Фибоначчи), то наибольшая точность вычислений достигается за п + 2 цикла вычислений (на последующих циклах полученный отрезок, содержащий точку минимума х, не изменяется). [c.132]

Метод деления отрезка пополам. В методах последовательного поиска для решения задачи минимизации последовательно вычисляются значения функции f ъ пробных точках X х-у,. .., причем для определения каждой точки Xj, можно использовать информацию о значениях функции во всех предыдущих точках. Простейшим методом этого семейства является метод деления отрезка пополам. В нем, как и в двух других рассматриваемых ниже методах минимизации унимодальных функций (методах Фибоначчи и золотого сечения), используется принцип последовательного сокращения отрезка локализации. [c.139]

Метод Фибоначчи — это оптимальный последовательный метод, т.е. метод, обеспечивающий максимальное гарантированное сокращение отрезка локализации при заданном числе N вычислений функции. Он основан на использовании чисел Фибоначчи F , задаваемых рекуррентной формулой Fjj = I + 9 для n > 2 и начальными значениями Fq = 1, F, = 1. [c.139]

Метод золотого сечения почти так же эффективен, как и метод Фибоначчи, но более удобен для практического применения. [c.140]

Рис. 118. Последовательность поиска оптимального значения параметра методом Фибоначчи

В методе Фибоначчи, как и в методе золотого сечения, по сравнению с методом последовательного дихотомического поиска отсутствует неопределенность выбора точек испытаний х и хч. Имеется ряд чисел Фибоначчи fо = 1 = 1 Fj = 2 F3 = 3 F, = 5 F, = 8 fe = 13... [c.207]

Процедура сравнения значений функции Ф (х г) и Ф (Хг) и выбора следующего отрезка та же, что и в методе последовательного дихотомического поиска. В качестве примера рассмотрим последовательность оптимизации методом Фибоначчи при iV = 6 й = 13, а = О (рис. 118). [c.207]

Интервал неопределенности для метода Фибоначчи [c.207]

Метод золотого сечения свободен от недостатка, присущего методу Фибоначчи, связанного с необходимостью назначения числа испытаний N. Но по эффективности метод золотого сечения в 1,17 раза хуже метода Фибоначчи. Метод золотого сечения отличается от метода Фибоначчи также процедурой проведения первых двух испытаний [c.208]

Применяя метод Фибоначчи, прежде всего решают, сколько значений целевой функции N может быть использовано. Затем, зная величину интервала неопределенности, выбирают распределение этих значений N в нем. Так как 21=2о=1, то сначала вычисляют целевую функцию в точках, расположенных на расстояниях 2г от противоположных концов исходного интервала. В этом случае [c.151]

Наилучшими критериями сравнения пяти методов поиска, описанных выше, являются их эффективность и универсальность. Под эффективностью алгоритма обычно понимают число вычислений функции, необходимое для достижения требуемого сужения интервала неопределенности. Из табл. 6.2 следует, что лучшим в этом отношении является метод Фибоначчи, а худшим — метод общего поиска. Конструктор иной раз неохотно прибегает к методу Фибоначчи, так как при его применении требуется заранее задать число вычислений значений функции. Однако он может воспользоваться методом золотого сечения. Как правило, оказывается, что методы Фибоначчи и золотого сечения, обладающие высокой эффективностью, наиболее подходят для решения одномерных унимодальных задач оптимизации. [c.152]

Рис, 3,8 Блок-схема метода Фибоначчи [c.30]

При применении метода чисел Фибоначчи должно быть зафиксировано число точек N, в которых производится вычисление критерия оптимальности. [c.289]

МЕТОДЫ ДИХОТОМИИ, ФИБОНАЧЧИ И МАРЖИНАЛЬНЫХ ЗАТРАТ [c.156]

К методам одномерной оптимизации относятся методы дихотомического деления, золотого сечения, чисел Фибоначчи, полиномиальной аппроксимации и ряд их модификаций. [c.159]

Согласно методу чисел Фибоначчи, используют числа Фибоначчи последовательность которых образуется по правилу при Rg = R =l, т. е. ряд чисел Фибоначчи имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. .. Метод аналогичен методу золотого сечения с тем отличием, что коэффициент а равен отношению R.JR., начальное значение i определяется из условия, что / .должно быть наименьшим числом Фибоначчи, превышающим величину В -А) Е, где Е — заданная допустимая погрешность определения экстремума. Так, если (В-А)/Е = 100, то начальное значение i = 12, поскольку R= 144, и а = 55/144 = 0,3819, на следующем шаге будет а = 34/89 = 0,3820 и т. д. [c.160]

Для решения последней была применена схема Фибоначчи [56 Результаты расчетов приведены в табл. 4.3. Для оболочек из изотропного материала полученные решения мало отличаются от результатов работы [8].Применение метода конечных разностей для оболочек из ортотропного материала позволило вычислить более точные значения коэффициентов перепада температур по сравнению со значениями, полученными аналитическим путем. [c.168]

АЛ. Стахов [32] развивает направление по приложению обобщенных золотых сечений и р-чисел Фибоначчи к решению задач математической теории измерений и использованию нетрадиционных методов теории кодирования информации. Ниже приведены приближенные значения золотых р-пропорций, соответствующие начальным значениям р [c.28]

Метод, использующий числа Фибоначчи, позволяет наиболее эффективно достичь заданной точности в поиске экстремума функции Q и). Числа Фибоначчи определяются соотношением [c.30]

При нахождении желательно максимально ис-польз овать построенную траекторию спуска и найти наилучшую точку на ней, т. е. такую точку, в которой ф (р) имеет минимум. Задача, следовательно, сводится к нахождению минимума оценочной функции от одного параметра р. Для ее решения можно применить известные методы однопараметрической оптимизации половинного деления, золотого сечения, Фибоначчи [c.239]

При применении метода Фибоначчи для отыскания точки А,, при которой 5оп(Х ) достигает минимума, прежде всего зададимся длиной остаточного интервала неопределенности S (т ) пусть 2 ост ( i ) = 0,04. Для того чтобы определить число вычислений, при So T ( г ) = 0,04 и при S (1) = 5,0, в соответствии с (8.10), [c.165]

Методы Фибоначчи и золотого сечения позволяют достичь наилучшей точности при ограниченном числе вычислений значений функций ц>(х) благодаря сокращению числа вы-, числений до одного на каждом шаге после вы-. бора начального отрезка foo, йо1г содержащего точку X, Методы имеют единую схему - [c.131]

Универсальность алгоритма означает, что его можно легко применить для решения самых разнообразных задач. В этом отношении метод Фибоначчи, видимо, уступает другим, так как требует отдельного вычисления положения точек, в которых будут определяться значения целевой функции на каждом новом шаге. Этим приходится расплачиваться за повышение эффективности метода. С точки зрения универсальности малоэффективный метод общего поиска имеет по крайней мере одно преимущество — его можно с успехом применять и для неунимодальных функций, если они достаточно гладкие. Нередко заранее не известно, является ли рассматриваемая целевая функция унимодальной. В таких случаях следует воспользоваться несколькими разными алгоритмами и посмотреть, дают ли они все один и тот же оптимум. Отсюда следует важный вывод, который следует иметь в виду, решая задачи оптимизации не существует универсального алгоритма, который позволял бы решать любые задачи. Решая сложные задачи оптилшзации, следует пользоваться разными методами, так как это позволяет увеличить долю удачных решений. [c.152]

Заметим, что способ направленного перебора, который обычно уступает методу дихотомии, Фибоначчи и аналогичным, в данной задаче может оказаться наиболее эффективным. В п. 8.3 было отмечено, что этот метод становится тем выгодней, чем меньше удаление начальной, как правило, эвристической точки от точки минимума. При вычислении последовательных S (п) с малым приращением А (п) = /ig почти всегда можно с уверенностью сказать, что k п + ho) мало отличается от k (п). Поэтому при поиске S п1 + К) эвристической точкой k tii + h) можно брать k К). Если k п К) = k (п) на поиск будет затрачено три шага (табл. 19 и 20). В худшем случае, если k (п + к) Ф k (я), потребуется 5 шагов. Применение направленного перебора при поиске S п) не обязательно обусловливает также способ поиска minS (я) (можно воспользоваться приемом, показанным в табл. 16). [c.183]

При большом "к" отношение соседних чисел Фибоначчи близко к отношению "золотого сечения". Этот метод делит интервал неопределенности пе в постоянном соотношении, а в неременном и предполагает некоторое, вполне определенное, зависящее от А, число вычислений значений функции [c.30]

Сначала я собирался объединить все сделанные за годы исследований открытия и нововведения (касающиеся развития каналов, соотношений Фибоначчи, цены, времени, структуры, фигур, порядка, Теории Относительности [relativity], моментума) в отдельную главу. Оказалось, что это слишком сложно для полноты информации, освещаемой в каждой отдельной главе, потребовалось бы сначала излагать только старую информацию, затем - новую и в результате пришлось бы дважды объяснять одно и то же. Из соображений лаконичности и целостности представляемого вашему вниманию материала каждый новый метод, концепция или открытие представлены в соответствующем месте, исходя из предположения, что читатель сам сможет четко определить никогда ранее не публиковавшуюся информацию. Ценность этих расширений оригинальных работ Эллиота будет очевидна каждому, кто станет их правильно применять. Для новых методов, концепций и открытий, которые нельзя было включить в ткань текста без ущерба для целостности восприятия, отведено несколько разделов ближе к концу книги. В этих разделах представлена информация, которая либо никогда ранее не публиковалась (Правило подобия и баланса. Расширения Нили, Правило Сложности, Рейтинг Энергичности, Правила логики. Имитация (Эмуляция), Правило Обратной логики. Недостающие Волны и т. д.), либо только была представлена, но никогда не объяснялась подробно (Структурные Серии, доминирование Структурных меток над Метками движения. Компактность. Применение Меток Движения, важность развития Каналов, Отличие Растянутых волн от Многокомпонентных волн ). [c.25]

Когда Сложность фигуры выше первого Уровня, трендовые волны внутри импульсных фигур становятся импульсными поливолнами. Так как дешифрирование волн выше второго уровня Сложности трудная задача, чтобы знать, где заканчивается Импульс, необходимо следить за строгим соблюдением многочисленных правил и методов построения каналов, а также за выполнением ряда соотношений Фибоначчи (все это объясняется в настоящей книге). Для получения качественного прогноза требуется знать точки начала и окончания импульсных фигур и способ их взаимодействия (сочетания) с другими волнами. Но прежде всего необходимо правильно расшифровать небольшие импульсные фигуры. [c.213]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...