Метод золотого сечения

В методе золотого сечения сохраняется постоянным от ношение длин двух последовательных интервалов неопределенности [c.290]

Отметим, что метод золотого сечения требует сравнительно небольшого объема памяти ЭВМ и прост в реализации. [c.290]

Наиболее эффективными численными методами одномерной оптимизации являются методы Фибоначчи и золотого сечения, основанные на построении последовательности отрезков, стягивающихся в точку оптимума [80]. В качестве примера рассмотрим схему метода золотого сечения (рис. П.2, г). Произвольно выберем начальный интеграл изменения Х в виде (Хтш, Яшах). С помощью чисел Фибоначчи [c.243]

Заметим, что поиск методом Фибоначчи, таким образом, можно начать, задавшись длиной остаточного интервала неопределенности или числом вычислений. Если это затруднительно, можно воспользоваться методом золотого сечения, который характеризуется примерно такой же эффективностью (см. [26]). [c.161]

Отдельную группу детерминированных методов поиска составляют покоординатные методы, в связи с тем что человек, работающий в диалоговой системе оптимизации, обычно выбирает пошаговый покоординатный принцип работы с поочередным варьированием переменных. Покоординатное изменение параметров сводит поиск к одномерному, и наибольшими возможностями в однопараметрическом поиске обладают известные итерационные приемы, такие, как методы дихотомии, метод золотого сечения, сходимость которых проверена на многих задачах. [c.120]

Для решения этой задачи оптимизации с использованием численных методов можно отыскать критические точки Q и Q2 в узлах пересечения кривых (например, по методу золотого сечения), а также оптимальный показатель качества Qo, соответствующий наибольшей прибыли (например, по одному из градиентных методов или по методу Ньютона). Алгоритм анализа экономической эффективности конструкции представлен на рис. 1.12. [c.54]

В соответствии с методом золотого сечения (рис. 4.3, б) внутри отрезка [А, В] выделяют две промежуточные точки С, и D, на расстоянии s = aL от его конечных точек, где Z, = В - А — длина отрезка. Затем вычисляют значения целевой функции F(x) в точках С, и Если F( ) < F(D ), то минимум находится на отрезке [A,DJ, если F( ,) > F(D,)), то — на отрезке [С,, В], если F( j) = F(Dj) — на отрезке [С,, D,]. Следовательно, вместо отрезка [А,В] теперь можно рассматривать отрезок [A,D , [С,, 5] или [С , DJ, т. е. длина отрезка уменьшилась не менее чем в Ы Ь - aL) = 1/(1 - а) раз. Если подобрать значение а так, что в полученном отрезке меньшей длины одна из промежуточных точек совпадет с промежуточной точкой от предыдущего шага, т. е. в случае выбора отрезка [А, точка совпадет с точкой Ср а в случае выбора отрезка [С,, 5] точка — с точкой ),, то это позволит сократить число вычислений целевой функции на всех шагах (кроме первого) в 2 раза. [c.159]

Согласно методу чисел Фибоначчи, используют числа Фибоначчи последовательность которых образуется по правилу при Rg = R =l, т. е. ряд чисел Фибоначчи имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. .. Метод аналогичен методу золотого сечения с тем отличием, что коэффициент а равен отношению R.JR., начальное значение i определяется из условия, что / .должно быть наименьшим числом Фибоначчи, превышающим величину В -А) Е, где Е — заданная допустимая погрешность определения экстремума. Так, если (В-А)/Е = 100, то начальное значение i = 12, поскольку R= 144, и а = 55/144 = 0,3819, на следующем шаге будет а = 34/89 = 0,3820 и т. д. [c.160]

Метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется такое его разбиение на две неравные части, что отношение длины всего отрезка к длине его большей части равно отношению длины большей части к длине меньшей части. [c.140]

Очередная (к + 1)-я итерация метода золотого сечения производится аналогично (к 1)-й итерации метода деления отрезка пополам. В отличие от [c.140]

Метод золотого сечения почти так же эффективен, как и метод Фибоначчи, но более удобен для практического применения. [c.140]

В методе Фибоначчи, как и в методе золотого сечения, по сравнению с методом последовательного дихотомического поиска отсутствует неопределенность выбора точек испытаний х и хч. Имеется ряд чисел Фибоначчи fо = 1 = 1 Fj = 2 F3 = 3 F, = 5 F, = 8 fe = 13... [c.207]

Метод золотого сечения свободен от недостатка, присущего методу Фибоначчи, связанного с необходимостью назначения числа испытаний N. Но по эффективности метод золотого сечения в 1,17 раза хуже метода Фибоначчи. Метод золотого сечения отличается от метода Фибоначчи также процедурой проведения первых двух испытаний [c.208]

Интервал неопределенности для метода золотого сечения [c.209]

Рассчитываем оптимальную скорость воздуха в интервале V— =2ч-10 м/с. Для решения уравнения (11.80) используем упрощенный метод золотого сечения , согласно которому первоначально подставляем значение скорости VI, соответствующее точке, делящей [c.148]

Метод золотого сечения [c.148]

Из каждых трех значений целевой функции, вычисленных в интервале неопределенности, в дальнейшем используются только два, а третье не дает дополнительной информации и в дальнейшем не используется. В методе золотого сечения целевая функция вычисляется в точках интервала неопределенности, расположенных таким образом, чтобы каждое вычисленное значение целевой функции давало новую полезную информацию. [c.148]

Рис. 6.12. Обозначения, используемые в методе золотого сечения.

Рис. 6.13. Метод золотого сечения.

При п>2 эффективность метода золотого сечения выше, чем у метода дихотомии, так как при каждом последующем вычислении целевой функции интервал неопределенности сокращается в 1/0,618 раза. После вычисления N значений целевой функции коэффициент дробления интервала неопределенности составляет [c.149]

Метод золотого сечения позволяет подметить интересную закономерность наибольшее сокращение последующих интервалов неопределенности достигается при вычислении целевой функции в точках, равноудаленных от его центра. Если поступать таким образом и каждый раз, вычисляя целевую функцию, сокращать интервал неопределенности, то будут справедливы следующие соотношения [c.149]

Наилучшими критериями сравнения пяти методов поиска, описанных выше, являются их эффективность и универсальность. Под эффективностью алгоритма обычно понимают число вычислений функции, необходимое для достижения требуемого сужения интервала неопределенности. Из табл. 6.2 следует, что лучшим в этом отношении является метод Фибоначчи, а худшим — метод общего поиска. Конструктор иной раз неохотно прибегает к методу Фибоначчи, так как при его применении требуется заранее задать число вычислений значений функции. Однако он может воспользоваться методом золотого сечения. Как правило, оказывается, что методы Фибоначчи и золотого сечения, обладающие высокой эффективностью, наиболее подходят для решения одномерных унимодальных задач оптимизации. [c.152]

Логическим развитием рассмотренной выше методики одномерного поиска было бы последовательное изменение каждого проектного параметра до тех пор, пока не будет достигнут максимум целевой функции. По завершении этой процедуры для всех переменных можно вернуться к первой и посмотреть, нельзя ли еще более усовершенствовать решение. Этот метод, называемый методом покоординатного подъема, не всегда позволяет найти оптимальное решение. На рис. 7.1, а показана двумерная целевая функция, подходящая для решения задачи этим методом. Ее особенность состоит в том, что линии уровня близки по форме к окружностям или эллипсам, оси которых параллельны осям координат. Если же эти оси наклонены к осям координат (рис. 7.1, б), то эффективность алгоритма снижается, так как для нахождения оптимума приходится вычислять гораздо больше значений целевой функции. Метод покоординатного подъема совершенно неприменим, если линии уровня имеют точки излома (рис. 7.1, в) Поскольку линии уровня такого типа весьма часто встречаются в инженерной практике, то прежде, чем воспользоваться указанным методом, следует убедиться, что решаемая задача не имеет подобного недостатка. Несмотря на это, метод покоординатного подъема часто используют на первой стадии решения задачи, применяя затем более сложные методы. К достоинствам метода покоординатного подъема следует отнести возможность использования простых алгоритмов одномерного поиска, таких, как метод золотого сечения. [c.163]

Рис, 3,6 Метод "золотого сечения" [c.29]

Исследование картины равновесных состояний проводим отдельно для каждого из двух возможных механизмов деформирования трубопровода (без гофров и с гофрами). Соответствующие зависимости У (уи) определяются условием равновесия (I), записанным для каждого из двух рассматриваемых типов равновесия. Их можно получить только численно путем непосредственного поиска экстремума потенциала деформаций Е в уравнении (I). Для решения этой задачи применим метод "золотого сечения" / 7 /. Но прежде нужно определить вид функционала Б. [c.122]

К особенностям построения алгоритма рассматриваемого метода следует отнести сведение исходной многопараметрической задачи к однопараметрической на каждом шаге поиска. Это упрощает поиск частных экстремумов Q по каждой координате и позволяет для их определения использовать надежные и эффективные методы однопараметрической оптимизации, например методы деления отрезка пополам (дихотомии), золотого сечения, квадратичной интерполяции [6]. [c.161]

К методам одномерной оптимизации относятся методы дихотомического деления, золотого сечения, чисел Фибоначчи, полиномиальной аппроксимации и ряд их модификаций. [c.159]

Рис. 4.3. Методы дихотомического деления (а) и золотого сечения (б)

Для поиска локальных оптимумов используются однопарамвтрические методы оптимизации (метод покоординатного спуска в сочетанжи с методом золотого сечения), Функщюнально-технические огранячендя на систему пластин целесообразно учитывать методом штрафных функций fij. Тогда алгоритм оптимизации заключается в минимизации функции [c.131]

Для решения этой задачи используется методы золотого сечения или параболической интерполяции (в зависимости от формы задания функции), реализованные в программе fminbnd. [c.277]

В состав подсистемы входят также программа исследования разбросов выходных характеристик РЭС при заданных разбросах параметров РАЗБРОС , программа оптимизации параметров конструкции РЭС с целью снижения массы ОПТИМУМ (реализует метод Нелдера-Мида и метод золотого сечения), программа идентификации теплофизических и физикомеханических параметров макромоделей типовых конструкций РЭС ИДЕНТИФИКАЦИЯ . [c.84]

С---- одномерный поиск методом золотого сечения вдоль кашдой [c.51]

Хотя метод золотого сечения и обладает высокой эффективностью, ясно, что он не является оптимальным при заданном числе вычислений целевой функции. Если конструктору заранее известно, что он сможег использовать лишь два значения целевой функции, то он, конечно, предпочтет метод дихотомии, который позволяет уменьшить интервал неопределенности сразу вдвое, а не в 1/0,618 раза, как метод золотого сечения. Если есть возможность в процессе поиска оптимума изменять расположение точек, в которых вычисляются значения целевой функции, то можно соединить преимущества симметричного расположения точек, о которых говорилось выше, с преимуществами метода дихотомии и построить оптимальный алгоритм поиска. Пусть 2 — длина интервала неопределенности после Ы-го шага. Условие симметрии имеет вид [c.150]

Перейдем теперь к программе решения этой задачи, составленной на языке Фортран. В ней используются две подпрограммы оптимизации, разработанные Мишке [5]. Они модифицированы таким образом, чтобы наименования под-програм.мы для целевой функции можно было использовать как операторы об1,<1гдения в списке аргу.ментов подпрограмм оптимизации. Подпрограмма OMB осуществляет общий поиск максимального значения Т на множестве возможных перемещений. Эта подпрограмма позволяет найти максимальное значение Т даже в том случае, если функция Т (ф) не является унимодальной. Чтобы достаточно быстро сузить интервал неопределенности до 0,01 начального, объединены две подпрограммы такого рода. В подпрограмме GOLD для общего контроля процесса оптимизации используется метод золотого сечения. [c.156]

Гораздо эффективнее, с точки зрения уменьшения затрат на вычисления, метод "золотого сечения" интервал неопределенности делится не пополам, как в методе дихотомии, а в определенном пррацно- [c.28]

На основе анализа значений Р = Q (хх) ж Р2 = Q (хг) интервал неонределенности сокращается путем отбрасывания из рассмотрения отрезка в котором экстремум исключен, исходя из условий унимодальности Q и). Далее мы определим симметричную точку внутри новых границ, вычисляем значение Q в этой точке, проводим анализ и т.д. до тех пор, пока разность между симметричными точками внутри интервала неопределеппости больше А. Блок-схема алгоритма метода "золотого сечения" представлена парне. 3.7. [c.28]

Минимизация проводилась на БЭСМ-6 с помощью программ поиска глобального экстремума функции нескольких переменных при наличии ограничений. Начальное приближение для каждого из локальных экстремумов отыскивалось методом случайных проб, оптимизация проводилась методом Ньютона с применением стохастического поиска и метода золотого сечения . При этом наименьший из найденных локальных экстремумов с некоторой вероятностью и принимался за глобальный. [c.223]

МПа, относительное остаточное удлинение при разрыве 5 =0,06. Значение параметра соответствует минимуму потенциала (12), минимизация проводилась методом "золотого сечения". При этом значении вычислялись напряжения, как описано выше. Зависимости и безразмерной (отнесенной к Я) полудлины 7 пластической зоны вмятины от степени смятия оС=а2(0) приведены на рис.З. Рисунок подтверждает очевидный факт при стре1ллении глубины вмятины к нулю ((, ) ее длина также стремится к нулю. Эпюры максимального aJ(x) и минимального а2(х) размеров сечения в пределах пластической зоны представлены на рис.4. Зависимости интенсивности напряжений в опасных точках (х=0 у=0,ЛУ2 2 =+Н/2) от степени смятия показаны на рис.5. Видно, что опасные точки [c.54]

Методы Фибоначчи и золотого сечения позволяют достичь наилучшей точности при ограниченном числе вычислений значений функций ц>(х) благодаря сокращению числа вы-, числений до одного на каждом шаге после вы-. бора начального отрезка foo, йо1г содержащего точку X, Методы имеют единую схему - [c.131]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...