Закон Гука квадратичный

Таким образом, потенциальная энергия упругой конструкции, подчиняющейся закону Гука, является однородной квадратичной формой координат точки, отсчитываемых от положения ее при недеформированном состоянии конструкции. [c.226]

Если упругое тело подчиняется закону Гука, то упругий потенциал является квадратичной функцией Ъ1) (3.39). В этом случае, учитывая [c.90]

Но упругий потенциал W представляет собой положительно опре> деленную квадратичную функцию компонент ej (см. с. 62). Поэтому равенство (5.18) возможно только в случае, если во всех точках области V, занятой телом, W — 0. Это означает, что во всех точках тела Eij = О, а на основании закона Гука и aij = О, т. е. во всех точках тела [c.92]

Здесь первый интеграл — квадратичная форма относительно составляющих деформаций е, так как согласно закону Гука (3.30) гл. 110 = Се, где матрица С равна [c.631]

Это равенство представляет собой теорему Клапейрона. Оно верно и в том случае, когда рассматриваемая среда не подчиняется закону Гука. Однако, если тело подчиняется закону Гука, то в случае изотермических процессов Ф можно считать однородной квадратичной формой (с точностью до аддитивной [c.347]

Если перемещения заданы формулой (9.9), то можно вычислить соответствующие им компоненты тензора деформаций, которые будут линейными функциями as, и величину свободной энергии Р, которая при наличии закона Гука оказывается квадратичной функцией постоянных а, (и известной функцией координат X, у, г). [c.392]

Деформации материала бруса следуют закону Гука компоненты смещений определяем с учетом квадратичных членов, т. е. рассматриваемая задача геометрически нелинейная, физически линейная. [c.156]

Полагаем, что брус обладает сравнительно малой жесткостью и имеют место конечные деформации, точность компонентов которых определяется квадратичными членами. Материал бруса подчиняется линейному закону Гука, и напряжения не превосходят предел пропорциональности. [c.245]

Для упругой системы, которая подчиняется закону Гука, потенциальную энергию можно записать как квадратичную функцию от перемещений точек приложения сил [c.62]

Равенства (3.1.1), (3.1.4) выражают обобщенный закон Гука. Поведение материала в нем задается двумя постоянными это является следствием предположений об изотропности среды и малости компонент тензора Ум, позволивших в общей квадратичной зависимости между соосными тензорами Т, е сохранить только линейное слагаемое. [c.112]

Упругий потенциал и тензор упругости. Закон Гука, или закон линейной упругости (2.5), можно рассматривать как следствие предположения о существовании упругого потенциала и (потенциальной энергии упругой деформации, отнесенной к единице объема). Величину упругого потенциала и можно представить в виде квадратичной функции компонент напряжений [c.33]

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений а, Оу, Хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений т г и Xyz и кубический закон для напряжений Сг, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26] получил разрешающие уравнения уравнение для прогиба и для функции t]5, которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год [c.191]

В дальнейшем мы пользуемся уже сложившейся терминологией, согласно которой коэ ициенты перед квадратичными членами в разложении внутренней энергии по инвариантам тензора деформации называются модулями второго порядка (иногда линейными модулями), а перед кубическими членами — модулями третьего порядка Последние в обобщенном законе Гука определяют величину квадратичных членов и, следовательно, величину нелинейных эффектов во втором приближении. [c.288]

Определенные квадратичные формы весьма часто встречаются в механике и в ее практических применениях — в теории колебаний, в теории устойчивости и т. п. В частности, определенной положительной квадратичной формой является потенциальная энергия упругой системы (13.420 при наличии обобщенного закона Гука (13.39) или (13.40), кинетическая энергия материальной системы с голономными и стационарными связями [c.495]

В случае линейного закона Гука потенциалы напряжений и деформаций являются квадратичными функциями своих аргументов. [c.48]

Она представляет собой квадратичную форму относительно компонент деформации, и в силу закона Гука (см. (5.14)) [c.27]

Можно думать, что энергия П в первом приближении является квадратичной функцией своих переменных. Тогда можно записать простые соотношения, аналог закона Гука [c.292]

Для упругих систем, следующих линейному закону Гука, как было показано выше, потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений. В частности, при действии одной обобщенной силы Р потенциальная энергия выражается уравнениями (9.5) и (9.6) [c.269]

Для аналитического определения упругих постоянных материалов, армированных волокнами, наибольшее распространение получил метод приведенного сечения [ПО]. Этот метод основан на предположении, что оба компонента системы деформируются совместно и следуют закону Гука. Аналогичный подход развит в работе [133]. В работах [120, 121] предложены аналитические зависимости для определения упругих постоянных материалов, армированных параллельными круглыми волокнами. Упругие постоянные определены для гексагонального и произвольного расположения волокон. Задача решена вариационным методом в предположении, что полимерное связующее и стекловолокно линейно упруги, изотропны и однородны. Полученные результаты в отличие от результатов, определенных по методу приведенного сечения, учитывают величины коэффициентов Пуассона для составляющих материалов. Точное решение задачи о растяжении бруса, армирующие элементы которого имеют квадратичное расположение, рассматривается в работе [77]. На основе анализа решения в этой работе предложены приближенные формулы для усредненных характеристик материалов. [c.100]

Подавление осцилляций, присущих численному решению, осуществлялось введением в закон Гука комбинированной искусственной вязкости, равной сумме квадратичной и линейной. Точность расчета была проверена путем дробления шагов по координатам и времени. [c.218]

Плотность упругой энергии. Число постоянных S j и Сц, которое в общем случае равно 36 [уравнения (4.12) и(4.13)], можно уменьшить с помощью некоторых соображений. Плотность упругой энергии U в приближении закона Гука является квадратичной функцией деформаций (вспомните выражение для энергии растянутой пружины). Таким образом, для U можно записать следующее выражение [c.155]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

Связь (3.7) носит название закона Гука. Константы К, р, называются модулями всестороннего сжатия и сдвига соответственно. Когда деформации не малы и необходимо учитывать нелинейные эффекты, связь сгг (С г ) следует дополнить членами более высокого порядка (например, квадратичными по Um). Для анизотропных тел (кристаллов) закон Гука записывается в виде где — тензор четвертого порядка. [c.29]

Повседневный опыт и лабораторные исследования показывают, однако, что в действительности продольные волны с высокой точностью сохраняют форму своего профиля. Дело в том, что для малых амплитуд волны, когда з достаточно мало по сравнению с единицей, уравнение (8.2) удовлетворяется приближенно с высокой степенью точности. В самом деле, если пренебречь малой величиной 8 по сравнению с единицей, то правую часть (8.2) можно приближенно заменить величиной рс з при этом, сохраняя члены порядка 8, мы отбрасываем члены, квадратичные по з, и члены еще более высокого порядка малости. С другой стороны, при малых степенях сжатия приближенно выполняется закон Гука давление пропорционально степени сжатия. Это значит, что, снова с точностью до членов первого порядка по , можно считать [c.28]

Составление выражения потенциальной энергии как квадратичной формы координат q оказывается здесь значительно более сложным, чем во всех рассмотренных выше примерах. К такому выражению потенциальной энергии можно было бы прийти, например, следующим образом. Вычислив с помощью известных формул сопротивления материалов коэффициенты влияния подставляем их в уравнения (3.17) и затем решаем эти уравнения относительно Последние получаются в виде отношений определителей га-го порядка (в нашем примере — четвертого порядка). Их вычисление связано с большими затратами времени. Значительно менее трудоемким является в рассматриваемом случае способ составления уравнения малых колебаний, основанный на использовании уравнений обобщенного закона Гука (3.8). [c.116]

Таким образом, упругий потенциал представляет собой однородную функцию второй степени относительно компонент деформации. Заметим, что закон Гука можно было бы а рг1ог1 определить как такое соотношение между напряжениями и деформациями, при котором упругий потенциал представляет собой однородную квадратичную функцию. [c.220]

Здесь напр1яжения выражаются не только через перные степени деформа-miii, k ik в обобщенном законе Гука (линейная упругость), но зависят и от ква-Д()атов деформаций (квадратичная теория упругости). [c.149]

Если коэффициенты Ламе Я, и ц положительны (что подтверждается опытнылш данными), то свободная энергия Ф в случае изотермических процессов в изотропной среде, подчиняющейся закону Гука, является дефинитной (положительно определенной) квадратичной формой. Положительная дефинитность квадратичной формы Ф имеет место и в случае неизотропных тел. Докажем теперь единственность решения [c.348]

Нетрудно показать, что если упругое тело подчиняется закону Гука, причем F можно считать положительно определенной квадратичной формой от гц для всех изотермических процессов с Т = То = onst, то условие (9.8) превращается в условие минимума полной свободной энергии в состоянии равновесия. В самом деле, пусть [c.391]

Э. Рейсснер [29] дает модификацию теории. Задав на первом этапе линейный закон изменения напряжений а, Оу, Т"ху ПО толщине ПЛЗ" СТИНЫ и получив из уравнений равновесия квадратичный закон для поперечных касательных напряжений, он интегрирует соотношения закона Гука для поперечных касательных напряжений при условии, что прогиб W не меняется по толщине пластины. При этом получается кубический закон изменения перемещений ы, оно толщине лластины. Подставляя эти перемещения в соотношения закона Гука для напряжений а, Оу, Хху, он получает следующее приближение для этих напряжений квадратичный закон изменения по толщине. При этом соотношения обобщенного закона Гука для моментов, полученные.интегрированием закона Гука для напряжений, имеют такой же вид, как и в работе [25]. [c.192]

Ограничиваясь квадратичной формой в разложении (/(( , D ), учитывая для анизотропных тел выражение закона Гука, заключаем, что ковариантность разложения требует существования еще двух групп констант вещества двухиндексных — для сверток компонент вектора Е и трехиндексных — для сверток компонент ij и Ek. В результате [c.273]

В. В. Новожилов (1948, 1958) высказал ряд критических замечаний о квадратичной теории. Вкратце они сводятся к следующему. Возможность полной или частичной линеаризации геометрических и статических (динамических) соотношений нелинейной теории упругости определяется чисто геометрическими факторами величиной удлинений, сдвигов и углов поворота как по сравнению с единицей, так и между собой. Поэтому используемый в квадратичной теории недифференцированный (указанным выше образом) подход к упрощению статико-геометрических соотношений носит формальный характер. Далее, для упрощения соотношений, связывающих напряжения и деформации, недостаточна малость компонент деформации по сравнению с единицей. Требуется сравнивать их с физическими константами материала (пределами пропорциональности) — величинами, как правило, весьма малыми по сравнению с единицей. К тому же для квадратичной теории характерно сохранение в выражении для потенциала напряжений, наряду с квадратичными, и кубических членов (пятиконстантная теория Фойхта — Мурнагаца). Для большинства же реальных материалов отклонение от закона Гука обусловливается четными степенями компонент деформации. [c.75]

Упругие постоянные третьего порядка. В области применимости закона Гука плотность упругой энергии квадратична относительно компонент деформации [см. выражение (4.14)]. Вне этой области появляются произведения деформаций более высокого порядка. Постоянные упругой жесткости третьего порядка связывают упругую энергию с произведениями трех компонент деформации. Эти постоянные являются постоянными самого низшего порядка из всех постоянных, входящих в описание нелн-нейных эффектов (гл. 6), таких, например, как взаимодействие фононов и термическое расширение. Эти постоянные третьего порядка могут быть определены из измерения скоростей звуковых волн с малыми амплитудами в статически напряженной среде. В [19, 20] установлено, что экспериментально определенные постоянные упругой жесткости третьего порядка находятся в хорошем соответствии с теоретическими предсказаниями. [c.168]

Если p и Y равны нулю, то говорят, что реакция q линейна. (Она подчиняется в этом случае совершенно линейному закону Гука для пружины.) Линейная реакция 9(/)=a( os o)i + os СО2О является суперпозицией гармонических колебаний с частотами (Oj и oj- (В этом случае вы не слышите F ) Член с коэффициентом [5 определяет квадратичную нелинейность, а следующий член — кубическую. [c.53]

При малых отклонениях от равновесия, потенциальную функцию можно почти всегда достаточно хорошо аппроксимировать квадратичной параболой. Для грузика на пружинке это справедливо до тех пор, пока верен закон Гука, т.к. пока возвращающая сила пропорциональна отклонению. Другой пример такой аппроксимации дает рассмотрение колебаний под действием силы веса массы ш, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити длиной I. (рис.З). Такая колебательная система называется математическим маятником. Считая потенциальную энергию в РисЗ. Маятник положении равновесия (ф=0) равной нулю, получим, что при отклонении на угол (р [c.119]

Условия синхронизма. При определённых условиях возмущения, возникающие в области взаимодействия волн, могут усиливаться и приводить к излучению волн комбинационных частот. Это происходит в случае, когда возбуждения в отдельных точках об -ласти взаимоде11ствия возникают в соответствующих фазах, т. е. имеется временнбе и пространственное согласование. Условия согласования во времени и в пространстве при взаимодействии двух волн с частотами сох и 0)2 и волновыми векторами и /Сз, в результате к-рого излучается волна комбинационной частоты соз с волновым вектором / 3, наз. условиями синхронизма. Для квадратичного закона Гука (2) — т. н. квадратичной нелинейности — условия синхронизма будут [c.224]

Решёточная нелинейность определяется особенностями сил взаимодействия между атОхмами кристаллич. решётки (отклонением от квадратичности в законе Гука) и характеризуется модулями упругости 3-го порядка — тензором 6-го ранга В пьезо- [c.227]

В 80-х годах XVII в. над теми жо вопросами задумывались и другие английские ученые. По словам Галлея, ему удалось в 1683 г. вывести из третьего закона Кеплера обратную квадратичную пропорциональность тяжести с расстоянием, но он не мог отсюда объяснить и вывести эллиптическое движение светил. Архитектор Рен развивал воззрения, похожие на взгляды Гука, предполагая, что движение планет слагается из их равномерпо-го прямолинейного двин оиия и падения на Солнце. Во ь[)емя встре 1и Репа с Гуком и Галлеем Рен предложил премию тому, кто докажет, что иод действием силы, убывающей обратно ироиорциопальпо квадрату расстояния, возникает движение по эллипсу. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...