Кривизна линии на поверхности геодезическая

Известно, что при изгибании поверхности геодезическая кривизна линии на поверхности не изменяется, а ее полная кривизна связана с геодезической кривизной соотношением [c.149]

Геодезической кривизной линии на поверхности называется модуль вектора геодезической кривизны, т. е. [c.796]

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь две точки, всегда является прямой линией на поверхности и кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая. [c.46]

Геодезическая кривизна поверхности 296 Геодезические линии на поверхности 296 Геометрическая прогрессия 80, 81 Геометрическая статика 352 Геометрические места — Уравнения 240 Геометрическое значение уравнения 239 Геометрия— Приложение интегрального исчисления 189 [c.548]

Эти результаты показывают, что направление радиуса кривизны траектории совпадает с направлением нормали к поверхности. Такая линия на поверхности, радиус кривизны которой направлен по нормали к поверхности, называется геодезической. В анализе доказывается, что геодезическая линия есть кратчайшее расстояние между двумя данными точками на поверхности. Из сказанного Следует [c.375]

Геодезической кривизной в точке Л4 линии Г на поверхности называется кривизна в той же точке кривой Г, [c.296]

Геодезической кривизной Kg в точке М. линии Г на поверхности называется кривизна в той же точке кривой Г, являющейся проекцией Г на касательную плоскость поверхности в точке М. Кривизна К линии Г, Kg и нормальная кривизна К кривой Г (кривизна нормального сечения плоскостью, проходящей через т кривой Г и через п к поверхности в точке М) связаны соотношениями (фиг. 75) [c.296]

Если поверхность тока близка к цилиндру или конусу (К я 0), то данный метод расчета удобно применять в плоскости развертки, используя свойство неизменяемости геодезических кривизн линий 5 и я. В более общем случае К ф 0 расчеты затрудняются необходимостью геометрических построений на поверхности вращения. В этом случае ту же методику более целесообразно применить в плоскости х, у конформного отображения поверхности вращения (см. рис. 115). [c.347]

Из выражения (57.8) видно, что развитие вторичных течений обусловливается только градиентом полного давления в потоке и геодезической кривизной линий тока на поверхностях Бернулли. [c.439]

Известно, что геодезическая кривизна линии I на поверхности остается неизменной при любом изгибании поверхности. Для того чтобы эта линия не распадалась на совместной развертке поверхностей и Фг, геодезическая кривизна в любой точке М линии I, отнесенной к поверхности Фь должна равняться геодезической кривизне этой линии, отнесенной к поверхности Фг. Последнее возможно лишь в том случае, когда касательные плоскости в точке Mi линии I к поверхности Ф1 и Фг симметричны относительно соприкасающейся плоскости линии I в той же точке. [c.150]

Из (5.53) следует, что называемая геодезической кривизной величина р< характеризует отклонение главной нормали кривой на поверхности от нормали к поверхности. Точки кривой, в которых р( = О, называют геодезическими, а кривые на поверхности, точки которых являются геодезическими — геодезическими линиями. Как следует из (5.53), в геодезических точках кривой [c.259]

Введенные в П. 2.8 и П. 2.9 для / 2 определения геодезической кривизны, геодезических линий и параллельного переноса вектора на поверхности в том же словесном выражении повторяются в R , [c.810]

Входящие сюда величины kz. к пт носят название нормальной кривизны поверхности в точках линии С в направлении Т и геодезического кручения, а величина называется геодезической кривизной, характеризующей отклонение главной нормали кривой С, лежащей на поверхности, от нормали к поверхности. Для их определения имеют место формулы [c.30]

Следовательно, эта кривизна всюду положительна, равна нулю или отрицательна, если А С О, А = О или А > О соответственно. Другими словами, каждая неособая точка на 8 является эллиптической, параболической или гиперболической (в смысле определений дифференциальной геометрии) в зависимости от того, какой орбите (эллиптической, параболической, гиперболической) на плоскости (ж, у) соответствует постоянная энергии А. В частности, метрика на поверхности 8л будет евклидовой тогда и только тогда, когда А = 0. Отсюда следует, что если А О, то на геодезических линиях поверхности 8л не существует сопряженных точек. [c.221]

Множество точек линейчатой поверхности, в которых обращается в нуль геодезическая кривизна ортогональных траекторий образующих, называется стрикционной линией линейчатой поверхности (или линией сжатия, так как через каждую стрикционную точку в пределе проходит общий перпендикуляр двух бесконечно сближающихся образующих). Стрикционная точка на каждой образующей отмечает самое узкое место линейчатой поверхности в окрестности этой образующей. [c.38]

Безразмерная величина продольной компоненты вектора трения на поверхности тела определяется продольным градиентом скорости, геодезической кривизной линии тока, толщиной вытеснения пограничного слоя и параметром вдува. [c.157]

Вернемся к общему случаю. Допустим, что нить находится в равновесии и будем деформировать поверхность таким образом, чтобы длины начерченных на ней линий не изменялись. Тогда геодезическая кривизна этих линий остается неизменной. В то же время сохраним для натяжения нити те же значения и изменим F таким образом, чтобы Ff и Fp не изменились. Тогда два естественных уравнения равновесия будут по-прежнему удовлетворяться, и нить останется в равновесии. Изменится только реакция N. [c.183]

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Отметим, что система (59.1 1) — (59.12) вообще справедлива на любой поверхности и являются при этом геодезическими кривизнами соответствующих линий. [c.456]

Существенные результаты для случая га = 3, но при ограничительном предположении, что система дифференциальных уравнений есть система уравнений классической динамики (каноническая система) и, следовательно, обладает интегральным инвариантом, получил Ж. Адамар Он дал классификацию возможных в этом случае траекторий, которые совпадают с геодезическими линиями поверхности отрицательной кривизны. Эти геодезические линии, как оказалось, могут быть трех категорий. Первую составляют замкнутые линии, иначе говоря, периодические орбиты, и геодезические, асимптотические к замкнутым геодезическим. Вторую составляют линии бесконечного удаления или, если угодно, отбрасывания на бесконечность. Они расположены на бесконечных полах поверхности. Третью и последнюю категорию образуют геодезические, которые остаются целиком в конечной области, и таких линий заведомо существует бесконечно много. [c.136]

Другой пример доставляет геодезический поток на выпуклой поверхности, близкой к эллипсоиду. В этой системе две степени свободы, и мы убеждаемся, что большинство геодезических на близкой к трехосному эллипсоиду поверхности колеблется между двумя каустиками , близкими к линиям кривизны поверхности, всюду плотно заполняя кольцо между ними. В то же время мы приходим к теоремам об устойчивости двух замкнутых геодезических, получившихся при деформации поверхности из двух эллипсов, содержащих среднюю ось эллипсоида (в отсутствие резонансов порядков 3 и 4). [c.380]

Рассмотрим теперь ту часть поверхности 5, разделенной линией g на две части, в которой лежит к, и в частности часть 5, лежащую между g и к. Одной из границ этой области з будет линия g, имеющая всюду геодезическую кривизну, равную нулю, а другая граница 7 состоит из части или всего к и его предельных точек. [c.186]

Струна, натянутая на гладкой кривой поверхности, в положении равновесия будет расположена вдоль некоторой геодезической линии и, будучи подчинена определенным условиям устойчивости, при смещении начнет колебаться около этой конфигурации. Самый простой случай, который можно себе представить,— это тот, когда поверхность представляет собой цилиндр какой-либо формы и когда положение равновесия струны перпендикулярно к образующим. Изучающий легко покажет самостоятельно, что движение не зависит от кривизны цилиндра и что колебания во всех существенных чертах таковы же, как если бы данная поверхность была развернута в плоскость. Заслуживает внимания случай бесконечной струны, образующей кольцевую обмотку вокруг цилиндра. [c.235]

Знание элемента дуги любой линии на поверхности, которое дои стигается измерениями, производимыми на самой поверхности т доступными двумерным суш.ествам, на ней обитаюш.им , определяе-первую квадратичную форму поверхности и с нею внутреннюю геометрию поверхности к внутренней геометрии принадлежат составляю-ш,ие метрического тензора и все величины, определяемые по ним, т. е. элемент площади, символы Кристоффеля первого и второго рода, геодезическая кривизна линии на поверхности. Задачи разыскания геодезических линий, определения операций ковариантного дифференцирования и параллельного переноса вектора на поверхности также относятся к внутренней геометрии. При изгибании поверхности, не сопровождаемом изменением длин линий на ней, перечисленные величины остаются неизменными — они представляют инварианты изгибания. Нормальная кривизна не является, конечно, инвариантом изгибания. Этим объясняется, что коэффициенты второй квадратичной формы принципиально не могут быть вычислены при задании только метрического тензора. Их определение было связано с введением вектора нормали т поверхности. [c.799]

Поясним смысл величин Л2, Лз, В и Вз. Для этого определим геодезическую кривизну линии на поверхности. Если определить на поверхности семейство ортогональных линий = сопз1, т] = [c.114]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Однако хотя этот факт и отражает основное убеждение современной динамики, но, несмотря на все усилия, удовлетворительного его доказательства еще нет. Убеждение это состоит в том, что система общего вида в силу постулатов классической статистической механики, но прежде всего в силу исследований Пуанкаре, Адамара, Леви-Чивита и Биркгофа, а также в силу результатов подробных исследований, относящихся к группам Фукса или к геодезическим линиям на поверхностях отрицательной кривизны, характеризуется если не метрической, то региональной транзитивностью ( 124а). [c.119]

Некоторые общие свойства развертывающихся поверхностей с нарушением регулярности (двукратной дифференцируемости) вдоль отдельных линий рассматриваются в работе [274J. Отмечается, что каждая гладкая точка развертывающейся поверхности является внутренней точкой прямолинейного отрезка, лежащего целиком на поверхности (прямолинейная образующая). Показано, -что если через точку развертывающейся поверхности проходят две прямолинейные образующие, то эта точка имеет плоскую окрестность, т. е. окрестность, являющуюся куском плоскости. Если какая-нибудь точка образующей имеет плоскую окрестность, то каждая внутренняя точка образующей тоже имеет такую окрестность (вдоль образующей имеет место уплощение поверхности). Если вдоль прямолинейной образующей развертывающейся поверхности нет уплощения, то она упирается своими концами либо в ребро, либо в край поверхности. Ребро 7 не может иметь плоской полуокрестности, если геодезическая кривизна ребра у на развертывающейся поверхности отлична от нуля. В указанной работе [274] проводится качественное исследование изометрического преобразования цилиндрической поверхности. [c.262]

Отсюда на основании 7 следует теорема ъсли струйка пе имеет вращения перпендикулярно к своей оси, то жидкая площадь, соответствующая ее сечению, вращается во время движения около нерпендикуляра к соприкасающейся плоскости осевой линии на бесконечно малый угол, равный углу смежности этой линии, в сторону, обратную ее вращению. Шестое равенство из грунны (27) определяет изменение среднего сечения цилиндрика из круглого в эллиптическое. Мы видим, что это изменение вполне определяется по указательнице струйки, так что удлинение каждого радиуса среднего сечения равно геодезической кривизне в поверхности тока, соответствующей ортогональной линии, умноженной на — Ьу [c.86]

Если по главной нормали линии, лежащей на поверхности (в нашем случае нити ЛВ), отложить в сторону вогнутости радиус кривизны р, то его проекция на касательную плоскость йазы-вается радиусом геодезической кривизны данной линии. [c.148]

Пусть мы имеем более общий случай, когда поверхность имеет любую форму, и пусть точка Р движется вдоль геодезической линии, начав свое движение из точки О. Эта геодезическая линия будет кратчайшим путем от О до Р до тех пор, пока Р не перейдет за некоторую точку О (если такая существует), представляющую точку пересечения с соседней геодезической линией, проходящей также через О. За этой точкой минимальное свойство нарушается. На антикластической поверхности (на которой главные кривизны имеют противоположные знаки) две геодезических линии не могут пересекаться более одного раза, и, следовательно, каждая геодезическая линия является кратчайшим путем между двумя любыми своими точками. [c.270]

Геометрия на развертывающейся поверхности та же, что и на плоскости, если прямые линии заменить геодезическими (т. е. линиями, к-рые- при развертывании на плоскости переходят в прямые). В частности на развертывающейся поверхности имеет место обычная тригонометрия. Кривизна (см. Поверхности) развертывающейся поверхности всюду равна нулю. Оба семейства асимптотич. линий сов падают с прямолинейными образующими Всякая кривая на развертывающейся поверх ности, касающаяся прямолинейной образу ющей, имеет в точке касания точку перегиба во всех других точках кривизна кривой не равна нулю. Всякая кривая, пересекающая ребро возврата, имеет в точке пересечения точку возврата. Этим объясняется самое название ребра возврата. Исключение составляют только кривые, каеающиеся в этой точке прямолинейной образующей они переходят с одной полости развертывающейся поверхности на другую, имея в точке касания с ребром возврата точку перегиба. [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...