Геодезические линии на поверхност

Геодезической линией на поверхности называется линия, в каждой точке которой главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности поскольку ЬЬ есть элемент- кривой, лежащей в плоскости xMN, то главная нормаль к этой кривой в точке М направлена по MN. Следовательно, ЬЬ — элемент геодезической линии. [c.422]

Геодезическая линия на поверхности ( на плоскости...). [c.15]

Исследование траекторий тяжелой точки на вертикальной плоскости хОу производится так же, как исследование геодезических линий на поверхности S, линейный элемент которой определяется формулой [c.464]

Возвращаясь снова к телеологической стороне этого принципа и принципа наименьшего действия Гамильтона, заметим, что наименьшее действие при известных обстоятельствах может оказаться и наибольшим действием . Дело в том, что требование ... = О соответствует собственно не минимуму а, вообще говоря, лишь экстремуму. Проще всего это можно показать на примере геодезических линий, на поверхности шара, которые являются дугами больших кругов. Если начальная точка О и конечная точка Р траектории находятся в одном и том же полушарии, то дуга большого круга, непосредственно соединяющая эти две точки, будет, правда, короче всех круговых дуг, получающихся от пересечения сферы с плоскостями, проходящими через О и Р, но не через центр шара однако и дополнительная дуга большого круга, которая при противоположном начальном направлении движения проходит от точки О через все второе полушарие к точке Р, представляет собой геодезическую линию, причем эта линия длиннее всех остальных круговых дуг, проходящих от О к Р через второе полушарие. Отсюда [c.276]

Для определения траектории (геодезической линии на поверхности вращения) возьмем снова интеграл живых сил и, рассматривая в нем г как сложную функцию от t через 0 исключим 6 при помощи интеграла площадей. Для функции 2 (6), которая определяет траекторию на поверхности, мы получим таким образом дифференциальное уравнение [c.148]

Элемент длины в пространстве конфигураций ф равен элементу длины отрезка на цилиндре радиуса 6 с i, ф, в качестве цилиндрических координат. Если нет заданных сил (7 = О в уравнении (27.7.8)), траектории в пространстве конфигураций соответствуют геодезическим линиям на поверхности цилиндра если последний развернуть на плоскость, то геодезические линии перейдут в прямые. [c.556]

Нити расположены по геодезическим линиям поверхности оболочки. Эта геометрия характерна для оболочек, изготовляемых намоткой натянутых нитей на оправку, имеющую форму поверхности оболочки (например, для стеклопластиковых оболочек, получаемых спиральной намоткой). В этом случае нити укладываются по кратчайшим расстояниям, т. е. по геодезическим линиям. Уравнение геодезических линий на поверхности вращения имеет вид [c.386]

Геодезическая кривизна поверхности 296 Геодезические линии на поверхности 296 Геометрическая прогрессия 80, 81 Геометрическая статика 352 Геометрические места — Уравнения 240 Геометрическое значение уравнения 239 Геометрия— Приложение интегрального исчисления 189 [c.548]

В состоянии равновесия нить, находящаяся на идеально гладкой поверхности, располагается по геодезической линии этой поверхности (Теорема 2). Геодезической линией на поверхности назы- вается такая линия, у которой соприкасающаяся плоскость в каждой ее точке проходит через нормаль к поверхности в этой точке. Если нить находится в равновесии, то и любая ее часть находится в равновесии. Рассмотрим элемент нити (рис. 3.14) который находится в равновесии под действием силы натяжения и реакции поверхности [c.86]

Однородное напряженное состояние на поверхности конического образца при его кручении может быть достигнуто приложением крутящего момента, пропорционального кубу расстояния от вершины конуса. Тогда траектория разрушения должна совпадать с геодезической линией на поверхности конуса, описываемой уравнением Клеро. [c.15]

Как и в плоскости, на произвольной поверхности можно ввести полярные координаты. При этом роль прямых на поверхности играют геодезические линии, проходящие через начальную точку (полюс), а окружности заменяют линии, ортогональные к геодезическим линиям (так называемые геодезические- окружности). Рассмотрим поподробнее вопрос о геодезических линиях на поверхности. Согласно соотношениям (5.2" и (5.47) для касательного к поверхности вектора и == и г — ы г производная в направлении, определяемом единичным вектором t = = i r , равна [c.268]

Уравнение геодезической линии на поверхности вращения имеет, как известно, вид [c.236]

Геодезические линии на поверхности [c.407]

Пример. Геодезическими линиями на поверхно-СТИ круглого цилиндра являются винтовые линии на плоскости — прямые, на шаровой поверхности — окружности больших кругов. [c.207]

В качестве примера рассмотрим задачу о геодезических линиях на поверхности вращения S. Такая поверхность характеризуется тем свойством, что при соответствующем конформном отображении области, принадлежащей S, на евклидову плоскость х, у) квадрат элемента дуги ds на S представится в виде [c.182]

Наконец, из изложенного в 179 следует, что при фиксированном значении постоянной энергии к проблема интегрирования уравнений Лагранжа (16а) эквивалентна проблеме геодезических линий на поверхности 8л, на которой квадрат элемента дуги йз- выражается формулой [c.205]

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь две точки, всегда является прямой линией на поверхности и кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая. [c.46]

Если ЛИНИЯ тока внешнего течения совпадает с геодезической линией на поверхности, вдоль которой градиент поперечного давления обращается в нуль, то на этой линии поперечная потоку скорость отсутствует (теорема о линиях растекания). Действительно [c.113]

Выберем систему координат с началом в критической точке так, чтобы линия т = 0 совпала с плоской геодезической линией на поверхности и линией тока внешнего течения. Это сделать нетрудно при наличии плоскости симметрии у рассматриваемого течения. Поперечная по отношению к потоку скорость на этой линии отсутствует, но производная скорости по поперечной координате отлична от нуля. Если начало координат выбрать так, что Пе с, [c.140]

Прямая линия межд> двумя точками на развёртке соответствует кратчайшему расстоянию между этими точками на поверхности. Эти линии на поверхности называют геодезическими линиями. [c.196]

При развертке цилиндрической поверхности на плоскость винтовая линия превращается и прямую. Это объясняется тем, что линейное и угловое перемещения точки связаны прямой пропорциональной зависимостью. Следовательно, винтовая линия есть геодезическая линия цилиндрической поверхности. [c.84]

Кратчайшие линии на поверхности называются геодезическими линиями. [c.200]

Траекторией точки, движущейся по поверхности, будет, очевидно, кривая, лежащая на этой поверхности всеми своими точками. Возьмем поверхность Q (рис. 365), и пусть аа будет элемент траектории, точки. Проведем в точке М касательную к траектории Mr, нормаль к поверхности MJV и главную нормаль к траектории Мп. Проведем теперь через касательную т и нормаль /V к поверхности плоскость, которая пересечет поверхность по некоторой кривой элемент ЬЬ этой кривой будет принадлежать геодезической линии данной поверхности, касающейся траектории в точке М Проведем [c.422]

Нитка, туго натянутая между двумя произвольными точками на поверхности цилиндра, идет по винтовой линии эта линия будет кратчайшей из всех, которые можно провести между этими двумя точками, или геодезической линией на цилиндре. [c.185]

Справедливо более общее предложение, что задача отыскания траекторий на поверхности S при заданной силовой функции U эквивалентна задаче отыскания геодезических линий на другой поверхности S. В самом деле, представим себе вспомогательную поверхность S, на которой линейный элемент определяется равенством [c.462]

Подобным способом можно найти и кратчайшую кривую между двумя точками сферы, для чего длину дуги на поверхности сферы нужно выразить через угловые сферические координаты. Кривые, реализующие кратчайшее расстояние между двумя точками заданной поверхности, называются геодезическими линиями этой поверхности. [c.47]

Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение которой определяется координатами qi, то уравнения (7.46) будут определять ее траекторию в собственном смысле этого слова (а не траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций). Координаты qi могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть ограничено связями, заставляющими ее двигаться не в трех измерениях, а.в двух, т. е. по некоторой поверхности. Тогда ее положение на этой поверхности будет определяться координатами qi и 2, а dp будет, очевидно, пропорционально элементу длины ее траектории. Уравнения (7.46) будут тогда определять траекторию этой точки на поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на точку не действуют никакие активные силы, ее траекторией будет одна из геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например, сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является геодезической линией сферы. [c.260]

Геодезические линии на произвольной кривой поверхности мы определим здесь как траектории свободной (а значит, движущейся также и без трения) материальной точки, связанной с поверхностью. Пусть масса точки будет равна единице, уравнение поверхности пусть будет F x,y,z) = 0. [c.284]

Пример. Частица вынуждена оставаться на некоторой поверхности к ней не приложены силы. Риманово пространство теперь имеет два измерения, а его геометрия идентична внутренней геометрии заданной поверхности. Движение частицы по поверхности происходит по одной из геодезических линий этой поверхности. [c.167]

Геодезической линией на поверхности называется такая линия, в каждой точке которой Kg = 0. Вдоль геодези- [c.296]

Исследуем вопрос о существовании систем размешивающегося типа. При этом мы будем опираться на принадлежащие Хедлюнду и Хопфу [37] исследования о распределении элементов геодезических линий на поверхностях с заданной римановой. метрикой. [c.184]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Здесь введена функция Клеро = = г sin ф, которая при ус.товии g = = onst выражает известное уравнение геодезической линии на поверхности вращения. С другой стороны, равновесная форма баллона давления должна удовлетворять уравнению (3.6), которое может быть записано в форме [c.362]

Метод минимакса. Посредством метода минимакса можно устанавливать существование дальнейших периодических движений. Простейшую иллюстрацию этого метода мы получим, если будем рассматривать геодезические линии на поверхности вида тора в обыкновенном трехмерном пространстве. Изложенный выше метод минимума, очевидно, дает нам для каждого класса эквивалентных замкнутых кривых, не сводимых в точку, по крайней мере одну геодезическую линию, принадлежащую этому классу. Будем теперь деформировать замкнутую кривую I таким образом, что в начальном и в конечном положении она будет совпадать с упомянутой минимальной геодезической линией и по крайней мере одна из угловых координат увеличится при деформации на 2ктт. Конечно, во время этого движения длину I придется, вообще говоря, увеличивать по сравнению с начальной, и эта длина пройдет через некоторый максимум. Рассмотрим деформацию, для которой этот максимум будет наименьшим. В некотором положении Г кривая I действительно достигает этого максимума. Это положение I [c.141]

Предполагается, что удары о границу являются абсолютно упругими. Эта динамическая система называется эллиптическим биллиардом. Согласно Биркгофу [42, гл. VIII] эллиптический биллиард получается из известной задачи Якоби о движении по геодезическим линиям на поверхности трехосного эллипсоида [c.99]

Однако хотя этот факт и отражает основное убеждение современной динамики, но, несмотря на все усилия, удовлетворительного его доказательства еще нет. Убеждение это состоит в том, что система общего вида в силу постулатов классической статистической механики, но прежде всего в силу исследований Пуанкаре, Адамара, Леви-Чивита и Биркгофа, а также в силу результатов подробных исследований, относящихся к группам Фукса или к геодезическим линиям на поверхностях отрицательной кривизны, характеризуется если не метрической, то региональной транзитивностью ( 124а). [c.119]

Исключим тривиальный случай равновесного решения, а также изолированные значения t, соответствуюгчие точкам возврата. Тогда изложенное в 179 показывает, что решения уравнений (111), соответствующие постоянной энергии h, можно рассматривать как геодезические линии на поверхности на которой квадрат элемента дуги равен [c.188]

Выберем за криволинейные координаты х у = onst) однопараметрическое семейство геодезических линий на поверхности матрицы, а за криволинейные координаты у х = onst) семейство ортогональных линий. Такие семейства всегда могут быть построены на поверхностях указанного класса. [c.507]

Четвертая группа задач связана с построением разверток поверхностей (точных, приближенных и условных). Построение разверток поверхностей имеет как самостоятельное значение с точки зрения изготовления их из листового материала, так и вспомогательное значение при решении ряда метрических задач на построение отдельных линий или сетей линий на поверхности. К ним относятся задачи на построение кратчайших (геодезических) линий, криволинейных фигур с заданными метрическими свойствами, при-надлежашими той или иной поверхности. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...