Матрица симплектическая

Лемма 1. Матрица — симплектическая, т. е. фазовый поток состоит из канонических (симплектических) отображений. [c.239]

Без ограничения общности можем полагать, что det 22 О- Если для Ж это условие не выполняется, то рассмотрим Ж = ПЖ, где П - матрица симплектической перестановки. При каждой элементарной перестановке мы меняем местами две строки матрицы Ж и изменяем знак одной из них. Поэтому det (Э , Ж) = = det Ж. Так как любая перестановка есть суперпозиция элементарных перестановок, то det Ж = det Ж. Согласно теореме 3, выбором П можно получить матрицу Ж, у которой det Д22 0. [c.324]

Ввиду каноничности преобразования (34) матрица А должна быть симплектической, т. е. она должна удовлетворять также и такому матричному уравнению [c.318]

Таким образом, симплектические матрицы являются неособенными ). [c.185]

Матрицу М, удовлетворяющую соотношениям (3), будем называть обобщенно-симплектической (с валентностью с) ). [c.185]

Как легко проверить, произведение двух симплектических матриц, обратная матрица для любой симплектической и единичная матрица являются снова симплектическими матрицами. Поэтому симплектические матрицы образуют группу — симплектическую группу. [c.185]

Симплектические матрицы характеризуются следующим свой- [c.185]

Замечание 1. Матрицы М, удовлетворяющие тождеству (7) при с = называются симплектическими если же в (7) с то матрица М называется обобщенно симплектической (с валентностью с). Так как, согласно (3), det J = то из равенства (7) на основании теоремы об умножении определителей получаем [c.339]

Так как преобразование фазового пространства, задаваемое движениями гамильтоновой системы, является унивалентным каноническим преобразованием, то (см. п. 171) матрица Х( ) фундаментальных решений системы (3) является симплектической, т. е. при всех t справедливо равенство [c.548]

Такая матрица называется симплектической. [c.470]

Напомним, что все матрицы монодромии имеют одни и те же собственные значения. Если х есть собственное значение симплектической матрицы М (которая является матрицей монодромии фундаментальной матрицы It (t)), то 1/ л также является собственным значением. В самом деле, если — собственное значение матрицы М, то [c.470]

Все четыре условия (24.13.4) — (24.13.7) эквивалентны друг другу каждое из них влечет за собой три остальных. Матрица М, обладающая таким свойством, называется симплектической матрицей (см. 23.6). Если М есть симплектическая матрица, то это относится и к транспонированной и к обратной матрицам. [c.500]

Теорема. Матрица S является симплектической тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий [c.236]

ИЛИ, в краткой записи х = Зб. К/йх, где 3 — симплектическая матрица 2п х 2п [c.293]

Отметим еще, что 7 — матрица оператора 1 в симплектических координатах. [c.22]

Теорема 3, Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии M имеет п + к интегралов Fl, F2,..., F +k, причем на поверхности Мс = х е F,(x) = = i, 1 i п + к эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Пуассона [c.88]

Докажем теорему 1 для простого, но важного для приложений случая п = 1. Пусть собственное значение отображения д не является корнем из единицы, и пусть х,у — симплектический базис для д. Собственные направления д — две прямые а = О и у = 0. Выше было показано, что любой однородный интеграл д имеет вид с хуУ з е М). Пусть д —другое отображение из группы С. Функция хуУ инвариантна относительно действия д, поэтому множество ху = О остается неподвижным при отображении д. Так как д — невырожденное линейное отображение, то точка х = у = О неподвижна, и отображение д либо сохраняет собственные направления отображения д, либо переставляет их. В первом случае д, очевидно, коммутирует с 5, а во втором случае имеет вид х —у ау, у — х. Отображение д — симплектическое, поэтому его матрица Т = р удовлетворяет условию Т У JT = J, откуда а = [c.365]

Упражнение 2. Докажите, что - симплектическая матрица. Покажите, что применение оператора к симплектическому базису сводится к взаимной перестановке всех сопряженных базисных векторов и изменению знака одного из них. [c.311]

Лемма 1. Матрица Ш будет симплектической тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия [c.315]

Упражнение. Докажите, что столбцы симплектической матрицы Ш1 определяют некоторый симплектический базис в арифметическом пространстве Покажите, что из этого факта сразу следуют соотношения (2). [c.315]

Более конкретно матрица Ж получается из Ж перестановками строк 4 и т + 4 для некоторых 4 т (и соответствующем изменении знака элементов одной из строк). При этом теорема утверждает, что для симплектической матрицы Ж таким путем [c.321]

Теорема 4. Определитель симплектической матрицы 2S равен +1. [c.324]

Пусть Ж - матрица стандартного симплектического линейного диффеоморфизма [c.324]

Поэтому ж - симплектическая матрица. [c.327]

Доказательство, а) Если (3) - симплектический диффеоморфизм, то матрица Якоби этого преобразования удовлетворяет соотношению [c.329]

Определение. Матрицу вида "З В, где - симплектическая единица, а 5 - симметрическая матрица, называют гамильтоновой матрицей. [c.451]

Устойчивость гамильтоновых систем связана с устойчивостью симплектических преобразований. Рассмотрим линейное симплектическое преобразование /о /1, определяемое матрицей А [c.452]

Все обобщенно-симплектические матрицы (при всех также образуют группу. Если М — обобщенно-симплектическая матрица, то AtXM — . [c.185]

Другие доказательства теоремы Якоби. В 25.1 мы привели дока.зательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований ( 24.2 и 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся по-пезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы М ( 24.13) оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. [c.513]

Симплектической единицей называется матрица размером 2 Х2га [c.236]

Матрица S называется в этом случае симплектической. Ясно, что она непременно невырождена. [c.236]

Пример. Пусть п= 1. Тогда симплектическим пространством будет плоскость R (2i22). Пусть каноническое отображение задается матрицей [c.237]

Задача 57. Пусть g = Sz — стандартная линейная ческая замена (5 — симплектическая матрица) [c.262]

Левая часть равенства (37) часто называется [91, 158] фазовым потоком гамильтоновой системы. Таким образом, теорема Лиувилля утверждает, что поток гамильтоновой системы постоя-пещ. Введение симплектической матрицы Якоби, а также матриц Пуассона и Лагранжа позволяет в удобной и компактной форме написать основные свойства канонических систем и преоб-разоваиий. [c.200]

Первый, предварительный этап нор мализации сводится к нахождению такой невырожденной вещественной симплектической матрицы N, что преобразование [c.229]

Зафиксируем значение интеграла энергии, отвечающее частному решению zo(-), и ограничим уравнения Гамильтона (5.15) на (2п — 1)-мерную энергетическую поверхность H z) = H zo -)) = = onst, в результате получим автономную систему дифференциальных уравнений с тем же частным решением. Этому решению отвечают приведенные уравнения в вариациях (порядка 2п — 2) и приведенная группа монодромии. Из теоремы Уиттекера о понижении с помощью интеграла энергии порядка уравнений Гамильтона вытекает гамильтоновость приведенной системы уравнений в вариациях. Следовательно, матрицы из приведенной группы монодромии также являются симплектическими. [c.364]

Теорема 2. Преобразование В будет симплектическим тогда и только тогда, когда матрица преобразования удовлетворяет следуюгцему уравнению [c.310]

Обозначим через 8р(2т) множество симплектических преобразований (матриц). Справедливы следуюгцие свойства [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...