Матрица Пуассона

Это соотношение между матрицами Пуассона и Лагранжа справедливо для произвольного преобразования х, г/)—> (а , г/ ). Кроме того, для произвольных независимых вариаций имеем [c.304]

С помощью скобок Пуассона можно составить так называемую матрицу Пуассона размерности 2и X 2п [c.198]

В практике исследований по динамике маневренных ЛА часто разделяют эту систему на быструю и медленную части с точки зрения процесса интегрирования ОДУ. Быстрая часть уравнений интегрируется в отдельном блоке с меньшим шагом, результаты передаются в другой блок, интегрирующий медленные уравнения с большим шагом . Этот подход, несмотря на явное предпочтение с точки зрения быстродействия программного кода, имеет суш,ественный недостаток обе подсистемы являются зависимыми друг от друга, и такое разделение может привести к неустойчивости получаемого решения и дополнительной алгоритмической ошибке. В этой связи в рамках излагаемой технологии интегрируется полная система уравнений, включаюш,ая в единый вектор состояния как параметры движения центра масс (компоненты положения и скорости ЛА), так и параметры углового движения объекта (угловые скорости в связанной СК, параметры Родрига-Гамильтона, или другие параметры ориентации ЛА углы Эйлера, матрица Пуассона и т. п.). Тот факт, что различные уравнения в этой расширенной системе должны интегрироваться с различной точностью, находит отражение в масштабировании вычисляемой локальной ошибки на шаге в соответствии с т.н. вектором масштабных коэффициентов. Очевидно, что компоненты вектора подобраны таким образом, чтобы обеспечить лучшую необходимую точность вычислений для компонент вектора состояния, соответствующих быстрому движению. [c.227]

В Приложении I рассматривается произведение матриц ЛР, причем доказывается используемое ниже свойство матриц Пуассона и Лагранжа (П. 1.2.39) [c.516]

Матрица Пуассона Р вводится аналогично матрице Лагранжа — ее элементами являются скобки Пуассона (а , а ), ( , р ), (Р , а ,), (р , p ). Запись, аналогичная (П. 23), имеет вид [c.760]

Аналогичное соотношение имеет место для матриц, входящих в состав матрицы Пуассона (П. 1.28) [c.762]

И матрица Пуассона Р, составленная из скобок Пуассона Pj), Рз) = ДЛЯ обратного преобразования [c.246]

Эти равенства должны быть выполнены в любой момент времени. Их наличие облегчает процедуру поиска столбцов матрицы оператора А. Система уравнений, выражающая изменение векторов подвижного репера в репере Зо, называется системой уравнений Пуассона для базисных векторов, связанных с твердым телом. Такая система удобна, если вектор и) задан координатами в неподвижном репере. [c.134]

Здесь О/ — напряжение в волокне, эффектом поперечной деформации, связанной с неодинаковостью коэффициента Пуассона, найдем, что при совместной и одинаковой деформации волокна и матрицы напряжения относятся как модули упругости. Полимерная матрица упруга вплоть до момента разрушения, отношение модуля упругости угольного волокна к модулю упругости эпоксидной смолы / = 40 ООО 350 = 114, когда напряжение в волокне равно пределу прочности порядка О/= 300 кгс/мм От = 300 114 = = 2,6 кгс/мм , тогда как предел прочности смолы порядка 7— 8 кгс/мм Этот простой подсчет, имеющий целью лишь оценку порядка величины, показывает, что волокна рвутся раньше, чем матрица. Это тем более относится к материалам с металлической [c.696]

Эта формула приближенна по двум причинам. Во-первых, волокна и матрица имеют разный коэффициент Пуассона, поэтому происходит неравномерная поперечная деформация и возникает поле 45 [c.699]

Модель сферического включения развивалась в направлении, в котором конкретизировались упругие свойства включения и матрицы. При этом задавались значения постоянных упругости, например %, ц, о, , (сжимаемости, модуля сдвига и коэффициента Пуассона) матрицы и р, включения, а также радиусы Г и (см. рис. 9, а). Тогда из условия равновесия безграничной матрицы с включением (условия минимума суммарной упругой энергии матрицы и включения) получается формула для определения Го (см. (4,8)), которую приближенно можно переписать в виде [c.60]

Параметры жесткости модели зависят от экспериментальных данных композиционного материала на начальном участке деформирования. На линейном участке нагружения легко определяются. модуль Юнга (Ес), коэффициент Пуассона (Vo) изотропной составляющей н коэффициент /( перед матрицей жесткости (3.69), соответствующей ортотропной составляющей модели. Действительно, три независимые компоненты жесткости материала в осях 123, входящие в левую часть (3.74), считаются известными их рас- [c.81]

Рис. 5.0. Зависимость относительных модулей упругости и коэффициентов Пуассона слоистого материала от коэффициента Пуассона матрицы при 8 = 150

Рис. 5.0. Зависимость <a href="/info/66427">относительных модулей упругости</a> и <a href="/info/4894">коэффициентов Пуассона</a> <a href="/info/1733">слоистого материала</a> от <a href="/info/4894">коэффициента Пуассона</a> матрицы при 8 = 150

Модули упругости и коэффициенты Пуассона модифицированного связующего определяют через компоненты матрицы жесткости по следующим зависимостям [c.204]

Для того чтобы перейти от коэффициентов жесткости к более распространенным в инженерной практике модулям упругости и коэффициентам Пуассона, следует обратить матрицу 1Сц] и получить матрицу коэффициентов податливости [5 у] [93]. [c.162]

В формулах (73) и (74) Е — модуль Юнга, G — модуль сдвига, а V12—коэффициент Пуассона, определяющий деформацию в направлении оси у при одноосном растяжении в направлении оси X. Аналогично, полная матрица жесткостей Qj в тех же осях [c.52]

Большинство относящихся к данной задаче теоретических результатов дают лишь максимальные коэффициенты концентрации напряжений при частных значениях коэффициентов Пуассона, равных 0,35 для матрицы и 0,20 для волокна. Сравнение [c.537]

Используя преимущества цилиндрической симметрии, можно легко получить аналитические выражения для напряжений в композите. Поскольку коэффициенты Пуассона волокна и матрицы в условиях продольного нагрул ения различны, в компонентах композита возникают радиальные и тангенциальные напряжения. Они обусловлены наличием прочной связи между компонентами, которая вынуждает волокно и матрицу деформироваться совместно, а не независимо. Механическое взаимодействие между волокном и матрицей определяется, в основном, различием коэффициентов Пуассона и, в меньшей степени, различием модулей Юнга. [c.51]

Различие коэффициентов Пуассона вызвало ограничение поперечных деформаций в обшивках из композиционных материалов. Получаемые дополнительные сдвиговые и трансверсальные напряжения в слоистом материале показаны на рис. 6. Под действием этих напряжений происходит разрушение по слабой матрице. [c.138]

Возвратимся к произвольному преобразованию х, у) —> х, у ). Пусть и А представляют переменные х[,. . a V+b Уи у nбольшие латинские индексы принимают значения 1,2,. . ., 2N + 2 с обычным условием суммирования. Мы имеем затем две кососимметричные 2N + 2) X 2N + 2) матрицы — матрицу Пуассона Р, элементами которой являются Pab = [ua, ub], и матрицу Лагранжа L с элементами Zab = Wa, ub - Элемент АС произведения LP равен тогда [c.303]

Матрицы Пуассона и Лагравжа обладают следующими свой- ствами [c.199]

Левая часть равенства (37) часто называется [91, 158] фазовым потоком гамильтоновой системы. Таким образом, теорема Лиувилля утверждает, что поток гамильтоновой системы постоя-пещ. Введение симплектической матрицы Якоби, а также матриц Пуассона и Лагранжа позволяет в удобной и компактной форме написать основные свойства канонических систем и преоб-разоваиий. [c.200]

Обозначение коэффициента Пуассона снабжено двумя индексами. Первый соответствует оси, по которой приложено напряжение, а второй - той оси, по которой происходит сужение. Для монотропной среды, естественно, /i2i = М31- Написав аналогичные выражения и для остальных компонент деформированного состояния, получаем матрицу податливости мо-нотропного материала в следующем виде [c.340]

Здесь Е1, Ег, Ез — модули упругости в направлении координатных осей X, у, г соответственно, Р12, рги [Хи, [Хл, 1Хгз, Рзг — коэффициенты Пуассона. Например, коэффициент Ри характеризует величину поперечной деформации в направлении оси у от напряжений о , а Р21 — величину деформаций в направлении оси X от напряженшй о . Поскольку матрица коэффициентов йц симметрична и а = ац, то коэффициенты Пуассона уц и модули упругости Ец E для ортотропного тела связаны дополнительными равенствами [c.40]

Формула (3.5) [4] является полуэмпн-рическим приближением к более точным соотношениям для Трансверсального модуля, вытекающим из решения задачи теории упругости, формула (3.6) представляет собой предел (при Е ->-—> оо) модуля сдвига в плоскости укладки волокон. Исходя из энергетических условий, она описывает нижнюю границу модуля сдвига слоистой среды. Модуль сдвига в плоскости, перпендикулярной к укладке волокон направления 3, при том же предельном переходе имеет идентичное выражение, поэтому указанная формула используется для записи модуля сдвига модифицированной матрицы в плоскости 1 2 укладки слоев. Выражение для коэффициента Пуассона модифицированной матрицы получается при подстановке формул (3.5) и (3.6) в. условие изотропии = 2С 2 (1 - - v 2). Зна- [c.58]

Таким образом в случае плоской деформации процедура усреднения компонент жесткости слоев композиционного материала с абсолютной точностью позволяет определить эффективные жесткости Оц ( , / 1,2) в плоскости лишь для косоугольной равновесной структуры материала. Отметим также, что эти компоненты равны соответственно компонентам жесткости слоя, определенным при повороте системы осей упругой симметрии слоя на угол 0 вокруг оси 3. Однако технические упругие константы — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — композиционного материала и отдельного слоя имеют различия, так как отличаются их компоненты податливости, полученные обращением матриц различных порядков. В плоской задаче для равновесного косоугольного армированного композиционного материала обращается матрица жесткости второго порядка, соответствующая ортотроп ному материалу, а для отдельного слоя, повернутого на угол 0, обращается матрица жесткости (при ез — О) третьего, порядка, соответствующая моноклинной симметрии материала. [c.73]

Расчетные значения коэффициентов Пуассона по модели материала, сводящейся к однонаправленной волокнистой структуре с ортотропной матрицей, ложатся на кривые 7, 8, 9, которые проходят несколько ниже кривых I, 2, 3. Наличие некоторого расхождения в значениях и (кривые 8, 9) обусловлено тем, что при расчете были использованы упрощенные выражения, члены порядка с/п, отбрасывались. Модификация матрицы при этом не была однотипной, так как арматура различных направлений усреднялась со связующим. Без указанных упрощений расчет по выражениям (табл. 5.2) практически совпадает (с точностью до 1,0—1,5 %) с кривой 8. [c.141]

Аномальное изменение таких трансверсальных характеристик, как модуль Юнга 3 н коэффициент Пуассона х ]з при Vg - 0,5, объясняется несжимаемостью матрицы. При этом дефорнативиость слоистой модели в значительной степени обусловлена слоями арматуры совместные равные деформации матрицы и слоев имеют место только параллельно плоскости слоя, а перпендикулярно слою напряжение Оз вызывает деформацию Вз только в слое арматуры. [c.143]

Рис. 1. Кривая напряжение — деформация в опыте на чистое растяжение материала матрицы напряжения вфунт/дюйм , деформации в % (по Адамсу [2]). Кривая а соответствует алюминиевому сплаву 2024, отожженному в течение 2 ч при 482 °С начальный модуль упругости равен 8,1-10 фунт/дюйм , коэффициент Пуассона равен 0,32. Кривая б соответствует эпоксидной смоле 828/1031 с начальным модулем упругости 0,52 10 фунт/дюйм и коэффициентом Пуассона 0,35.

Рис. 1. Кривая напряжение — деформация в опыте на <a href="/info/25669">чистое растяжение</a> <a href="/info/133391">материала матрицы</a> напряжения вфунт/дюйм , деформации в % (по Адамсу [2]). Кривая а соответствует <a href="/info/29899">алюминиевому сплаву</a> 2024, отожженному в течение 2 ч при 482 °С начальный <a href="/info/487">модуль упругости</a> равен 8,1-10 фунт/дюйм , <a href="/info/4894">коэффициент Пуассона</a> равен 0,32. Кривая б соответствует <a href="/info/33628">эпоксидной смоле</a> 828/1031 с начальным <a href="/info/487">модулем упругости</a> 0,52 10 фунт/дюйм и коэффициентом Пуассона 0,35.

Трехмерных фотоупругих исследований было проведено очень мало. Дюрелли с соавторами [23] и Паркс с соавторами [49] изучали распределения напряжений вокруг включений различной конфигурации в подвергающихся усадке и механической нагрузке матрицах. Они использовали заливку эпоксидной смолы с низкой температурой отверждения вокруг включения из плексигласа или из иного эпоксида. Применялась обычная методика замораживания напряжений и изготовления срезов. Поскольку при критической температуре коэффициент Пуассона очень близок к 0,5, материал считался несжимаемым. [c.527]

Гори [29] применил метод теории функций комплексного переменного к исследованию плоской задачи о бесконечной матрице с двумя жесткими цилиндрическими включениями и указал, что положение точки максимального напряжения зависит от расстояния между включениями, В случае больших промежутков между волокнами наибольшее главное напряжение достигается на границе раздела, однако в случае промежутков, меньших радиуса волокна, точка максимума смещается к середине межволоконного промежутка. От1мечено также заметное влияние коэффициента Пуассона материала матрицы, причем для заданной величины промежутка наибольшие наиряжения соответствуют несжимаемой матрице. Например, для промежутка между волокнами, равного половине радиуса волокна, максимальное напряжение при коэффициенте Пуассона, равном [c.538]

Было предпринято несколько попыток преодолеть эти трудности. Эдельман [24] предложил метод изготовления фотоупру-гих моделей, свободных от усадки. Дженкинс [41], Пи и Сатлиф [52], а также автор пытались применить методы рассеянного света, которые являются неразрушающими и позволяют проводить испытания при комнатной температуре, при которой коэффициент Пуассона матрицы таков же, как у моделируемого композита. На рис. 33 показано исследование простой модели в полярископе рассеянного света с лазерным источником модель состояла из заделанного в эпоксидную матрицу стеклянного стержня и подвергалась сжатию. На рис. 34 представлена картина полос в рассеянном свете, получающаяся в том случае, когда луч лазера направлен вдоль границы раздела параллельно оси волокна. [c.540]

Эта модель не только точно описывает кривую напряжение — деформация при нагружении композита в направлении волокон,, но также демонстрирует рост напряжений на поверхности раздела вследствие пластического течения. Как уже отмечалось выше, напряжения на поверхности раздела существенно зависят от различия коэффициентов Пуассона. С началом пластического течения матрицы ее эффективный коэффициент Пуассона начинает увеличиваться от значений, присущих упругой области, до 0,5 — идеального значения коэффициента Пуассона в пластической области. В результате различие коэффициентов Пуассона волокна и матрицы возрастает, так как у материала волокна коэффициент Пуассона, как правило, меньше. Таким образом, величина напряжений на поверхности раздела растет довольно быстро с развитием лластического течения. [c.53]

Лоусон и Керр [51] объяснили быстрое деформационное упрочнение матрицы в тонкодисперсных пластинчатых системах А1 — АЬСи и А1 — AljNi тем, что упрочнитель упруго стесняет обогащенную алюминием матричную фазу. Этот эффект обусловлен поперечными напряжениями, которые развиваются из-за различия в значениях коэффициента Пуассона граничащих фаз [53]. [c.261]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...