Единица симплектическая

Удобно перейти к симплектическому базису отображения д если z = х,у), X = xi,..., x i), у = (г/1,..., 2/ i)—координаты в этом базисе, то д (х,у) —у Хх,Х у). Симплектический базис существует, если все А, отличны от единицы (1 <. s < г — 1) это утверждение доказано, например, в книге [230]. [c.364]

Докажем теорему 1 для простого, но важного для приложений случая п = 1. Пусть собственное значение отображения д не является корнем из единицы, и пусть х,у — симплектический базис для д. Собственные направления д — две прямые а = О и у = 0. Выше было показано, что любой однородный интеграл д имеет вид с хуУ з е М). Пусть д —другое отображение из группы С. Функция хуУ инвариантна относительно действия д, поэтому множество ху = О остается неподвижным при отображении д. Так как д — невырожденное линейное отображение, то точка х = у = О неподвижна, и отображение д либо сохраняет собственные направления отображения д, либо переставляет их. В первом случае д, очевидно, коммутирует с 5, а во втором случае имеет вид х —у ау, у — х. Отображение д — симплектическое, поэтому его матрица Т = р удовлетворяет условию Т У JT = J, откуда а = [c.365]

Введенная в рассмотрение симплектическая единица обладает некоторыми простыми свойствами, которые мы будем в дальнейшем использовать. [c.297]

Определение. Матрицу вида "З В, где - симплектическая единица, а 5 - симметрическая матрица, называют гамильтоновой матрицей. [c.451]

Возможен и критический случай, когда часть (или все) корней характеристического уравнения по модулю равны единице, а остальные по модулю меньше единицы. При этом сформулированное утверждение не применимо, и требуются иные критерии устойчивости. Один из важных частных случаев составляют консервативные системы с ударами (например, биллиарды) их можно описать гамильтоновыми дифференциальными уравнениям [15] или симплектическими отображениями. Это дает возможность использовать для анализа устойчивости результаты КАМ-теории [16, 32, 35, 34. [c.246]

Следствие. Определитель любого симплектического преобразования равен единице. [c.194]

Но поскольку всякая симплектическая линейная структура записывается в стандартном виде в симплектической системе координат, определитель симплектического преобразования любого симплектического пространства равен единице, ч.т.д. [c.194]

В. Индексы замкнутых кривых. Индексы замкнутых кривых на лагранжевых подмногообразиях линейного фазового пространства можно вычислять также с помощью комплексной структуры. Введем в линейном фазовом пространстве R = (р, 9) , кроме симплектической структуры, dp Д dg еще евклидову структуру (со скалярным квадратом р -j- д ) и комплексную структуру, заданную умножением на мнимую единицу [c.413]

После этих предварительных замечаний вернемся к нашему лагранжеву многообразию и лежащей на нем замкнутой ориентированной кривой. В каждой точке кривой имеется касательная плоскость к лагранжеву многообразию в линейном симплектическом пространстве. Квадрат определителя унитарного преобразования, переводящего вещественную плоскость в касательную, есть комплексное число, по модулю равное единице. При движении точки по нашей замкнутой кривой это комплексное число меняется. За время полного обхода кривой квадрат определителя совершит некоторое целое число оборотов вокруг начала координат на плоскости комплексного переменного, ориентированной от 1 к Это целое число и есть индекс рассматриваемой замкнутой кривой. [c.414]

В невырожденном (регулярном) случае размерность симплектического листа равна восьми. Однако при i = О или при сг = О размерность листа падает на две единицы. При с ф Q, сг = О особый симплектический лист (сингулярная орбита) гомеоморфна (ко)касательному расслоению трехмерной сферы TS (T S ), и для векторов Ь,тг выполняются соотношения [c.282]

Для симплектических отображений устойчивость негиперболических трансверсальных точек может наблюдаться при любой размерности. Согласно упражнению 5.5.3 множество собственных значений линейного симплектического отображения в может содержать любое количество m п пар комплексно сопряженных собственных значений, модуль которых равен единице. Из предположения, что все эти собственные значения тосты, немедленно следует, что наличие тп различных пар комплексных собственных значений, модуль которых равен единице, является свойством, сохраняющимся при малых возмущениях линейного симплектического отображения, и, следовательно, то же верно для собственных значений дифференциала малого С -возмущения симплектического отображения в трансверсальной неподвижной точке. Если т = п, такая точка называется эллиптической. [c.302]

Симплектической единицей называется матрица размером 2 Х2га [c.236]

И новых координатах 1 = Ру — < 4- Следовательно, функция Гамильтона И не зависи г от сопряженных переменных З2 и /З . Таким образом, число счененей (чюбоды понижено на две единицы получено зависящее о т двух параме гров 2 и семейство гамиль-гоновых систем с двумя степенями свободы. Симплектическими координатами являются переменные i, з, / Ь/бз. При аг = 4 = 0 <1>ункция М является интегралом приведенной системы. Следовательно, эта гамильтонова система с двумя степенями свободы вполне интегрируема, В частности, функции i, з,/ui,/З3 можно найти с помощью квадратур. Оставшиеся циклические координаты (З2 и /У4 ввиду формул р2 = дК/да2, 4 — дК/да , К а,[3) = = Н х,у) находятся простым интегрированием. [c.93]

Пусть М М — симплектический диффеоморфизм. Мы скажем, что диффеоморфизм гомологичен тождественному, если его можно соединить с тождественным диффеоморфизмом (оставляющим на месте все точки многообразия М) гладкой кривой gt, состоящей из симплектических диффеоморфизмов, так, Ч Ю поле скоростей в каждый момент времени I имеет однозначную функцию Гамильтона. Можно доказать, что симплектические диффеоморфизмы, гомологичные тождественному, образуют коммутант связной компоненты единицы в группе всех симплектических диффеоморфизмов многообразия. [c.387]

Что касается последнего ограничения (диффеоморфизм не слишком далек от тождественного), то неясно, существенно ли оно. В случае, когда наше многообразие — 2п-мерный тор, достаточно, чтобы ни одно из собственных чисел матрицы Якоби ди( -феоморфизма (в какой-либо глобальной симплектической системе координат, заданной в К ") не равнялось минус единице. [c.387]

Рассмотрим пространство бинарных форм (однородных многочленов от двух переменных) нечетной степени. На этом четномерном линейном пространстве действует группа линейных преобразований плоскости. С точностью до множителя существует ровно одна невырожденная кососимметрическая билинейная форма на этом пространстве, инвариантная относительно действия группы 8Ь(2) линейных преобразований с определителем единица. Эта форма задает на многообразии бинарных форм нечетной степени естественную симплектическую структуру. [c.447]

Определение лагранжева кобордизма опирается на понятие лагранжева края. Рассмотрим лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения многообразия с краем. Физически лагранжево подмногообразие описывает коротковолновую асимптотику волнового поля. Волновое поле в области индуцирует волновое поле на краю зтой области. Его асимптотика определяет лагранжево подмногообразие пространства кокасательного расслоения края. Это лагранжево подмногообразие называется лагранжевым краем исходного (лагранжева) подмногообразия. Размерность лагранжева края на единицу меньше размерности исходного подмногообразия, и оно вложено в симплектическое пространство, размерность которого на 2 меньше размерности исходного симплектического пространства. [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...