Уравнение энергии термоупругости

Для получения уравнения энергии термоупругости будем исходить из интегрального тождества [c.118]

Для получения линеаризованных уравнений классической термоупругости представим объемную плотность свободной энергии в виде суммы [c.91]

Экспериментально было установлено, что кристаллы мартенсита, образовавшиеся первоначально при М , в результате термоупругого превращения испытывают обратное превращение при Полное изменение свободной энергии при прямом превращении описывается уравнением [c.17]

В этих уравнениях — изменение химической свободной энергии, 8 Ад ) — увеличение свободной энергии нехимической природы (с учетом только упругой энергии, накопленной при термоупругом превращении). Таким образом, Ад - энергетический член, соответствующий силе сопротивления росту или уменьшению кристаллов мартенсита или образованию и исчезновению новых кристаллов мартенсита. [c.17]

Решение связанной динамической задачи термоупругости, описываемой системой дифференциальных уравнений (1.54) и (1.56), оправдано в тех случаях, когда механическое и тепловое воздействия на тело изменяются достаточно быстро, так что инерционные члены pUj оказываются по значению сопоставимыми с другими членами в (1.54). К таким случаям относятся, в частности, распространение и затухание упругих волн [34], интенсивные импульсные тепловые воздействия на поверхности тела и быстрое изменение мощности энерговыделения в объеме. При импульсных воздействиях, когда характерное время воздействия сравнимо с периодом релаксации при переносе тепловой энергии в материале тела (для металлов 10 с [25]) вместо (1.49) следует использовать обобщенный закон теплопроводности qi + t ji = —ЯТ, , который учитывает конечную скорость переноса тепловой энергии и запаздывание значения теплового потока относительно текущего значения градиента температуры. Тогда из (1.47) вместо (1.56) получим [c.21]

Теория максимального напряжения 187, — максимальной деформации 188,----разности напряжений 188,--упругой энергии деформации 188 Термоупругие уравнения 407 [c.672]

Наконец, в седьмой главе рассматриваются динамические задачи термоупругости о динамических эффектах в телах, подверженных действию импульсивных тепловых потоков, и связанные задачи термоупругости о колебательных процессах, сопровождающихся выделением тепла, распространением связанных упругих и тепловых волн и термоупругим рассеянием энергии. Оба указанных класса задач сводятся к исследованию волновых уравнений. [c.9]

Определение тепловых напряжений и перемещений в теле непосредственным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений при произвольных граничных условиях является сложной задачей. Поэтому большой интерес представляют вариационные принципы термоупругости ( 2.4), с помощью которых могут быть разработаны приближенные методы решения задач термоупругости, аналогичные известным вариационным методам решения задач изотермической теории упругости [34] методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости вариационном уравнении Лагранжа и выражениях, аппроксимирующих возможные перемещения, и методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости принципе минимума энергии деформации и выражениях, аппроксимирующих возможные напряжения. [c.38]

В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени. [c.239]

Основные результаты моментной теории термоупругости изложены в работах [3, 17Ь—с, 35g—1, 40b, 43а—Ь, 44Ь, 53Ь]. Выведены уравнения движения и сформулирован принцип сохранения энергии, из которого получены определяющие уравнения для среды с центральной симметрией при условии, что внутренняя энергия есть квадратичная функция от температуры и компонентов тензоров деформаций и кручения. С помощью определяющих уравнений уравнения движения записываются для температуры и векторов перемещения и вращения. Векторы перемещения и вращения представлены в форме Стокса для потенциальных и соленоидальных функций выписаны соответствующие уравнения. Решения последних определяют в пространстве волны расширения, вращения и искажения. Здесь также волны расширения затухают и диспергируют, остальные волны не взаимодействуют с температурным полем. Методом ассоциированных матриц решения уравнений движения для перемещений, вращений и температуры представлены с помощью функций напряжений, для которых получены раздельные уравнения. [c.245]

Так же как и в симметричной термоупругости, здесь можно доказать, что Г достигает минимума. Уравнение (22) является обобщением теоремы о минимуме дополнительной энергии на случай несимметричной упругости. [c.838]

Вариационные уравнения термоупругости. Принцип минимума потенциальной энергии системы имеет вид [c.115]

В связи с тем, что термоупругие процессы сопровождаются рассеянием энергии, описываемым диссипативной функцией Рэлея (5.122), канонические уравнения, как н в случае механики дискретных систем, при действии непотенциальных сил будут неоднородны. Следуя работам [18, 78], определяем функцию Гамильтона для сплошной среды соотношением [c.153]

Исключая тривиальные случаи, сформулированная динамическая задача неприступна не только математически трудность заключается в скудности надежно проверенных экспериментальных сведений, могущих подтвердить или отвергнуть приемлемость принятых зависимостей термодинамического потенциала От мер деформации и температуры (или энтропии) и еще менее коэффициента (в общем случае тензора) теплопроводности от его аргументов. Эти же трудности сохраняются и в статических задачах термоупругости, хотя математическая задача упрощается. Механическая и тепловая задача остаются неразделенными. Динамическая задача в изотермическом материале (в изотермическом процессе) упрощается, так как из рассмотрения выпадает уравнение теплопроводности, а температура входит в выражение свободной энергии и далее в уравнения движения, как Постоянный параметр. В адиабатическом процессе этого упро- [c.419]

Понятно, что в соотношениях (20.11) — (20.13) y и б должны быть выражены (или определены) через предыстории узловых величин U и Т ( К Таким образом, конкретные формы уравнений движения и теплопроводности для элементов можно получать, непосредственно используя функционал свободной энергии и функционал теплового потока данного материала. В следующих пунктах рассматриваются приложения этих уравнений к некоторым задачам термо-вязко-упругости и неустановившейся термоупругости, [c.408]

Если теплоизоляция отсутствует или же процессы не настолько медленны, чтобы все время существовало температурное равновесие с окружающей средой, часть механической энергии, превращающейся в тепло, будет рассеиваться. Совместное рассмотрение уравнений теории упругости с температурными членами и уравнений теплопроводности позволяет ставить так называемую связанную задачу термоупругости. Обнаруживаемые при этом эффекты незначительны и в эксперименте их трудно отличить от эффектов, связанных с внутренним трением. Поэтому исследование эффекта температуры в теории упругости почти всегда основывается на уравнениях Дюамеля — Пеймана (8.6.1), в которых модули упругости считаются постоянными п не зависящими от характера термодинамического процесса. [c.253]

Следуя рассуждениям 3.7 и помня, что распределение температур задано, находим, что функция энергии деформациц в термоупругой задаче существует для каждого элемента упругого тела и равна свободной энергии Гельмгольца, определяемой уравнением (3.63). Требуется предположить только существование двух функций состояния Ф и Y для установления принципа стационарности потенциальной энергии, функционал которого имеет вид [c.136]

Среди неразрушаюш,их механизмов оптической генерации звука наиболее универсальным является термоупругий, связанный с деформацией кристалла при его оптическом нагреве. Поглощенная оптическая энергия в процессе термализации частично передается в акустическую подсистему твердого тела, распределяясь между когерентными и случайными волновыми движениями решетки. При термоупругой генерации звука источники акустических волн являются объемными — возбуждение акустических волн происходит во всей области нагрева. Поэтому термоупругая генерация акустооптических импульсов описывается неоднородным волновым уравнением. В простейшей ситуации, когда лазером облучается свободная поверхность полупространства 2 0 (рис. 3.34), в кристалле возбуждаются только плоские продольные волны для колебательной скорости имеем уравнение [c.161]

Законы термодинамики гласят, что изменение деформаций упругого тела сопровождается изменением его температуры, при котором возникает теплопоток, приводящий в свою очередь к увеличению энтропии термодинамической системы, а, следовательно, к термоупругому рассеянию энергии. Этот процесс описывается системой дифференциальных уравнений (1.6.8). [c.178]

Аналогичный подход к вариационной формулировке проблемы термоупругости для несколько другого представления системы уравнений был проведен в работах [34а, Ь]. Были получены вариационные принципы, аналогичные принципам Ху—Вашизу, Хеллингера—Рейсснера, минимум потенциальной энергии и другие. В работе [34Ь] показано приложение одного частного вариационного принципа к приближенным вычислениям решения задачи о нагреве полупространства. [c.241]

Связанные термоупругие процессы в сплошной среде сопровождаются диссипацией энергии. Это обстоятельство должно быть принято во внимание при построении канонических уравнений. Одним из известных в аналитической механике дискретных систем методов получения канонических уравнений в гамильтоновой форме при описании диссипации квадратичной функцией обобщенных скоростей является нахождение преобразований, приводящих канонические уравнения к гальмиль-тоновой форме. В работе [78] предлагается метод зеркальных отображений. Следуя этому методу, рассматриваемую систему с диссипацией дополняют гипотетической, где рассеиваемая в исходной системе энергия поглощается. С помощью этого математического приема получают составную систему, где [c.152]

Еще в 30-х годах Френкель показал, что колебательная энергия, вьщелившаяся при захвате свободного электрона решетки на дефект, может стимулировать его перестройку или рождение нового дефекта. Основываясь на электронно-колебательном механизме захвата, Емельянов и Кашкаров (1982) предложили электронно-деформацион-но-тепловую модель поверхностного дефектообразования при фотовозбуждении полупроводника. Она учитывает понижение энергии активации Ет чисто термофлуктуационного процесса образования дефекта благодаря вибронным взаимодействиям фотогенерируемых носителей заряда с решеткой Еэ) и вызванным нагревом поверхности при освещении дГ термоупругим деформациям (Етд)- Концентрация рождающихся дефектов описывается уравнением [c.261]

Согласно Колеману [ oleman, 1964], термоупругий материал определяется как среда, которая описывается системой из четырех определяющих уравнений для удельной свободной энергии if, тензора напряжений t, удельной энтропии и вектора потока тепла q все эти величины полагаются а priori функциями градиента перемещения F, абсолютной температуры 0 и градиента температуры G = Vff0 в отсчетной конфигурации, т.е. [c.124]

С точки зрения (15.21а) ничто, конечно, не мешало нам получить из потенциала Ч уц, 0) для любых термодинамических процессов в материалах, характеризуемых уравнениями (15.22). Однако в этом случае мы получили бы теорию mep toynpугости, поскольку напряжения зависели бы и от уц, и от 0. Термоупругостью мы займемся в следуюш,ей главе, а здесь ограничимся рассмотрением чисто механического поведения материалов. Таким образом, в остальной части этой главы мы всеми тепловыми эффектами пренебрегаем и сосредоточиваем свое внимание на материалах, характеризуемых только одной определяюш ей функцией — энергией деформации Е (уц) или функцией 2 (Grs) из (15.1). [c.242]

Соотношения (19.71) и (19.72) выписаны только как пример одной из возможных упрощенных форм определяющих уравнений для нелинейных термоупругих тел. Отбрасывая или сохраняя те или иные члены в степенном разложении (19.62), можно получить ряд других форм функции свободной энергии, приводящих к нелинейным определяющим уравнениям для напряжений и энтропии. Вопрос о том, какая из форм больше подходит для заданного материала, может быть решен лишь на основе экспериментов. При отбрасывании нелинейных членов уравнения (19.71) и (19.72) сводятся к классическим уравнениям линейной изотропной термоупругости. Полагая а, = О, получаем уравнения для нелинейного относительно девиаторных деформаций материала, описанного Диллоном [1962]. Случай, когда либо аз, либо а , либо Яд ф О, соответствует материалу с умеренно нелинейными дилатационными свойствами. При чисто дилатационных деформациях выражение для совпадает с выражением, используемым в классической теории. [c.404]

Для термоупругих тел внутренняя диссипация равна нулю, свободная энергия предполагается дифференцируемой функцией от текзтцих деформации и температуры и нагружение и энтропия определяются через свободную энергию с помощью соотношений (19.59). В этом случае уравнения движения и теплопроводности для типичного термоупругого элемента имеют вид [c.418]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...