Операторы бесконечномерные

Бесконечномерный оператор определяется в полной аналогии с конечномерным как правило, по которому бесконечномерному вектору I ) сопоставляется бесконечномерный вектор I ф > [см. (21.18)] [c.145]

Так же как и в случае конечного числа измерений, бесконечномерные операторы в базисном представлении описываются матричными элементами, образующими бесконечномерные матрицы. [c.145]

Однако для бесконечномерных операторов выполнение равенства (22.36) является лишь необходимым условием эрмитовости, но не достаточным. Чтобы в этом убедиться, возьмем два вектора ф) и 4 >, представления которых в базисе векторов ) даются функциями ф (,v) и 4 (х) на интервале (а, h). Эрмитов оператор К должен удовлетворять соотношению [c.146]

В бесконечномерном случае можно сформулировать аналог этого утверждения для самосопряжённых компактных операторов. Оператор А, действующий, напр., в пространстве Р бесконечномерных векторов / = = (а],а ,...) с конечной нормой [c.568]

Наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах — явление довольно редкое, хотя для физ. приложений существенно, что операторы спец, классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами С. в. Наиб, важным для физики бесконечномерным векторным пространством является пространство векторов /, у вида [c.569]

СПЕКТР ОПЕРАТОРА — обобщение на бесконечномерный случай понятия множества собственных значений матрицы линейного преобразования в конечномерном векторном пространстве. [c.605]

Из работ В. А. Бабешко, Е. В. Глушкова и др. [11] известно, что показатель особенности функции д р, ф) при р —) О связан с точками спектра интегрального оператора в одномерном интегральном уравнении контактной задачи. При не слишком малых ск, 3 для нахождения точек спектра используется метод Бубнова-Галеркина, связанный с нахождением корней детерминанта В з) бесконечномерной матрицы. Если В з ) = 0, то д р, ф) е = 3/2 + 3/, (р —> 0). Как показывают расчеты, проведенные при и = 0,3, для задачи а при 2/3 = тг и2а 100° на интервале 8 (-3/2 -1 /2) вблизи точки 5 = -1/2 появляются два дополнительных нуля В(з), которые, если зафиксировать а. и уменьшать угол 2(5, сливаются в двукратный корень, даюш ий особенность вида р С + С2 1пр), а затем сходят с действительной оси и становятся комплексно сопряженными, что приводит к осцилляциям функции контактных давлений при р —> О и отрыву кончика штампа. Для задачи в при достаточно острых углах а замечены нули В з) при [c.186]

После того как найдем явный вид операторов Хт, Уп, можно вычислить недостающие коммутаторы [Х ,Х ] и [У1, и замкнуть алгебру коммутаторов. Вообще говоря, она может оказаться бесконечномерной. Такие алгебры известны, например, для уравнения Бюргерса. Когда известен вид всех коммутаторов, можно найти для них другое представление, например операторами, у которых коэффициенты являются линейными функциями по у [c.12]

В работе [46] была найдена бесконечномерная реализация алгебры (2.38) с помощью операторов от бесконечного числа переменных, аналогичных операторам (2.35). [c.25]

Рассматриваемая здесь алгебра продолженной структуры имеет также и бесконечномерную реализацию р продолженном бесконечномерном пространстве ( = 1,2,3,..., г т = О, 1, 2,...), которая задается операторами [c.57]

Яг при этом х наз. собственным вектором оператора Л, отвечающим данному собственному значению. Число Л наз. регулярной точкой оператора Л, если оператор (Л — kEУ существует, определен на всем Я и ограничен остальные значения Я называют точками спектра оператора Л. Каждое собственное значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр остальную часть спектра иаз. непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного О., вообще говоря, не исчерпывается ого собственными значениями, представляет собой характерную черту линейных О. в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного эвклидова пространства. [c.491]

Для перехода к бесконечномерному случаю нужно всюду заменить симметрические операторы в евклидовом конечномерном пространстве самосопряженными в гильбертовом. При зтом, поскольку эллиптические координаты связаны не с самим оператором, а с его резольвентой, неограниченность исходного оператора (который может, например, быть дифференциальным) не является слишком серьезным препятствием. [c.435]

Полученные в предыдущем параграфе генераторы в асимптотической области, реализующие произвольное неприводимое представление с весом (р, / соответствующей алгебры, позволяют выполнить эту программу до конца. При этом предельный переход к бесконечно большим значениям некомпактных параметров фактически реализует каноническое преобразование в фазовом пространстве, обеспечивающее выбор наиболее удобной для вычислений системы координат, в которой операторы Казимира и их собственные значения можно довести до конкретных формул. Получаемые результаты справедливы вне зависимости от того, является ли представление вырожденным или невырожденным, конечно- или бесконечномерным. Они справедливы в соответствии с п. 2, П. 1 и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. [c.85]

Это выражение справедливо и для конечномерных унитарных представлений, в том числе вырожденных, компактных групп. Таким образом, операторы Казимира бесконечномерных представлений с весами с1 ,- комплексных полупростых групп Ли получаются формальной заменой целочисленных компонент весов / на с1 1 в операторах Казимира соответствующих компактных форм. [c.89]

Оба, вообще говоря, неэквивалентных (для бесконечномерных представлений), требования операторной и топологической неприводимости можно связать, как уже говорилось выше, с аналитическими свойствами сплетающих операторов в пространстве весов, являющихся решениями уравнения (4.1). Для того чтобы пояснить это утверждение, удобно реализовать В как интегральный оператор на функциях из пространства соответствующего представления группы С в разложении Картана, заданных на Ж, [c.95]

Вначале рассмотрим построение общих решений интересующих нас систем (1.3) или (1.4) в конечномерном случае, а затем обсудим модификацию метода при переходе к бесконечномерным алгебрам. В соответствии с (1.19) решение этих уравнений эквивалентно нахождению группового элемента g, такого, что спектральный состав элементов в (1.19) и (1.2) был бы одинаков. Иначе говоря, требуется, чтобы оператор Л+ в [c.120]

Аналогичные неравенства для сингулярных чисел вполне непрерывных линейных операторов в бесконечномерных векторных пространствах получены в книге Гохберга и Крейна [1971]. [c.132]

Группа Ли оказалась бесконечномерной с нормальным делителем, порожденным операторами Ро, Р., что является следствием линейности и однородности системы (1.1). Фактор-группа по этому нормальному делителю порождается восемью операторами [c.17]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких Г. характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или нек-рого количества ф-ций). В физике используют в осн. Г. линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, Г. диффеоморфизмов гладких многообразий и Г. калибровочных преобразований. Теория таких Г. разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицат. характер эти Г. не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полпой системы унитарных представлений. [c.542]

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой Я Мерной матрицы А имеется хотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению Я, а если к тому же матрица А яевырождеиа, (1е1Л yi о, то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Это справедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц А Л - = А -). В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольный вектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А [вапр., привести к диагональному виду симметричную квадратичную форму (хАх)]. Эта задача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленному из С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводится к умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение Я. В бесконечномерном Случае аналогом этой процедуры диагонализа-ции является т. н. спектральное разложение. [c.569]

В бесконечномерном случае речь идёт об операторах А, действующих в нормированном линейном пространстве (банаховом пространстве) и появляется третья возможность (III) ур-ние Ах = кх имеет лишь нулевые решения в но резольвента (X/ — М) не определена на всём Объединяя вторую (точечный, или дискретный, спектр) и третью (непрерывный и остаточный спект-р ы) возможности, С. о. называют множество таких Я, для к-рых резольвента не является ограниченным оператором на всём При этом Я принадлежит непрерывному спектру, если область значений оператора X/ — А плотна в Я, и остаточному — в противном случае. У ограннчевшых самосопряжённых операторов остаточный спектр отсутствует. [c.605]

В это м разделе мы бегло опишем некоторые из зтих моделей и придадим смешанным задачам математической физики фазовую трактовку, при которой уравнения являются операторами измепения фазового состояния. Такая трактовка позволяет с единой точки зрения рассматривать дискретные и распределенные динамические системы, так как изменения фазового состояния происходят и в тех, и в других, только в первом случае фазовое состояние описывается точкой конечномерного пространства, а во втором — точкой бесконечномерного пространства. [c.27]

При не слишком малых углах (3 для анализа асимптотики функции контактных давлений в вершине клина применяется численный метод поиска спектра интегрального оператора [11]. Если при з = в детерминант В 8) бесконечномерной матрицы обращается в нуль, то д(р,ф) р , [c.192]

Другим ва жным примеро.м бесконечномерной, ко-вариантно относительно Л. п. величины является вектор состояния il) / (i>) свободной релятивистской частицы массы т и спина s. За переменные такого вектора состояния всегда можно выб1эать трехмерный импульс р и проекцию спина пробегающую 2s + 1 значений. Обозначенные через а другие возможные переменные (напр., зарядовые) будут инвариантными. Операторы бесконечно малых вращений и Л, п. при этом примут вид [c.18]

ОПЕРАТОР — математическое понятие, означагэщее соответствие лшнеду элементами двух множеств X и Y, относящее каждому элементу х кз X нек-рый элемент у из У. Эквивалентный смысл имеют термины операция, отображение, преобразование, функция. В тех случаях, когда X и Y — числовые множества, пользуются обычно термином функция О., отображающий бесконечномерное пространство в множество действительных или комплексных. чисел, называют функционалом. [c.490]

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ линейного оператора L, действующего в пространстве ф-ций, — нетривиальные решения ур-ния Li ) = Хч ), причем X — одно из собственных значений оператора L. Пространство ф-ций можно рассматривать как (бесконечномерное, вообще говоря) вектор юе пространство, в к-ром скалярное произведение элементов г )(а ) и ф(х) определено как г])(ж) ф(ж) dx. Особое значение имеют С. ф. в механике, квантовой механике и др. областях фиаики. В квантовой механике линейные операторы, соответствующие наблюдаемым физ. величинам, эрмитовы ij)(x) L(f(x) dx = ф(х) Lt()(x)rfx. Физ. смысл их С. ф. состоит в том, что эти ф-ции представляют собой волновые ф-ции состояний, в к-рых измеренное на опыте значение наблюдаемой равно одному из собственных значений соответствующего оператора. В конечномерном векторном прострапстве для любого эрмитова оператора Я найдется [c.566]

Это наводит на мысль, что и в бесконечномерном, гильбертовом пространстве с каждым симметрическим оператором должен быть связан свой класс интегрируемых систем. Для исследования этих систем нужно перенести на бесконечномерный случай теорию эллиптических координат. А для этого нужно прежде всего изложить обычную конечномерную теорию конфокальных поверхностей второго порядка в бескоординатной форме. [c.435]

Для уравнений, связанных с бесконечномерными алгебрами Ли конечного роста, на примере периодической цепочки Хода разработан простой метод получения солитбнных решений. В отличие от метода обратной задачи рассеяния, он не апеллирует к явной матричной реализации операторов Лакса. [c.3]

Очевидно, что наиболее прямой способ нахождения спектра собственных значений операторов Казимира любого порядка в явном виде для произвольного неприводимого представления (в том числе, неунитарного и бесконечномерного) комплексной полупростой группы Ли и ее вещественных форм состоит в непосредственном вычислении следов степеней генераторов сдвигов, содержащих наиболее простую параметрическую зависимость от весов представления. [c.85]

В заключение подчеркнем следующие два обстоятельства.. Во-первых, при выводе систем (1.3) и (1.4) условие конечномерности алгебры не накладывалось. Однако в отличие от конечномерного, в бесконечномерном случае интегрирование возникающих систем в конечном виде невозможно как будет показано в гл. V, решение задачи Гурса для них дается бесконечными формальными рядами, исследование сходимости которых, требует дополнительного рассмотрения с привлечением свойств алгебр типа конечности роста. Во-вторых, представление (1.1) применимо также и для суперсимметричных динамических систем, когда операторы вида (1.2) принимают значения в соответствующей супералгеб ре Ли = снабженной градуировкой (1.4.7). При этом в соответствии с (1.4.20) четным (нечетным) образующим подалгебры q( -) в скалярных произведениях сопоставляются функции z+, z с коммутирующими (антикоммутирующими) значениями. Как и в случае алгебр Ли системы уравнений, ассоциируемые с конечномерными супералгебрами Ли, интегрируемы в конечном виде, тогда как для бесконечномерных супералгебр Ли — в формальных рядах. [c.117]

По тем же причинам процедура интегрирования нелинейных систем, основанная на групповом подходе (см. п. 4, П1.2 и п. 2, IV. 1), также нуждается в модификации. Дело в том, что для бесконечно.черных алгебр Ли теряет общепринятый смысл понятие группового элемента (вместе с тем, их нильпотентные подалгебры могут быть экспоненциированы, и элементы Л из (III. 2.16) существуют), и поэтому элементу (III. 2.17) нельзя, вообще говоря, придать строго определенный смысл. В силу этого решения уравнений (III. 2.16) следует рассматривать в виде ряда последовательных приближений, снабдив операторы L+ или (что то же самое, функции ф+аф-а) параметром малости Я. Тогда, как и в рамках методов, приведенных в настоящей главе, центр тяжести решения нелинейных систем типа (III. 2.11), связанных с бесконечномерными алгебрами Ли, переносится в область исследования условий сходимости рядов теории возмущений. [c.185]

В этом месте уместно остановиться на вопросе о взаимосвязи различных форм представления типа Лакса (111.1.1), а именно реализацией операторов вида (III. 1.7) в бесконечномерной простой алгебре Ли конечного роста, приво .-ящей к (1.1), и представлением, связанным с соответствующей конечномерной простой алгеброй Ли и ее конечномерными представлениям , приводящими к системе (1.2), которая отличается от (1.1) тотько конформным преобразованием. С этой целью вспом1 лрл, что бес.. хнечномерные простые градуированные алгебры Ли, используемые в настоящей книге, поро.ждаются своей локальной [c.194]

Класс уравнений состояния (26) обнаружили М. Munk и R. Prim еще в 1947 г. Преобразование (27) (и даже более общее свойство симметрии) есть следствие того, что система (4) при уравнении состояния (26) допускает бесконечномерную группу преобразований с оператором [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...