Моменты интеграла столкновений

Выше для простоты различные моментные методы и их точность продемонстрированы на модельном уравнении. Все эти методы применимы и для линеаризированного уравнения Больцмана. Принципиально решение строится, как и для модельного уравнения. При произвольном законе взаимодействия молекул основная трудность состоит в вычислении моментов от интеграла столкновений. Ниже будут рассмотрены лишь максвелловские молекулы, для которых эта трудность легко преодолевается. [c.271]

Выше структура волны рассмотрена лишь для максвелловских молекул. При других законах взаимодействия ход решения остается тем же, но усложняется вычисление моментов от интеграла столкновений. При бимодальном распределении сделанные выше качественные выводы справедливы и для других законов взаимодействия ). [c.299]

Метод кинетических модельных уравнений, записанных в интегральной форме, имеет еще большие преимущества. В самом деле, все модели интеграла столкновений (линейного или нет) можно разбить на две части, одна из которых (скажем, vФ) зависит только от конечного числа моментов функции распределения (пяти, если Ф — локально максвелловская функция, как для БГК-модели), а вторая (скажем, V/) представляет собой произведение функции распределения и функционала, слабо зависящего от / (константы в линеаризованном случае). [c.223]

Начиная с некоторого момента, в газе почти прекращаются и газокинетические столкновения. Прекращается дезактивация колебательного и вращательного возбуждения молекул ударами частиц. Это следует из сходимости того же интеграла столкновений (8.28). Однако закалки молекулярных колебаний и вращений не происходит колебательная и вращательная энергии молекул уносятся вследствие спонтанного испускания световых квантов. Колебательные переходы дают излучение в инфракрасной области спектра, а вращательные — в радиодиапазоне. [c.445]

Простейший вариант оптич. эхо-спектроскопии (спектроскопии на основе светового эха) реализуется при наблюдении зависимости амплитуды сигнала светового ха от времени задержки зл.-магн, излучения, резонансно взаимодействующего с ансамблем частиц среды. Сигнал светового эха появляется после 2-го импульса через время, равное задержке 2-го импульса относительно 1-го. Оптич. эхо есть, по существу, повторное возникновение эффекта затухания свободной поляризации, к-рое сопровождает 1 й импульс. 2-й импульс нужен для того, чтобы восстановить одинаковую фазу возбуждённых 1-м импульсом атомных диполей, потерянную к моменту прихода 2-го импульса вследствие процессов релаксации. Для регистрации оптич. эха площадь 1-го импульса (интеграл от амплитуды напряжённости оптич. поля по всей длительности импульса, умноженный на дипольный момент перехода должна быть равна я/2, второго — я. Спектроскопия светового эха — один из наиб, мощных инструментов изучения столкновительных релаксац. процессов в газах. Время затухания сигнала светового эха равно эфф. времени жизни возбуждённого уровня, определяемого атомными (молекулярными) столкновениями ц спонтанным излучением. Методами спектроскопии светового эха измеряют также сверхтонкую структуру возбуждённых состояний. [c.308]

Остановимся теперь на важном для нас случае столкновения двух частиц. Выберем в качестве одной из координатных плоскостей плоскость, проходящую через траектории обеих частиц перед столкновением. В этом случае четыре интеграла движения тождественно обращаются в нуль (две компоненты моментов импульса и по одной компоненте импульса и скорости движения центра тяжести). Остаются, таким образом, шесть интегралов, которые, однако, еще в некоторых отношениях существенно неравноправны. Действительно, как мы увидим далее, скорость системы координат, связанной с центром тяжести, целиком определяется энергией и импульсами сталкивающихся частиц, и поэтому оставшиеся интегралы не независимы. [c.10]

Замена аналогична введению фазы колеблющейся стенки в момент столкновения с частицей в модели Улама ( 3.1). Интегри- [c.88]

Первый член правой части представляет собой вклад в р+( ) от спинов, которые не испытывали столкновений в промежутке времени между моментом включения радиочастотного поля и моментом времени а интеграл (второй член справа) равен сумме вкладов от спинов, которые сталкивались в последний раз в момент I. Аналогичное соотношение можно записать и для р-(0 [c.35]

Линеаризацию можно обосновать исходя непосредственно из выражения (13.19). Прежде всего, вероятность того, что за данный интервал времени до момента г электрон не испытает столкновений, становится пренебрежимо малой, когда длительность этого интервала гораздо больше т. Следовательно, только времена t порядка т дают существенный вклад в интеграл в выражении (13.19). Однако (см. стр. 227) за такое время электрическое поле изменяет вектор к электрона на величину, которая пренебрежимо мала по сравнению с размерами зоны Бриллюэна. Отсюда непосредственно следует, что зависимость от Е всех членов в (13.19) очень слаба. Аналогично можно обосновать линеаризацию по градиенту температуры, если изменение температуры на длине свободного пробега пренебрежимо мало по сравнению с температурой металла в целом. Однако линеаризацию по магнитному полю проводить нельзя, поскольку в металлах вполне можно создать такие сильные магнитные поля, что за время релаксации электрон будет проходить расстояние в А-пространстве, сравнимое с размерами зоны Бриллюэна. [c.250]

Таким образом, во все три интеграла входит один и тот же интеграл по угловым переменным. Рассчитаем его для модели столкновения твердых сфер. Сделаем пояснения к рис. 253, на котором изображен момент столкновения и все векторные величины, фигурирующие в этой задаче двух тел С — центр инерции и точка столкновения сфер, d = 2го — [c.426]

При решении кинетич. ур-ния исходят из опредол. модельных представлений о взаимодействии молекул. В простейшей модели жёстких упругих молекул при столкновении не происходит передачи момента импульса и изменения эфф. размера молекул. Более реалистична модель, в к-рой молекулы рассматривают как центры сил с потенциалом ф Г1 — Гг). Дифференц. эфф. сечение в (3) выражают через параметры столкновения классич. механики adQ — bdbd Ь — прицельное расстояние, е — азимутальный угол линии центров). Для ф(г) берут обычно ф-ции простого вида, напр. ф(г) = = fi /г) (р — показатель отталкивания). Эта модель допускает сжимаемость молекулы. Для большинства реальных газов р прини.мает значения между р = 9 (мягкие молекулы) и р Ъ (жёсткие молекулы). В частном случае р = 4 (максвелловские молекулы) решение кинетич. ур-ния сильно упрощается, т. к. можно найти собств. ф-ции линеаризованного интеграла столкновений, и первое приближение для коэф. переноса совпадает с точным значением. Для учёта эффектов притяжения и отталкивания используют модель, в к-рой отталкивание описывается потенциалом твёрдых сфер, а притяжение — степенным законом. Довольно реалис-тич. форму имеет потенциал Ленард-Джопса [c.359]

Остановимся кратко на некоторых попытках улучшить уравнение Левинсона. На первый взгляд источником проблем является незатухающая память в интеграле столкновений (4.5.14), благодаря которой скорость изменения одночастичной функции распределения в момент времени t зависит от всей предыстории процесса. Поскольку квазичастицы в реальных системах имеют характерное время жизни г ,, ядро в немарковском интеграле столкновений должно затухать за время t — t т . Качественно этот эффект можно учесть, вводя обрезающий множитель ехр — t — t )/т в интеграл столкновений Левинсона [94]. В численных расчетах было обнаружено, что решения улучшенного уравнения Левинсона ведут себя на больших временах более устойчиво (в частности, исчезают отрицательные значения /) и наблюдается переход к марковскому режиму, но, тем не менее, при t оо функция распределения не стремится к равновесной. Дело в том, что введение квазичастичного затухания в интеграл столкновений Левинсона нарушает закон сохранения энергии ). Поэтому с течением времени растут числа заполнения возбужденных состояний, т. е. происходит нефизический перегрев системы. Хаг и Баньян [93] предложили феноменологическое ядро в интеграле столкновений Левинсона для электрон-фононной системы, которое приводит к более разумному поведению функции распределения электронов в марковском пределе. Стационарное решение кинетического уравнения оказалось близким к распределению Ферми, однако точного равенства этих функций достигнуто не было. Впрочем, подбор модельных выражений для ядер в интеграле столкновений Левинсона нельзя рассматривать всерьез как преодоление трудностей немарковской кинетики. Можно показать, что любое улучшение уравнения Левинсона в этом направлении ведет к нарушению закона сохранения энергии, причем стационарное решение не совпадает [c.313]

Моментные уравнения, получаемые с помощью аппроксимирующих функций (2.7) или (4.4), являются в общем случае неоднородными квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка. Зависящая от интеграла столкновений неоднородная часть уравнений представляет собой алгебраическую функцию искомых моментов. Тип системы уравнений, а следовательно, и характер соответствующей этой системе граничной задачи, очевидно, определяются дифференциальными частями моментных уравнений, получающихся из дифференциального оператора уравнения Больцмана. Очевидно, что дифференциальная часть моментных уравнений одинакова при любых числах Кнудсена. По предположению аппроксимирующая функция при определенном выборе ВХ0ДЯИ1ИХ в нее моментов дает точное решение уравнения Больцмана при Кп = оо. т. е. когда правая часть равна нулю. Следовательно, входящие в нее моменты должны точно удовлетворять любой системе однородных (без интегральной части) моментных дифференциальных уравнений, полученных с помощью этой аппроксимирующей функции. При этом граничные значения моментов выбираются так, чтобы аппроксимирующая функция точно удовлетворяла микроскопическим граничным условиям. Но так как при Кп = со однородная система моментных уравнений при этих граничных условиях имеет решение, то и для неоднородной системы (т. е. при произвольном числе Кнудсена) справедлива та же постановка граничной задачи, что обосновывает сделанные выше утверждения. [c.125]

Нелинейные задачи. Моментный метод. Рассмотрим прежде всего решение задачи Куэтта при произвольных числах Кнудсена методом моментов. Будем рассматривать полное уравнение Больцмана. Чтобы упростить вычисления моментов от интеграла столкновений, будем считать газ максвелловским. В нелинейном приближении задача о сдвиге не отделяется от задачи о потоке тепла между пластинками. [c.273]

БГК-модель сохраняет большинство основных свойств интеграла столкновений Больцмана, однако она обладает определенными недостатками. От некоторых из них можно избавиться путем соответствующих видоизменений за счет, правда, простоты модели. Первое видоизменение можно ввести так, чтобы частота столкновений оказалась зависящей от скорости молекулы, а не была просто локально постоянной. Это видоизменение связано с тем, что для упругих сферических молекул, всех потенциалов с конечным радиусом действия и степенных потенциалов с угловым обрезанием (за исключением максвелловских молекул) частота столкновений зависит от скорости молекул. Можно ожидать, что это изменение при больших Скоростях молекул будет существенным. С формальной точки зрения видоизменение очень просто достаточно предположить, что в формуле (1.2) V зависит от I (точнее, от с), но условия (1.1) должны по-преячнему выполняться. Все основные формальные свойства (в том числе и Н-тео-рема) сохраняются, но плотность, скорость и температура, входящие в максвелловскую функцию Ф, теперь уже не локальные плотность, скорость и температура, а некоторые фиктивные локальные параметры, связанньге с пятью моментами функции / с весом V (с). Это следует из того, что в этом случае условия (1.1) дают [c.103]

Грубо приближенные методы можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, в которых приближенно заменяют искомую-функцию распределения, ко второй — методы, в которых аппроксимируюг (упрощают) интеграл столкновений, заменяют уравнение Больцмана, модельными уравнениями. К первой группе относятся, прежде всего, моментные методы, когда функцию распределения аппроксимируют той или иной зависимостью от скоростей молекул с некоторым числом неизвестных макроскопических параметров, для которых соответствующее число макроскопических уравнений получают последовательным умножением уравнения Больцмана на весовые функции и интегрированием по скоростям молекул. В качестве весовых функций, как правило, выбираются пять сумматорных инвариантов столкновения молекул и некоторое число дополнительных функций. В соответствии с этим обычно получают систему уравнений более сложную, чем уравнения Навье — Стокса. Поэтому до сих пор решаются главным образом одномерные задачи о структуре ударных волн, течении Куэтта и т. п. (см., например, С. П. Баканов, и Б. В. Деря1 ин, 1961 В. Д. Перминов, 1969). В методе моментов имеется определенный произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе весовых функций. Последний произвол отсутствует в вариационном методе, предложенном И. Г. Таммом (1965) ). Очевидно, что. функционал [c.430]

В многоатомных газах функция g зависит уже от двух векторов—скорости V и момента М. Если симметрия молекул не допускает существования стереоизомерии, то интеграл столкновений, а с ним и уравнение (7,3) инвариантны по отношению [c.38]

Полярные газы. Для полярных молекул более подходит потенциальная функция, предложенная Штокмайером и рассмотренная в других работах [11, 93, 156]. По существу эта функция идентична потенциалу Леннарда—Джонса 12-6, кроме дополнительного члена, учитывающего постоянные диполь-дипольные взаимодействия между молекулами. Если постоянные дипольные моменты отсутствуют, соотношение Штокмайера упрощается до потенциала Леннарда—Джонса. Мончик и Мэсон [147] получили приближенные значения интеграла столкновений Qj,, используя эту потенциальную функцию. Значения приведены в табл. 9,1. Чтобы получить Qg необходимо знать значения elk и 6. Величина S является параметром полярности, который определяется как [c.352]

Согласно [37], совокупность всех траекторий в фазовом пространстве на которых происходит тройное столкновение, образует четыре подмногообразия одно семимерное, отвечающее движениям с ла-гранжевой асимптотикой, и три пятимерпыс, отвечающие движениям с эйлеровой асимптотикой (напомним, что эйлеровых движений существует три класса, в соответствии с тем, какое из трех тел находится между двумя другими). Все эти многообразия лежат в девятимерном алгебраическом подмногообразии в на котором интеграл момента (4) из 1 равен нулю. [c.38]

Рассмотрим четверное соударение изображенного на рис. 6 типа. Оставим в качестве последней переменной интегрирования расстояние от частицы 4 (в момент i) до точки соударения 4—3. Отличие от предыдущей оценки связано с тем, что фазовая точка Тз (в момент t) не задана—в отличие от точки в интеграле, отвечающем рис. 5, б. Поэтому оказывается незакрепленным также и место столкновения 4—3, которое может находиться где-либо в цилиндрической области с диаметром d и осью вдоль Рз (пунктир на рис. 6). Соответственно телесный угол, под которым видна эта область с расстояния r , будет d/r (вместо d /rl в предыдущем случае). В результате интеграл окажется вида J drjr , т. е. логарифмически расходится на [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...