Изгиб балки призматических

Интегрирование дифференциального уравнения изгиба балки в случае одного участка. Пусть имеем дифференциальное уравнение изгиба призматической балки [c.207]

Изгиб консольной призматической балки силой, действующей в плоскости торца (результаты решения задачи) [c.337]

Так, более подробно разобраны понятия тензоров напряжений и деформаций и их разложение на шаровой тензор и девиатор, добавлен закон Гука в тензорной форме. В новой, V главе рассматриваются простейшие задачи теории упругости чистый изгиб прямого призматического стержня и кручение круглого стержня постоянного сечения. В главе VI добавлен расчет балки-стенки. Далее добавлены следую-ш,ие параграфы Понятие о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство , Понятие о расчете гибких пластинок , Понятие о расчете гибких пологих оболочек . Переработан раздел о математическом аппарате теории пластичности, добавлено понятие о теории пластического течения, дано понятие о несущей способности балок и плит на основе модели жесткопластического материала. Вновь написаны главы ХП1 и XIV об основных- зависимостях теории ползучести и даны простейшие задачи теории ползучести. [c.3]

Пластический изгиб балки в случае произвольной зависимости между деформациями и напряжениями. Теорию поперечного изгиба стержня малых в сравнении с длиной поперечных размеров из материала, закон деформирования которого отличается от закона Гука, можно сформулировать относительно просто. Предположим, что стержень постоянного поперечного сечения цилиндрической или призматической формы нагружен силами, перпендикулярными его продольной оси и действующими в одной из плоскостей, проходящих через ту или иную из главных осей инерции его поперечного сечения. Будем предполагать также, что размеры этого поперечного сечения в сравнении с его длиной малы и что мы вправе поэтому при исследовании деформаций, обусловленных нормальными напряжениями, пренебрегать деформациями, вызванными касательными напряжениями. Наконец, мы исключаем из нашего рассмотрения профили, составленные, хотя бы и частично, из тонкостенных элементов, а также профили несимметричной формы (как, например, уголки или швеллера), поскольку в подобных случаях изгиб может осложняться кручением. [c.402]

Сен-Венан нашел способ определения положения нейтральной оси сечения при косом изгибе решил задачу определения больших прогибов консоли (в случае неприменимости приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси) решил задачу изгиба балки, материал которой не следует закону Гука исследовал изгиб кривых стержней плоских и двоякой кривизны вывел формулу для определения продольной деформации винтовых пружин провел дальнейшую разработку теории кручения призматических стержней развил вторую теорию прочности дал расчетную формулу для валов, работающих в условиях совместного действия кручения и изгиба показал, что в частном случае плоского напряженного состояния при аг = —вызывается чистый [c.562]

Рассмотрим призматическую балку (рис. У.2), у которой силовая плоскость — плоскость симметрии. Изгиб этой балки будет прямым (в силу продольной симметрии упругая линия лежит в плоскости симметрии). Пусть балка имеет поперечные пазы, в которые до деформации свободно, но плотно входят бруски А и В. В результате деформации бруски А окажутся зажатыми, а бруски В выпадут. Из этого опыта следует, что верхние волокна балки испытывают сжатие, а нижние растяжение. Следовательно, в балке должны существовать волокна, не испытывающие продольной деформации. [c.129]

При чистом изгибе призматической балки справедливы гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений) сечения плоские и нормальные к оси балки до деформации остаются плоскими и нормальными к ее оси после деформации [c.149]

До сих пор нами рассматривались призматические балки, такие, у которых поперечное сечение - по всей длине балки оставалось постоянным. Размеры сечений таких балок определялись по максимальному изгибаю- [c.270]

Испытание на изгиб также проводится с помощью аналогичного реверсора, при этом на балку наружного стакана вместо сферической опоры помещают нижнюю каретку с двумя передвижными призматическими опорами, затем на опоры устанавливают образец, а на него— верхнюю опорную каретку. При движении внутреннего стакана относительно наружного происходит изгиб образца между призмами. Призмы — сменные с разной формой опорных поверхностей, соприкасающихся с образцом, что позволяет испытывать образцы как прямоугольного, так и круглого сечений. [c.176]

Изучение начнем с простейшего случая — чистого изгиба призматического стержня, т. е. такого изгиба, при котором изгибающий момент по всей длине балки отличен от нуля и одинаков во всех сечениях, все же остальные моменты и усилия равны нулю [c.97]

На рис. 12.3, а показан брус до деформации изображена эпюра поверхностной нагрузки на торцах (линейный закон распределения по высоте), создающей моменты 3)1, которые изгибают брус (балку). На боковую поверхность призматического бруса нанесена сетка, образуемая системой равноотстоящих линий, параллельных оси призмы, и системой равноотстоящих замкнутых линий, лежащих в плоскостях поперечных сечений. Нанесена сетка ортогональных линий и на торцы линии этой сетки параллельны сторонам прямоугольного торца. [c.99]

Мх (в силу ТОГО, что изгиб чистый) и Е1х (в силу того, что рассматривается призматический брус). Постоянство вдоль оси балки величины Кд.= 1/р (кривизны) означает, что изогнутой осью призматической балки при чистом изгибе является дуга окружности. Во-вторых, чем больше величина Е1х, тем меньше рх- Вследствие этого Е1X естественно назвать жесткостью стержня при изгибе. Этот фактор имеет физико-геометрическую природу. Множитель Е характеризует жесткость материала, а множитель Iх— жесткость балки, обусловленную геометрическими свойствами сечения (чем больше 1х, тем жестче балка). Линейку значительно труднее согнуть в ее плоскости, нежели расположив плашмя (рис. 12.8). [c.110]

Пример 12.1. Подобрать размеры таврового поперечного сечения, заданного с точностью до параметра а—рис. 12.10, а, призматической балки, подвергнутой чистому изгибу в плоскости Оуг. Заданными являются Мх = Ш, [Ос], [Ор] ( [Ос] I = 8 [Ор]). Решение требуется найти в двух предположениях Мх>0, Мл< 0 (рис. 12.10,6, в) и результаты сравнить. [c.111]

Постановка задачи. Имеется призматический стержень, закрепленный на одном торце и загруженный силой Р, лежащей в плоскости свободного торца при условии, что и точка приложения силы, и ее направление произвольны. Объемные силы считаем равными нулю X = Y = Z = 0. Требуется найти напряжения и перемещения, возникающие в балке, и координаты центра изгиба. [c.338]

Рис. 13.47. Изгиб призматической консольной балки произвольного поперечного сечения силой Р, лежащей в плоскости торца и имеющей произвольные точку приложения и направление линии действия а) балка, сила и система координат б) часть балки между свободным концом консоли и сечением с координатой, равной г (в последнем сечении показаны составляющие внутренних силы и момента) в) к определению направляющих косинусов нормали V н касательной / к контуру поперечного сечения в системе осей Х1/.

Пример 1. Найти прогиб призматической свободно опертой балки жесткостью на изгиб EJ, загруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q. [c.48]

Рис. IV. 1. Чистый изгиб призматической балки.

Рассмотрим теперь такой элемент балки длиной dx. Как было сказано выше, внутренние напряжения, действуюш,ие по воображаемому сечению, приводятся к паре сил и только к паре. Следовательно, главный вектор напряжений равен нулю, и поэтому призматический элемент в целом не растягивается и не сжимается. Длина оси dx, следовательно, изменяться не будет, и так как элемент, как мы видели, изгибается но дуге окружности, то волокна призмы длиной dx, параллельные оси, или удлиняются, или укорачиваются, согласно уравнению [c.82]

После весьма обширного обзора существующих теорий, относящихся к поведению призматических стержней прямоугольного, квадратного и круглого поперечных сечений при изгибе, растяжении, сжатии и кручении, Дюло приступает к проведению многочисленных экспериментов, проверяя результаты их различными расчетами, включая использование формулы Эйлера для продольного изгиба стоек, и меняя размеры образцов от опыта к опыту. Он также осуществил эксперименты со стержнями арочной формы, но тех же поперечных сечений, и с системами, представляющими собой ансамбль призматических стержней, проверяя такой вопрос, как трение между примыкающими друг к другу стержнями при изгибе и т. д. Кроме того, он проявил интерес к линии раздела между областями сжатия и растяжения в балках из ковкого железа (т. е. к нейтральной линии), а также линейности зависимости между напряжениями и деформациями. [c.265]

Третья глава посвящена изгибу призматического бруса, и здесь Навье с самого начала принимает, что изгиб происходит в той же самой плоскости, в которой действует нагрузка, в связи с чем его исследование может относиться лишь к балкам, имеющим плоскость симметрии и нагруженным в этой плоскости. Полагая, что поперечные сечения остаются плоскими при изгибе, и применяя три уравнения статики, он заключает, что нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения и что кривизна оси определяется уравнением [c.94]

Весьма обширная серия испытаний железа и железных конструкций была проведена Дюло ), другим воспитанником Политехнической школы. В первой части своего труда Дюло устанавливает необходимые формулы для изгиба и выпучивания призматических стержней, изгиба арок и кручения валов. Отыскивая положение нейтральной линии при изгибе, он ошибочно полагает момент растягивающих сил относительно нее рапным моменту сжимающих сил. Поскольку большая часть его работы относится к балкам прямоугольного и круглого профилей, эта ошибка не оказывает влияния на выводы. С самого начала он определяет модули упругости при растяжении и сжатии и, делая допущение, что поперечные сечения остаются при изгибе плоскими, выводит дифференциальное уравнение изогнутой оси. Он применяет это уравнение к консоли и к балке, свободно опертой по концам. [c.101]

В сборник моих статей по прочности и колебаниям элементов конструкций включены двадцать шесть работ они посвящены изучению деформированного и напряженного состояния стержневых систем (рамы, рельсы, мосты), тонких упругих пластин и оболочек, анализу изгиба и кручения призматических стержней, плоской задаче теории упругости и общим проблемам прочности Кроме того, приведены статьи о колебаниях стержневых систем и об ударе по упругой балке. [c.9]

Когда от изгиба сосредоточенными силами переходим к случаю действия распределенных нагрузок, задача становится более сложной. Точное решение, полученное для изгиба равномерно распределенной нагрузкой показывает, что в этом случае выражение для кривизны составляется из двух членов пропорционального изгибающему моменту и постоянного члена, обусловленного отчасти влиянием касательных напряжений, отчасти нормальными напряжениями, действующими по площадкам, параллельным оси балки. Этот постоянный член, представляющий поправку к гипотезе Бернулли — Эйлера, является малой величиной такого порядка, как квадрат отношения высоты балки к ее длине. В случае тонких призматических стержней этой поправкой будем пренебрегать и при определении прогибов под действием сил, лежащих в одной из главных плоскостей стержня, будем исходить из уравнения [c.189]

Приближенные методы решения задачи о кручении и изгибе стержней разрабатывались Д. Ю. Пановым (1934, 1936, 1938) он развивал метод малого параметра и графический метод, изучал кручение стержней, близких к призматическим, кручение и изгиб винтового профиля им рассмотрена также методом конечных разностей задача о кручении двутавровой балки и вала со шпонкой. [c.26]

Изгиб призматической балки представляет простой способ испытания листовых и пластинчатых материалов. Типичные устройства для изгиба показаны на рис. 5.57, о—е. Напряжения ниже предела текучести могут быть рассчитаны [1, 4] или определены по показаниям прибора. Методы расчета напряжений [1а, 1в] в изогнутой призматической балке и- и С-образных образцах приведены в приложении к этому разделу. [c.311]

Пример 1. На рис. 3.7, а показана консольно закрепленная балка с установленными на ней в середине пролета и на незакрепленном конце массами соответственно Шх и т . Предполагается, что призматическая балка имеет жесткость Е[ при изгибе. Рассматривая только малые перемещения, обусловленные изгибными деформациями, возьмем в качестве координат перемещений прогибы к ъ направлении оси у. В этой задаче требуется получить уравнения движения в перемещениях, используя коэффициенты влияния податливости. [c.204]

Свободно опертая балка (рис. А.3.3.6) имеет установленные в точках, отстоящих от концов и друг от друга на треть длины балки, сосредоточенные массы Шх и т.2. Предполагается, что призматическая балка имеет при изгибе жесткость /. Используя г/1 и г/2 в качестве координат перемещения, определить коэффициенты податливости и записать в матричной форме уравнения движения в перемещениях. [c.207]

На свободно опертой балке (рис. А.4.2.6) закреплены три массы в точках, отстоящих друг от друга и от концов балки на четверть ее длины. Используя в качестве координат перемещений малые смещения у и г/з, определить собственные значения и собственные векторы для этой системы с помощью уравнений в перемещениях. Принять, что гпу= П12 тз т и что невесомая призматическая балка имеет жесткость при изгибе Е1. [c.256]

Предположим, что балка, на которой закреплены три сосредоточенные массы (рис. А.4.2.11), может свободно перемещаться только в направлении оси у. Приняв, что ту = т. = тз = т и /1 = /2 = I, найти собственные значения и собственные векторы с помощью уравнений движения в усилиях. Балка является призматической и ее жесткость при изгибе равна Е/. [c.257]

Очевидно, что напряжения во всех остальных сечениях призматической балкп будут меньше допускаемого и только при чистом изгибе напряжения во всех сечениях призматической балки одинаковы. В последнем случае все сечения балки равноопасны. Таким образом, при изгибе балки постоянного сечения, исключая случай чистого изгиба, все сечения балки, кроме опасного, имеют, лишний запас прочности, что указывает йа нерациональное использование в них материала. [c.271]

В последующих же главах во втором томе, в частности в главах XI, XII, XIII, посвященных деформации стержней, аппарат теории сплошных сред (главным образом теория упругости) играет уже чисто служебную роль, как рабочий инструмент, с одной стороны, для оценки гипотез, используемых в элементарной теории, и границ применимости последней, а с другой стороны, для решения тех задач, которые не могут быть решены средствами элементарной теории. К числу последних относятся кручение призматических стержней некруглого поперечного сечения, свободное кручение валов переменного вдоль оси диаметра, определение полного касательного напряжения при поперечном изгибе балки, определение положения центра изгиба в поперечном сечении массивных стержней и др. [c.13]

Ограничимся рассмотрением частного случая призматической балки (Д/ с = onst), тогда дифференциальное уравнение сложного изгиба приобретает вид [c.317]

Немедленно же ему представилась возможность применить свои познания и способности в ответственной работе. Готэ, скончавшийся в 1807 г., был занят в последние годы своей жизни подготовкой трактата о мостах и каналах. Этот труд остался незаконченным, и именно Навье пришлось взять на себя окончательную редакционную обработку и издание трех томов этого сочинения. Первый том, содержавший историю строительства мостов, а также описания важнейших новых мостов, вышел из печати в 1809 г,, второй вышел в 1813 г., а последний, посвященный сооружению каналов, появился в 1816 г. Чтобы привести текст этой работы в соответствие с уровнем современного ему состояния знаний, Навье внес в разных местах многочисленные редакционные дополнения и примечания. Они сейчас представляют большой исторический интерес, поскольку отражают развитие механики упругого тела к началу XIX века. Сравнивая эти примечания с позднейшими трудами Навье, мы получаем возможность оценить тот прогресс, который был добыт нашей наукой за время его жизни главным образом благодаря его собственным усилиям. Примечание на стр. 18 второго тома представляет в этом отношении особый интерес в нем излагается полная теория изгиба призматического бруса, причем из нее можно заметить, что для Навье остались тогда неизвестными важный мемуар Парана (см. стр. 60) и работа Кулона. Не придавая, подобно Мариотту и Якову Бернулли, существенного значения вопросу о положении нейтральной линии, Навье считает ее совпадающей с касательной к контуру поперечного сечения с вогнутой стороны. Он принимает также, что формула Мариотта (см. стр. 34) достаточно точна для вычисления прочности балки и занимается исследованием ее прогибов. Исходя из некоторых не вполне приемлемых допущений, он выводит выра- [c.90]

Следующий раздел книги Клебш посвящает задаче Сен-Ве-нана. Он опускает соображения физического характера, введенные Сен-Венаном при использовании им здесь полуобратного метода, и ставит проблему в чисто математической формулировке найти силы, которые должны быть приложены к торцам призматического бруса, если объемные силы отсутствуют, по боковой поверхности бруса не приложено никаких сил, но между продольными волокнами действуют лишь касательные напряжения в осевом направлении. Таким путем Клебш получает возможность задачи осевого растяжения, кручения и изгиба рассматривать и решать как единую задачу. Подобная трактовка вопроса принимает более сложный вид, чем у Сен-Венана, поскольку при этом подходе опускается физическая сторона явления и решение получается слишком абстрактным, чтобы заинтересовать инженера. Клебш проходит мимо тех многочисленных приложений, на которых останавливается Сен-Венан, демонстрирующий эффективность своего метода на балках различных поперечных сечений. В качестве примеров Клебш приводит случаи сплошного эллиптического бруса и полого бруса, поперечное сечение которого образовано двумя конфокальными эллипсами. Почти никакого практического интереса эти задачи не представляют, но Клебш обращается к ним для того, чтобы впервые ввести новый прием математической трактовки, а именно, использовать сопряженные функции в решении задачи Сен-Венана. [c.310]

Призматическая балка, подвергающаяся чистому изгибу, имеет поперечное сечение в форме трапеции (см. рисунок), причем в верхней части балки имеет место сжатие. Вычислить отношение Ьх1Ь верхнего основания трапеции к ниж- [c.199]

Прпм 4, в этом примере вновь вернемся к рассмотрению перемещений в балках. Предположим, что необходимо определить прогиб б и угол поворота 6 незакрепленного конца В призматической консольной балки, на части пролета которой приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью д (рис. 11.6, а). С этой целью используем ту форму уравнения метода единичной нагрузки, в которой учитывается только влияние изгиба (см. выражение (11.6)). [c.435]

Тимошенко С. П., Применение функции напряжений к исследованию изгиба и кручения призматических стержней. Сб. Спб ин-та инженеров путей сообщения, Спб, 1913, вып. 82, стр. 1—24 отд. оттиск Спб, 1913, 22 стр. (Замечание. В этой статье была найдена такая точка в поперечном сечении балки, к которой следовало бы приложить сосредоточенную силу, чтобы устранить кручение. Таким образом, эта работа оказывается первой, где определялся центр сдвига балки. Рассмотренная балка имела сплошное поперечное сечение в форме полукруга [8.2]. В 1909 г. К- Бах провел испытания швеллерных балок и кащел, что, когда нагрузка прикладывается параллельно плоскости стенки, в балке возникает кручение (см. [8.3] и [8.4]). Он также обнаружил, что закручивание изменяется при боковом смещении нагрузки, но, по-видимому, центр сдвига им не был определен. В 1917 г. А. А. Гриффитс и Дж. Тейлор использовали для исследования изгиба метод мыльной пленки для некоторых типов конструкционных профилей они определили центр сдвига, который был ими назван центром изгиба [8.5]. Общее приближенное решение задачи определения центра сдвига тонкостенного стержня незамкнутого профиля было получено Р. Майяром, который объяснил практическое значение определения центра сдвига в конструкционных профилях [8.6] и ввел термин центр сдвига . Дальнейшее развитие концепции центра сдвига содержалось в работах [8.7—8.16], Всестороннее обсуждение центра сдвига, а также задачи изгиба и кручения балок в общей постановке проведено в работе [8.17] некоторые исторические замечания, относящиеся к центру сдвига, можно найти в работах [8.18] и [8.19].) [c.555]

Изгиб балок постояннога сечения под действием поперечных сил. Рассмотрим гибкую призматическую балку или стержень постоянного поперечного сечения, изгибаемые поперечными силами в одной из главных плоскостей инерции. Проведем ось X через центры тяжести поперечных сечений и предположим, что плоскости этих сечений в гибкой балке остаются плоскими и ортогональными к упругой линии балки. Волокна на расстоянии z от нейтральной оси пп, на которой деформации изгиба е и нормальные [ пряжения изгиба а равны нулю [c.331]

Для показанной на рис, А.3.2,5 двухэтажной рамы здания оиределить матрицу жесткости 8 и записать в матричной форме уравнения движения в усилиях. Считать, что горизонтальные балки являются абсолютно жесткими и в качестве координат перемещений использовать малые перемещения к в горизонтальном направлении. Стойки рамы являются призматическими и имеют жесткости при изгибе, равные Е на нижнем этаже и Е — на верхнем. [c.201]

Теория упругогпластического изгиба тонких цилиндрических или призматических балок может быть построена путем обобщения соответствующих теорий упругого изгиба. Малость размеров поперечного сечения балки относительно длины дает возможность пренебрегать нормальными и касательными компонентами напряжения в плоскостях, параллельных продольной оси, по сравнению с компонентами в плоскостях, перпендикулярных к той же оси. Известная геометрическая гипотеза, принимаемая за основу, сводит исследование деформированных состояний балок к изучению изгиба осей их законность доказана многими опытами над различными неупругими материалами. [c.528]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...