Определения скаляра, вектора и тензора

Определения скаляра, вектора и тензора [c.7]

Это определение, уже известное для скалярной функции, распространяется, таким образом, на векторные, точечные и тензорные функции. Производная il3, которая является скаляром для скалярных функций, представляет собой вектор для векторных и точечных функций и тензор для тензорных функций. Мы уже встречались с примерами таких производных в гл. 1. [c.78]

Формулы преобразования позволяют указать аналитическое определение скаляров и векторов, которое легко обобщается и приводит к понятию о тензорах. [c.42]

Согласно (19), энтропия может изменяться двумя путями 1) изменение энтропии за счет внешнего притока тепла и вещества, что выражается первым членом правой части уравнения, который содержит тепловой и диффузионный потоки, описываемые уравнением (20) 2) изменение энтропии за счет внутреннего прироста ст. Этот прирост энтропии, который определен вторым членом в правой части уравнения (19), является положительным (или нулевым). Согласно второму закону термодинамики, он (прирост) является мерой необратимости процессов, имеющих место внутри системы. (В частности, он не наблюдается при термодинамическом равновесии). Как видно из выражения (21), прирост энтропии складывается из пяти компонент, из которых первая возникает от теплообмена, вторая — от диффузии вещества и три других —от вязкого потока. Каждый член является произведением потока (потока тепла, диффузионного потока J., компонентов тензора давления вязкости) и так называемой термодинамической силы" (градиент температуры, градиент химического потенциала, градиент скорости). Здесь можно положить, что первые два потока и термодинамические силы являются векторами (полярными), третий член содержит скаляры, четвертый—симметричные тензоры с нулевым следом и пятый-—аксиальные векторы. Далее увидим, что (см. 6) последние три члена из (21) связаны с объемной вязкостью,, вязкостью сдвига и вязкостью вращения соответственно. [c.9]

Так как в настоящей книге мы пользуемся только тензорами второго порядка, ограничимся определением такого тензора. -Можно легко показать, что скаляр и вектор являются тензорами соответственно нулевого и первого порядков. [c.13]

Из определения т, М и /С видно, что для данного движения % данного тела значения этих функций в данный момент времени 1 представляют собой соответственно вектор, антисимметричный тензор и скаляр. [c.39]

Операции сложения и вычитания тензоров, так же как умножения на скалярный множитель, ничем не отличаются от соответствующих операций над векторами. Если Р и <3 — два теизора, а Л— скаляр, то будем иметь следующее определение сложения и вычитания [c.49]

Трехмерный тензор второго ранга является понятием более сложным по сравнению со скаляром или вектором, в определенном смысле их обобщающим. Так, скаляр а мы можем трактовать как тензор нулевого ранга, содержащий 3 = 1 элемент. А вектор О (/ -> X, у, г) — это тензор первого ранга, содержащий 3 = 3 составляющих. Компоненты тензора при повороте координатных осей изменяются по строго определенному закону, который, собственно, и является формальным признаком этого математического понятия. Такой закон будет приведен в одном из последующих параграфов. [c.30]

Симметричность величин относительно индексов /г следует из правой части равенства (а). Теперь рассмотрим закон преобразования величин Первый член в правой части преобразуется как компонента смешанного тензора второго ранга, так как величины 6, совпадают со смешанными компонентами метрического тензора, а является абсолютным скаляром. Что касается второго члена, то следует отметить, что радиус-вектор в криволинейной системе координат нужно считать определенным своими компонентарли в местном координатном базисе начало местной координатной системы должно совпадать с началом радиуса-вектора. Зная модуль радиуса-вектора и его направление относительно упомянутой местной координатной системы, можно найти его компоненты, как это отмечалось в первом томе. [c.78]

По определению после перехода к новому базису скаляр ф остается неизменным, а с , должны преобразовываться, как компонелты вектора и соотретственно тензора второго ранга. Тогда т. т г должны [c.447]

В 6.4—6.6 мы имели дело с адиабатическим процессом в упругой среде, т. е. исследовали динамику чисто механической системы. Такая система описывается тензором энергии со свойствами (6.67), (6.68). Теперь рассмотрим более общую систему, связанную с непрерывно распределенной реальной материей, внутри которой может иметь место теплопроводность. Движение материи описывается полем скоростей и (х, t) или соответствующей 4-скоростью U( (х). Тензор энергии Тц, этой обобщенной системы все еще симметричен, но для чисто механической системы уже не удовлетворяет условию (6.68). Из Tjj , Ui и тензора определенного в (6.73), мoлiHo снова образовать скаляр h°(x) и тензор Sik по формулам (6.72) и (6.75) соответственно. В этом случае эти величины также будут удовлетворять соотношениям (6.70) и (6.78). Кроме того, можно образовать ненулевой вектор [c.162]

Здесь ср — значение скаляра <р в повой системе координат. В фор-М улу (а) не входят направляющие косинусы осей повой системы координат. Однако можно по.дожить, то правая часть этой формулы содержит их в нулевой степени. Векто[) аналитически определяется системой трех чисел — проекцнн вектора на оси координат, или компонент вектора. Компоненты векто1)а. зависят от выбора системы координат и преобразуются при изменении системы координат но формулам (1.35) и (1.36). Эти формулы линейны и однородны относительно направляющих косинусов осей новой системы координат. Возникает вопрос о существовании физических пли геометрических объектов, аналитически определяемых более сложными системами чисел, чем векторы, но имеющих аналитические свойства, родственные свойствам скаляров и векторов. Такие объекты существуют. Они называются тензорами. Мы рассмотрим здесь аналитическое определение тензоров и убедимся, чго абсолютные скаляры и векторы являются лишь их частными случаями. [c.43]

В предыдущих подразделах приложения тензоры различного ранга рассматривались как некоторая математическая абстракщга, характеризуемая определенным количеством компонэтт, каждая из которых при повороте множества координат преобразуется по закону (П1.26). В основном тексте учебника параметры движения сплошных сред представляются как соответствующие физические аналоги тетзоров различного ранга. Так, плотность, масса, объем, температура, мощность не зависят от ориента1дш множества координат и дня их математического описания используются тензоры нулевого ранга или скаляры перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение описываются с помощью тензоров первого ранга или векторов параметры деформированного и напряженного состояний окрестности движущихся материальных частиц - с помощью тензоров второго ранга вычисление объема Q непрямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с в декартовом множестве координат [c.250]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...