Определение смещений по тензору

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Вообще говоря, после определения смещений в нескольких близко расположенных точках граничной поверхности можно, вычислив деформации, сообразуясь с известными значениями вектора напряжений (заданного по постановке задачи), определить и остальные компоненты тензора напряжений. [c.580]

Прежде чем перейти к рассмотрению соотношений, содержащих вектор и и тензор 0 и, сделаем несколько общих замечаний. Хотя, в принципе, эти соотношения позволяют найти все неизвестные величины, часто бывает легче сначала определить вектор смещения из оптической разности хода (см. п. 4.1) и оставить более сложные уравнения, содержащие производные от О, исключительно для определения производной от смещения. По этой причине, а также для простоты, далее будем счи тать, что нам нужно определить только Поскольку тен- [c.128]

Определение вектора смещений по компонентам тензора деформаций [c.81]

О (р, Я, г), соответствующее массовой силе т. е. (см. п. 1, 11), если известны вектор смещения и = ( ) и тензор напряжения х = , определенные в 11, то можно вычислить деформации по формулам (5.4) и тем самым определить деформированное и напряженное состояние среды. Но для определения упруго-динамического состояния, соответствующего массовой силе [c.53]

Это следует из того, что компоненты тензоров и совпадают в этих системах координат = м и по определению вектора смещения и совпадения (АГ) и в [c.311]

При определении тензора комбинационного рассеяния первого порядка мы рассматривали возбуждение оптического фонона, описывающего смещения атомов решетки и обусловленное ими возмущение периодического потенциала и электрон-решеточное взаимодействие. Возбуждающий и рассеянный свет характеризуется малыми волновыми векторами k <С Вн (где Вн — вектор обратной решетки), поэтому фонон также имеет малый волновой вектор, который полагается равным нулю. Для акустических колебаний с А = О, которые играют аналогичную роль в бриллюэновском рассеянии, главный член электрон-фононного взаимодействия пропорционален компонентам деформации. Если для комбинационного рассеяния тензор Pa разлагается по степеням смещений, то для бриллюэновского рассеяния необходимо проводить разложение по степеням [c.315]

Явление Керра объясняется анизотропией самих молекул. Количественная теория для газов была развита Ланжевеном (1872— 1946) в 1910 г. В ней анизотропия молекулы характеризовалась только тензором поляризуемости. В отсутствие электрического поля анизотропные молекулы ориентированы в пространстве хаотически, так что среда в Целом макроскопически изотропна. При наложении внешнего электрического поля молекулы преимущественно ориентируются осями наибольшей поляризуемости вдоль поля, вследствие чего среда становится анизотропной. В общем случае произвольного тензора поляризуемости вычисления очень громоздки. Однако сущность теории и ее основные результаты, по крайней мере качественно, можно передать, предполагая, что молекулы полностью анизотропны, что очень сильно упрощает вычисления. Это и делается ниже. Полностью анизотропной называется такая, молекула, внутри которой электрические заряды могут смещаться только в определенном направлении, называемом осью молекулы. Моделью такой молекулы может служить палочка, вдоль которой и может происходить смещение зарядов ). [c.554]

А это В свою очередь позволяет непосредственным интегрированием по той или иной кривой восстановить смещения. Поэтому вопрос об интегрируемости соотношений Коши оказывается эквивалентным вопросу о возможности определения ротора по заданным значениям тензора деформаций. Получим выражения для производных от ротора смещений. Остановимся, например, на выражениях для дш ду и дд дг из (2.30). Продифференцировав дхю1ду по у, а <Зо/<32 по г, и осуществив довольно простые преобразования, получаем [c.214]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

При исследовании гетерогенных сред необходимо учитывать гот факт, что фазы присутствуют в виде макроскопических (по отношению к молеку [ярным размерам) включений или среды, окружающей эти включения. Поэтому деформация каждой фазы, определяющая ее состояние и реакцию, связана, в отличие от гомогенной смеси (см. (1.1.31)),не только со смещением внешних границ (описываемым полем скоростей Vj, которое прежде всего может существенно отличаться от ноля среднемассовых скоростей v) выделенного объема, но и со смещением межфазных поверхностен внутри выделенного объема смеси. Учет этого обстоятельства при определении тензоров напряжений Oi требует привлечепия условий совместного деформирования и движения фаз, условий, учитывающих структуру составляющих среды (форма и размер включений, их расположение и т. д.). Заметим, что в тех случаях, когда эффекты прочности не имеют значения (газовзвеси, эмульсии, суспензии, жидкость с пузырьками, твер дые тела при очень высоких давлениях), условия совместного деформирования являются существенно более простыми, чем в общем случае. Они по существу сводятся к уравнениям, определяющим объемные содержания фаз а,. Наиболее часто встречающимися такого рода уравнениями является условие равенства давлений фаз или несжимаемости одной нз фаз. [c.27]

Учет этих же параметров при разработке соответствующих моделей упругопластического поведения материала при циклическом нагружении позволяет в ряде случаев перейти к последующей оценке долговечности по критерию повреждаемости без постановки дополнительных экспериментов. Такой подход реализуется, например, в главе 6 данной монографии, где в описываемой модели термовязкопластичности с комбинированным упрочнением вводится тензор остаточных микронанряжений, обусловливающий трансляцию поверхности текучести и являющийся макроскопической характеристикой ориентированных микронанряжений. При этом программа базовых экспериментов предусматривает определение функции, характеризующей смещение центра поверх- [c.16]

Одних только уравнений движения сплошной среды в напряжениях и уравнений несжимаемости недостаточно для нахождения поля скоростей (или поля смещений). Для определенности задачи необходимо еще охарактеризовать соотношение между компонентами тензора скоростей деформации (или тензора деформации или, в общем случае, некоторого кинематического тензора, построенного с помощью этих тензоров) и компонентами тензора напряжений, причем эти соотношения должны обладать некоторыми свойствами, определяемыми тензорностью величин. Связь между напряжениями, деформациями и их производными по времени называется уравнением (функцией) реологического состояния. Важным частным случаем уравнения состояния является уравнение течения, которое определяет собой зависимость между скоростями деформаций и напряжениями. Ниже рассматриваются, во-первых, задачи в условиях простого напряженного состояния, когда существует лишь одна составляющая тензора напряжений и соответствующая ей составляющая тензора скоростей деформаций, во-вторых (за исключением, когда это особо не оговаривается), только те случаи, когда скорость деформации — непрерывная однозначная 12 [c.12]

Для определенности задачу длительной прочности сформулируем для ортотропных осесимметричных оболочек [116, 188] при отсутствии температурного воздействия (0 = 0). В этом случае в уравнениях (22.10), (22.11) необходимо всюду заменить компоненты тензора жесткости A i j соответствующими операторами которые находим по формулам (2.10), если в них величины с, Ес, Eah к = 2,. . ., т) считать операторами, определяемыми через интегральный оператор типа Волыерра, как указано в 2. Полученная в этом случае система интегро-дифференци-альных уравнений при стационарных граничных условиях с помощью принципа Вольтерра сводится к статической краевой задаче для упругих ортотропных оболочек. Ее решение при соответствующих краевых условиях определяет выражения для обобщенных смещений Uio, u i как функцию координаты х и операторов Aaifi- В общем случае это будут некоторые трансцендентные функции от операторов Аагм, расшифровка которых может быть осуществлена, если предварительно эти функции разложить в операторный ряд [172] по степеням соответствующих операторов. Расшифровку последних можно осуществить, если считать, например, что для каждого субструктурного элемента интегральные операторы Г являются операторами типа Эд — Работнова [169]. [c.149]

При рассмотрении в гл. 3 формирования голографических изображений были использованы как первые, так и вторые производные разности фаз. В гл. 4 дан анализ формирования интерференционных полос на основании определения оптической разности хода, а затем, при более подробном ознакомлении рассмотрена первая производная от оптической разности хода. В то же время было показано, как вектор смещения и его первая производная, т. е. тензор относительной деформации и тензор вращения связаны с оптическими величинами и по этой причине могут быть измерены на поверхности непрозрачного тела. Следовательно, поскольку каждый дополнительный порядок производной позволяет получить больщее количество ин-. формации, теперь рассмотрим вторую производную от оптической разности хода, с помощью которой определили вторую производную от смещения. Поэтому сначала кратко остановимся на том, какие механические величины за-висят от этой производной и какие соотнощения будем использовать в дальнейшем. Затем подсчитаем вторую производную от оптической разности хода и отметим в общих чертах некоторые из ее возможных применений, [c.154]

Как мы видели выше, для сферической оболочки комплексный символ Кристофеля обращается в нуль. Следовательно, главный комплексный символ Кристофеля В, а также тензор Дарбу обращаются в нуль для всех алгебраических поверхностей 2-го порядка по гожительной кривизны. Таким образом, комплексные функции смещений w и напряжений ш, определенные формулами (3.7) и (3 11), для всякой поверхности S 2-го порядка положительной кривизны удЬвлетворяют уравнениям [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...