Тензора форма

Здесь /, - первый инвариант тензора /. Форма представления упругого потенциала, как правило, принимается в виде [71] [c.514]

Операции над тензорами имеют дубликаты в компонентной форме. Например, [c.25]

Из изложенного выше ясно, что символ V широко применяется при введении различных величин. Этот символ V имеет также специальное название — оператор набла. Во избежание недоразумений важно помнить, что оператор, подразумеваемый под этим символом, зависит от природы величины, к которой он применяется в этом отношении он различен в применении к скалярам, векторам и тензорам. С другой стороны, в компонентной форме эта операция допускает общую формулировку при помощи кова-риантного дифференцирования тензора и-го ранга. Кроме того, следует подчеркнуть различие между операторами V и V., которые обозначают градиент и дивергенцию соответственно. [c.35]

V(A-a) = a-v-A + А где А — произвольное симметричное тензорное поле и а — произвольное векторное поле. Указание доказательство вести в компонентной форме, поскольку в исходное тождество входит градиент тензора А. Выяснить, где именно требуются условия симметрии. [c.54]

Очевидно, что уравнение состояния должно быть инвариантным при изменении системы координат выбор последней фактически является соглашением, используемым для определения компонент векторов и тензоров. Если это уравнение записано в тензорной форме, оно всегда инвариантно при изменении системы координат. Действительно, в системе отсчета, избранной для наблюдения, тензоры остаются неизмененными при изменении системы координат, хотя их компоненты могут изменяться. Это становится очевидным сразу же, когда тензоры определяются как линейные операторы, поскольку такое определение не зависит от выбора системы координат. [c.58]

В литературе встречается довольно много уравнений состояния, не подчиняющихся принципу объективности поведения материала. В частности, некоторые работы по линейной вязкоупругости страдают от этого недостатка. Это весьма прискорбно, потому что имеющиеся экспериментальные данные оказываются бесполезными, поскольку эти результаты были опубликованы в форме, полученной после их обработки на основе неинвариантного (а следовательно, физически невозможного) уравнения состояния. В частности, в гл. 6 мы увидим, что в случае уравнений состояния, включающих производные по времени от тензора напряжений, удовлетворять указанному принципу следует с особой тщательностью. [c.59]

В противоположность этому под жидкими материалами понимают такие материалы, которые не имеют предпочтительной формы, так что попытка соединения интуитивных понятий упругости и текучести приводит, по крайней мере на первый взгляд, к внутреннему противоречию. Действительно, та идея, что текучие материалы нечувствительны к деформации, приводит к концепции, что внутренние напряжения должны определяться скоростью деформации,— концепции, которая воплощена в уравнении (2-3.1). (Тензор растяжения D, как будет показано в следующей главе, описывает мгновенную скорость деформации.) [c.74]

Поскольку тензор т определен только как изотропный тензор, его нормальные декартовы компоненты определяются только с точностью до аддитивной постоянной. Результат, даваемый уравнениями (2-8.5), выражен, таким образом, в нужной форме, как и в уравнениях (2-3.12) — (2-3.15). [c.84]

Уравнение (3-2.1) следует интерпретировать следующим образом значение функции ( ) при любом заданном т совпадает со значением функции ij ( ) при S — t — т. Функция (s) для s О называется предысторией", очевидно, ее функциональная форма зависит от выбора момента наблюдения. Действительно, при изменении момента наблюдения временное запаздывание, соответствующее заданному моменту времени в прошлом, изменяется, т. е. имеет место сдвиг по оси временного запаздывания. Если значения функции (s) представляют собой значения относительного тензора, изменение момента наблюдения означает не только [c.98]

Следует помнить, что ассоциированные относительные тензоры не следует смешивать с самим тензором J, несмотря на то что их значения совпадают при т = t. Тензор J определяется в терминах имеющих физический смысл величин, в то время как для ассоциированных относительных тензоров, за исключением вращательной формы, часто невозможно подыскать прямой физической интерпретации. [c.108]

Из уравнений (3-3.14) и (3-3.20) немедленно следует, что J — просто зависящий от времени тензор J (t), как его видит наблюдатель, находящийся во вращающейся системе отсчета, и вращательная производная представляет собой производную по времени, наблюдаемую в этой системе. Разумеется, никакой аналогичной интерпретации нельзя предложить для конвективных форм и конвективных производных по той причине, что тензор F не ортогонален. [c.108]

Из уравнения (3-4.16) следует, что r ij можно отождествить с матрицей ковариантных компонент нижней конвективной формы тензора J [c.114]

Несмотря на это, не существует симметричного тензора, компоненты которого в системе совпадают с т] действительно, левая и правая конвективные формы симметричного тензора несимметричны и пе равны друг другу. Конечно, если J = J , то смешанные компоненты можно записать как эту матрицу можно тогда интерпретировать двумя различными способами, основываясь на уравнениях (3-4.22) и (3-4.23). [c.115]

Заметим, что значение функционала определено только с точностью до произвольного изотропного тензора. Иными словами, для каждого заданного материала определено целое семейство функционалов значения которых отличаются друг от друга на изотропные тензоры. Одна частная форма функционала может быть идентифицирована при помощи нормализации [c.144]

Весьма полезный результат применения формулировки прин ципа при предыстории покоя состоит в другой форме последовательных приближений к уравнению состояния простых жидкостей. Вместо того чтобы рассматривать медленные течения, рассмотрим малые деформации. Такая ситуация возникает, например, при колебательных движениях малой амплитуды. Чтобы норма тензора G для такого движения была мала, необходимо рассматривать лишь то, что имело место в недавнем прошлом. Тогда можно доказать, что в приближении первого порядка уравнение состояния простой жидкости с затухающей памятью имеет вид [c.146]

Перед записью других форм уравнения Максвелла полезно сделать следующее замечание. Релаксационные уравнения первого порядка, т. е. уравнения, не содержащие других производных тензора напряжений, кроме первой, разрешенные явно относительно скорости изменения тензора напряжений, имеют следующий общий вид [c.235]

Если ввести в рассмотрение матрицу J Jij тензора инерции для неподвижной точки в выбранной системе связанных с телом осей, то соотношение между вектором кинетического момента и вектором угловой скорости можно записать в векторно-матричной форме [c.188]

Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эффективно применен и в некоторых разделах математики [7, 50]. Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. [c.10]

Из определения формы Т(х,у) следует, что ее значение не меняется при преобразованиях базисных векторов. В этом смысле набор Л ее коэффициентов Урд, p,q = 1,2,3, представляет собой тензор второго ранга. Он называется связанным с точкой О тензором инерции множества Q точечных масс. Найдем компоненты тензора Л [c.45]

Изменяя порядок суммирования в выражении той же формы через тензор инерции, можно получить [c.46]

Таким образом, тензор инерции порождает в пространстве П . линейный оператор инерции Л, переводящий вектор х в вектор г. Форма Т(х, у) может быть представлена в виде [c.46]

Форма Тс(х,у) порождает в точке С тензор инерции Л, называемый центральным тензором инерции, а форма 7л/(х,у) — в точке О тензор инерции Л . Лемму 1.10.1 можно переформулировать следующим образом. [c.51]

Форма Тм(х,у) и, следовательно, тензор 3 не зависят от расположения точек множества Q относительно центра масс. Они характеризуют расположение множества Q в целом относительно точки О. Формулы для расчета достаточно просты [c.52]

В частности, есть произведение суммарной массы на квадрат расстояния от центра масс до оси с направлением вр, проходящей через точку О. Особенности внутренней структуры множества Q отражаются формой Тс(х,у) и связанным с ней тензором Теорема 1.10.1 дает возможность, определив однажды этот тензор, эффективно пересчитать его для любой интересующей нас точки пространства. [c.52]

Доказательство. Форма 2 не меняет значений при преобра- зованиях координат. Поэтому коэффициенты (а, ) образуют тензор второго ранга. Он может служить метрическим, так как форма 2 положительно определена. [c.618]

Тензор скс,.остей деформаций удобно представить в форме таблицы или матрицы [c.214]

Тензор (форма), равный произведению называется также кро-некеровсшш произведением тензоров (рж (р. Оно обозначается символом [c.16]

Очевидно, что первым шагом в этом направлении является предположение о нелинейном характере зависимости между тензорами напряжений и растяжения. Однако, перед тем как рассматривать это предположение, уместно проанализировать требования инвариантности для уравнений состояния, чтобы можно было избежать физически неосуществимых форм этого уравнения. Следуюпщй раздел посвящен такому анализу. [c.57]

Уравнение (2-3.4) представляет собой уравнение, определяющее жидкость Рейнера — Ривлина. Оно является столь же общим, как и уравнение (2-3.1). Приведение последнего к менее общей форме (2-3.4) диктуется принципом объективности поведения материала. Следовательно, если поведение реальной жидкости не описывается адекватно уравнением (2-3.4), мы можем заключить, что в такой жидкости напряжения не определяются однозначно тензором растяжений. [c.64]

Любое реологическое уравнение состояния, записанное в терминах тензорных компонент в конвективной системе координат, автоматически удовлетворяет принципу объективности поведения материала [1, р. 46]. Из этого в литературе часто незаконно делают вывод, что такие уравнения, записанные в некоторой алгебраически простой форме, имеют некий особый физический смысл. Предположения о линейности , которые типичны для старых неинвариантных формулировок линейной вязкоупругости, были сделаны инвариантными относительно системы отсчета при помощи метода конвективных координат и, следовательно, предполагались физически реальными, хотя имеется бесчисленное количество других возможностей удовлетворить принципу объективности поведения материала, равно подтверждаемых (или не подтверждаемых) с феноменологической точки зрения. Смешение систем координат и систем отсчета оказывается даже более вопиющим в некоторых опубликованных работах, основанных на методе конвективных координат, а различие между тензорами (как линейными операторами, отображающими евклидово пространство само в себя) и матрицами тензорных компонент часто совершенно игнорируется. Наконец, конвективным производным часто приписывался некоторый особый физический смысл, и бесплодные дискуссии о том, что они являются истинными временными производными, были вызваны неправильным толкованием метода конвективных координат. В данном разделе мы собираемся осветить этот вопрос в соответствующей перспективе и указать некоторые распространенные ошибки, встречаюпщеся при применении данного метода. [c.111]

В работе [9] показано, что коэффициенты в слагаемых порядка а ш и aj Pi—Pj) в осредненных уравнениях движения дисперсной фазы зависят от их расположения, которое в принципе может меняться во времени. При использовании ячеечной схемы это расположение задается заранее, в соответствии с формой и размером ячейки, что и определяет указанные коэффициенты-Отметим еще одно обстоятельство. Ячеечная схема (см. (3.5.31)) и анализ [И] (см. (3.5.36)) выявляют негидростатическую составляющую тензора напряжений в виде [c.153]

Линейная зависимость между тензорами Я и 5 в обпдем случае изотропной жидкости выражается в форме [c.571]

Для упругих сплошных сред линейная зависимость между T FnopoM Е1апряжений Пи тензором деформаций S, который тоже является симметричным, аналогична (29) и выражается в форме [c.574]

Для решения поставленной задачи будем использовать метод последовательных итераций [22]. Он заключается в следующем. В качестве начального приближения для ф и используем функции тока, являющиеся решением задачи об обтекании пузырька потоком жидкости при учете инерционных эффектов (см. разд. 2.3). С помощью этих выражений для функций тока можно определить нормальные компоненты тензора напряжений в обеих фа.чах. Тогда можно решить уравнение (2. 7. 9) и тем самым определить начальное значение функции С (т]). Далее для найденной формы пузырька нужно повторить решение уравнения Навье—Стокса при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений (см. разд. 2.3) и т. д. Рассмотрим решение уравнения (2. 7. 9) в соответствии с [22], считая, что неоднородная его часть явля- [c.66]

Для читателей, знакомых с тензорным исчислением, сделаем следующее важное дополнительное замечание. Одним из исходных предположений в механике является утверждение о том, что все механические величины характеризуются тензорами нулевого, первого или второго ранга, а все законы и уравнения механики представляют собой тензорные равенства. Это значит, что в каждом законе должны содержаться слагаемые, представляющие собой тензоры одного и того же ранга, и из самого определения тензора следует, что любые равенства, выражающие законы и уравнения механики (как для замкнутых, так и для незамкнутых систем), ковариантны по отношению к повороту координат. В отличие от этого ковариантность по отношению к другим преобразованиям не является свойством законов механики, а скорее определяется формой их записи. Одни и те же законы механики могут быть представлены и в ковариантной, и в нековариантной записи. Преимущество ковариантной записи состоит в том, что она не зависит от выбора систем отсчета в пределах соответствующего класса преобразований. [c.47]

Использование представления тензора инерции в векторной форме с помощью диадных произведений векторов (диад) при выполнении действий векторной алгебры имеет такие удобства, как краткость записи, наглядность. Обозначается диада написанием рядом двух векторов без знака между ними в отличие от скалярного и векторного произведения. Диадное произведение аЬ двух трехмерных векторов а и Ь определяет тензор второго ранга, компоненты которого составляют матрицу, вычисляемую по следующему правилу (нижними индексами обозначены проекции векторов на ортогональные оси коорданат) [c.39]

В соответствии с общим определением тензоров компоненты тензора инерции /,ь при повороте осей координат относительно начала преобразуются в Jui (г, k=x, у, г ). Причем компоненты Jш определяются через компоненты Jui и представляют квадратичные формы относительно направляющих косинусов. В последнем можно убедиться непосредственным вычислением Jиспользуя формулы преобразования координат при повороте координатной системы. Тензор инерции будет второго занга. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...