Градиент векторной функции

Градиент векторной функции у(х, ) также можно получить, образовав диадное произведение вектора V на вектор — дифференциальный [c.36]

Наиболее употребляемыми формами записи тензоров второго ранга — градиентов векторной функции — являются [c.37]

Введя это понятие, мы можем условия (35) представить в виде rot/= = 0. Следовательно, чтобы векторная функция F х, у, z) имела потенциал или, что то же, была градиентом скалярной функции и(х, у, z), необходимо и достаточно, чтобы ротация Сравнялась нулю. [c.337]

Таким образом, в общем случае задачи динамики упругой среды сводятся к определению четырех волновых функций. Для уменьшения произвола служит условие div ф = 0. Вместо этого условия можно взять любое другое дополнительное условие, совместное с остальными условиями задачи, пользуясь тем, что вектор ф можно выбирать с точностью до градиента произвольной функции. Существенно, что представление (5.50) оказывается весьма неудобным в трехмерном случае, когда для построения рещения вводится криволинейная система координат. Поскольку векторное уравнение в проекциях на оси дает, вообще говоря, связанную систему, уравнений для проекций вектора, то эту скалярную систему придется решать совместно. [c.296]

См. приложение IV, О градиенте скалярной функции и градиентном векторном поле . (Ред) [c.322]

Таким образом силовое поле, о котором идет речь в рубр. 26—29 текста, является консервативным, если представляющее его геометрически векторное поле градиентное. Сила поля в этом случае есть градиент потенциальной функции. [c.383]

Потенциальная теория получила свое название по скалярной функции или потенциалу ф х, у, z, t), который служит для полного описания определенного ряда условий в пространстве и времени. Хотя потенциал является скалярной величиной, векторная функция, называемая его градиентом, может быть выведена из потенциала путем частного дифференцирования. При любой системе координат компонент градиента в любом направлении равен скорости изменения потенциала в этом направлении. Если положительный градиент потенциала ф представляется как скорость потока, тогда ее выражения в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат имеют следующий вид [c.67]

Для записи уравнений Эйлера в произвольной ортогональной системе координат необходимо добавить представление для градиента по направлению от вектора а Л/Ь, а для уравнений Навье - Стокса - еще и представление для оператора Лапласа, действующего на векторную функцию. Компоненты лапласиана могут быть вычислены путем замены скалярной функции в приве- [c.37]

Из математического анализа известны основные дифференциальные операции над скалярными и векторными функциями. Так, градиент скалярной функции (скалярного поля) [c.36]

Учитывая, что векторная функция, удовлетворяющая требованию (2.19), всегда может быть выражена через градиент некото- [c.66]

Таким образом, при помощи скалярного поля функции / (х, у, г) определяется векторное поле градиента этой функции. [c.211]

Видно, что, когда присутствует изменяющееся во времени магнитное поле, Е не является градиентом скалярной функции, так как ух Е ф Ь. Однако = О, поэтому В можно представить как ротор вектора А — магнитного векторного потенциала [c.356]

Известно, что уравнение неразрывности, записанное в дивергентной форме, определяет соленоидальный вектор, который может быть записан в виде векторного произведения градиентов двух функций уравнение неразрывности при этом тождественно удовлетворяется. В связи с этим, для стационарных пространственных течений могут быть введены две функции тока. Введем новую независимую переменную г) с помощью равенства, левая часть которого — скалярное произведение вектора скорости и вектора У-ф, [c.20]

Недостатком применения линейных интерполяционных полиномов является невозможность получить градиенты как функции х и у. Градиент и любая связанная с ним величина получаются постоянными внутри элемента. Чтобы иметь более приемлемые значения узловых величин применяются различные методы усреднения. Можно, например, в качестве значения градиента в данном узле принять среднюю по всем окружающим этот узел элементам величину. Узловые значения результантов элемента можно также получить с помощью теории сопряженной аппроксимации [2]. Эта теория дает значения результантов элемента, согласованные с аппроксимирующими полиномами для векторной или скалярной величины. [c.101]

В кинематике при описании движения различных объектов мы уже встретились с понятием вектора и применяли некоторые операции векторной алгебры (сложение, скалярное и векторное умножение) и, частично, векторного анализа — вычисление градиента скалярной функции. Относительно этих операций мы предполагали, что они известны из курса математики. [c.59]

Для обозначения вектора градиента скалярной функции / (х) векторного аргумента будем использовать следующую запись [c.17]

Если в каждой точке пространства определено значение некоторой физической величины, то говорят, что имеется поле этой величины. Может, например, существовать температурное поле, поле плотностей, концентраций. Это примеры скалярных полей. Здесь будут рассматриваться векторные силовые поля. В каждой точке пространства при этом определен вектор силы, действующей на соответствующий заряд и зависящий в общем случае от положения точки относительно источника поля. Речь пойдет о неизменных во времени (стационарных) внешних силовых полях, когда источник поля располагается вне системы и наличие системы не влияет на величину поля. Силовое поле называют потенциальным, если сила в каждой точке пространства может быть выражена через градиент некоторой скалярной функции координат — потенциала поля. Так, гравитационное поле Земли имеет потенциал [c.153]

Из векторного анализа известно, что если вектор а есть градиент некоторой скалярной функции / (х, у, г), то во всех точках [c.158]

Используя векторные обозначения, мы будем писать х = х(Х). Поскольку соответствие между начальным положением X и конечным положением х является взаимно однозначным, физические величины, характеризующие данную частицу, можно считать как функциями X, так и функциями х и выбирать более удобные в конкретной ситуации аргументы. Мы используем одно и то же обозначение для функции в обоих случаях и зачастую будем переходить от одних переменных к другим без каких-либо оговорок. Оператор градиента по переменной X обозначается через Vo, по переменной х — через V. [c.301]

Если это имеет место, то векторное поле, как сказано, будет градиентным, а вектор Р называется градиентом функция и. [c.383]

Векторное поле есть часть пространства, в каждой точке которого определен некоторый вектор а = а (х, у, г), координаты его а , Оу, а —функции X, у, г например, поле скоростей в данный момент в движущемся теле, поле градиентов данной скалярной функции. Модуль а определяет интенсивность поля. [c.231]

Этот тензор, по внешней аналогии с градиентом скалярной функции gradф, называют градиентом векторной функции и [c.335]

Если мы вычислим градиенты целевой функции и двух активных ограничений в точке ж , которая лежит на пересечения двух ограничений (рис. 13.3а), то увидим, что все они указывают приблизительно в противоположных направлениях. Другими словами, через точку (х невозможно провести прямую так, чтобы векторы всех градиентов лежали по одну сторону от нее. Для этой ситуации условия Куна-Таккера формулируются следующим образом в точке оптимума векторная сумма градиентов целевой функции и всех активных ограничений должна быть равна нулю при подобранных определенным образом положительных множителях, которые называются множителями Лагранжа. Иг. рис. 13.4 показана данная векторная сумма для рассматриваемого примера. Здесь значения множителей Лагранжа, которые позволяют векторной сумме сойтись к нулю, > О и > 0. Следовательно, ж является точкой оптимума. [c.481]

В случае более чем одной независимой переменной вводятся частные производные по любой из этих переменных и, в частности градиент дельта-функции, т. е. векторная обобш енная функция. [c.19]

Доказательство этой теоре ш основано на том, что индекс векторного поля градиента гладкой функции двух переменных в изолированной критической точке не может быть больше единицы (хотя может быть равен 1, О, —1, —2, —3,. . .), а сумма индексов всех неподвижных точек сохраняющего ориентацию диф оморфизма двумерной сферы на себя равна двум. [c.388]

Если сила / представлена как градиентое векторное поле f = -W, функция V К"—называется потенциальной энергией. В этом случае [c.205]

Свободная энергия должна зависеть только от магнитного поля она не должна меняться, если к векторному потенциалу добавить градиент некоторой функции координат (поскольку ротор от него обращается в нуль). Это просто означает, что свободная энергия должна быть градиентно инвариантной. Градиентная инвариантность обычного уравнения Шредингера достигается тем, что к градиенту добавляется величина 1еА1Ьс, где е — абсолютная величина заряда электрона. Гинзбург и Ландау нменно так и поступили, хотя теперь ясно, что градиентная инвариантность не нарушится, если даже вместо коэффициента е1Ис взять другую величину Это можно сделать, заменив заряд электрона —е на эффективный заряд д. Теперь установлено, что д = —2е, где множитель 2 появляется вследствие условия спаривания, следующего из микроскопической теории. Мы, однако, сохраним общую форму с д. Таким образом, плотность сво(5одной энергии [c.590]

Поле скорости жидкости. Скорость является важнейшим понятием, которое наряду с законом движения характеризует течение жидкости. В лагранжевых координатах при наличии закона движения (1.12) скорость 1> Х,0 жидкой частицы по определению V = Ьх/Ы. Она вычисляется для фиксированной частицы и численно равна расстоянию, прдходимому за единицу времени, поэтому здесь берется частная производная от х по Однако задание скорости в лагранжевых координатах при описании движения жидкости встречается крайне редко. Кроме того, такое задание не позволяет просто определить пространственные градиенты скорости в точках жидкости. Поэтому при анализе течения основной независимой переменной выступает векторная функция и(х, 1) — скорость жидкости в точке х в момент времени /. В эйлеровых координатах она определяется как объем жидкости, проходящей за единицу времени через единичную площадку, которая перпендикулярна направлению потока. Отыскание векторного поля скоростей к(х, 1) наряду со скалярными полями давления р(х,0 и плотности р(х, /) является основной задачей гидромеханики. [c.16]

Для определения поверхностей тока введем, как и ранее, две функции тока г(з1 и г(з2- Заметим, что потенциал скоростей ф — решение уравнения Лапласа, а значит вектор Аф — соленоидальный. Исключим из рассматриваемой области кроме точек, в которых расположены дублеты, еше и точки, где Аф = 0. Известно, что любой соленоидальный вектор может быть представлен в виде векторного произведения градиентов двух функций. Поэтому можно записать Аф = [Уф1ХУг(з2] или в координатной форме при гфО [c.66]

Данный вопрос можно разъяснить еще и следующим образом. Возьмем кубический метр жидкости, заключенный в практически невесомый прочный (например, стальной) контейнер, имеющий кубическую форму. Далее представим себе, что этот контейнер (заполненный тяжелой жидкостью) перемещается в воздухе (т. е. только в поле сил тяжести). Очевидно, работа, выполненная этим контейнером, определится разностью наименований соответствующих линий равного потенциала только поля сил тяжести ( начальной и конечной эквипотенциалей). После этого удалим из нашего контейнера жидкость и тем самым сделаем его невесомым. Этот пустой невесомый контейнер будем мысленно перемещать не в воздухе, а в окружающей жидкости, т. е. только в векторном поле градиентов Jp давления. Очевидно, за счет давления жидкости на стенки пустого контейнера сверху и снизу (т. е. за счет архимедовой силы, имеющей свою потенциальную функцию в виде р/у) мы получим ту же работу, что и выше, когда мы мысленно перемещали данный контейнер в воздухе (в поле сил тяжести). Однако две эти работы [c.50]

Таким образом величина Я не есть удельная потенциальная энергия жидкости (находящейся, например, в некотором сосуде см. рис. 2-13), подсчитанная относительно принятой плоскости сравнения 00 в предположении, что на жидкость действуют только силы тяжести. Величина Я представляет собой отнесенную к единице веса жидкости потенциальную функцию, описывающую суммарное векторное силовое поле, образованное силами тяжести и еще архимедовыми силами (точнее говоря, силами, выражаемыми градиентами давления см. выше). [c.51]

Градиентом функции (скалярного поля) ф(л , у, z, t) называется векторное поле grad 9 с компонентами [c.21]

Потенциальное векторное поле а есть поле градиентов некоторой скалярной функции, т. е. существует функция и = = и(х,у, z) такая, что d = grad и или [c.233]

Потенциальное векторное поле а есть поле градиентов некоторой скалярной-функции, т. е. существует функция и = = и(х, у, г) такая, что а = grad и или du du ди [c.233]

ТЕОРЕМА (Ирншоу система неподвижных точечных зарядов электрических, находящихся на конечных расстояниях друг от друга, не может быть устойчивой Карно термический КПД обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и являегся функцией абсолютных температур нагревателя и холодильника Кастильяно частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы Кельвина сила (или градиент) будет больше в тех точках поля, где расстояние между соседними поверхностями уровня меньше Кенига кинетическая энергия системы равна сумме двух слагаемых — кинетической энергии поступательного движения центра инерции системы и кинетической энергии системы в ее движении относительно центра инерции Клеро с уменьшением радиуса параллели поверхности вращения увеличивается отклонение геодезической линии от меридиана Кориолнса абсолютное ускорение материальной точки рав1Ю векторной сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений Лармора единственным результатом влияния магнитного поля на орбиту электрона в атоме является прецессия орбиты и вектора орбитального магнитного момента электрона с некоторой угловой скоростью, зависящей от внешнего магнитного поля, вокруг оси, проходящей через ядро атома и параллельной вектору индукции магнитного поля Остроградского — Гаусса [для магнитного поля магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю для электростатического поля <в вакууме поток напряженности его сквозь произвольную [c.283]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...