Вектор градиент скалярной функции

Вспоминая 75 т. I, где вектор градиента скалярной функции по направлению определен перпендикуляром (нормалью) к поверхности уровня скалярной функции, отложенным в сторону возрастания скалярной функции, а по величине — произ водной скалярной функции по положительному направлению нормали ( внешней нормали), и принимая во внимание определяющее силу равенство (59), можем заключить, что [c.223]

Для обозначения вектора градиента скалярной функции / (х) векторного аргумента будем использовать следующую запись [c.17]

Вектор F, проекции которого определяются равенствами (5), называют градиентом скалярной функции U х, у, z) [c.274]

Мы приходим к такому выводу градиент скалярной функции — это вектор, направленный в сторону быстрейшего изменения этой функции и по модулю равный быстроте этого изменения. [c.376]

Вектор который можно представить в форме градиента скалярной функции, называется потенциальным. В потенциальном силовом ноле сила является потенциальным вектором. [c.377]

Частные производные представляют собой ковариантные компоненты вектора, который называется градиентом скалярной функции [c.417]

Градиент скалярной функции. Расхождение и циркуляция вектора [c.41]

В непрерывном поле скалярной величины через любую точку пространства можно провести линию постоянного значения этой скалярной величины. При этом в каждой точке скалярного поля значение производной от рассматриваемой величины будет зави сеть от выбора направления. По направлениям касательных к ли ниям постоянного значения производные равны нулю, а по нор мали к этой линии производные будут иметь наибольшие значения Градиент скалярной функции есть вектор, направленный по нор мали к линии постоянного значения скалярной функции в сто рону увеличения этой функции и равный по величине производной по направлению указанной нормали. [c.42]

Вектор Е не есть градиент скалярной функции, так как УУ,ЕФ0 из равенства V-B = О следует, что вектор В можно представить в виде [c.32]

Градиентом скалярной функции и х, у, г) называется вектор (направлен по нормали й к поверхности уровня) [c.231]

Замечая, что скалярное произведение вектора скорости на градиент скалярной функции пропорционально производной от этой функции по направлению траектории или линии тока, получим равенство [c.98]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Тогда градиент скалярной функции можно рассматривать условно, к к произведение вектора-оператора V на скаляр а [c.49]

Аналогичный вопрос приходилось уже решать в начале 7 предыдущей главы. Скаляр и вектор зависели пе голько от положения точки в пространстве, где они вычислялись, но и от направления дифференцирования. Эти величины не представляли скалярного и векторного полей, но выражались простыми формулами (10) и (23) как произведения орта на вектор градиента скалярного поля или дифференциальный тензор векторного поля. Последние две величины были уже однозначными функциями и образовывали соответственно векторное и тензорное поля. Докажем, что и напряжения можно выразить как произведения орта п нормали площадки и некоторого тензора, представляющего однозначную функцию точек пространства. [c.86]

Следовательно, в потенциальном силовом поле проекции силы равны частным производным от силовой функции по соответствующим координатам. Вектор Р, проекции которого определяются равенствами вида (60), называют градиентом скалярной функции и (х, у, г). Таким образом, F=g idU. [c.385]

Напомним, что градиентом скалярной функции ф У 2) называется вектор, определенный равенством [c.26]

Видно, что, когда присутствует изменяющееся во времени магнитное поле, Е не является градиентом скалярной функции, так как ух Е ф Ь. Однако = О, поэтому В можно представить как ротор вектора А — магнитного векторного потенциала [c.356]

Пример 1. Градиент скалярной функции / есть вектор [c.47]

В соответствии со смыслом введенного в предыдущих лекциях вектора градиента скалярной величины из (2.7) следует, что давление наиболее быстро нарастает в направлении действия внешней силы F, а в перпендикулярных направлениях остается постоянным. Таким образом, можно говорить о поверхностях равного давления, нормаль к которым в каждой точке совпадает с направлением приложенной в этой точке внешней силы. Несложно рассчитать распределение давлений по объему жидкости, если принять во внимание, что компоненты внешней силы F выражаются через производные скалярной функции координат p(x,y,z). Это означает, что сила F - потенциальна и, следовательно, может быть выражена через потенциальную функцию и (потенциальную энергию единицы объема жидкости во внешнем поле) следующим образом [c.29]

В кинематике при описании движения различных объектов мы уже встретились с понятием вектора и применяли некоторые операции векторной алгебры (сложение, скалярное и векторное умножение) и, частично, векторного анализа — вычисление градиента скалярной функции. Относительно этих операций мы предполагали, что они известны из курса математики. [c.59]

Если применить понятие вектор-градиента oi скалярной функции и [c.345]

Если в каждой точке пространства определено значение некоторой физической величины, то говорят, что имеется поле этой величины. Может, например, существовать температурное поле, поле плотностей, концентраций. Это примеры скалярных полей. Здесь будут рассматриваться векторные силовые поля. В каждой точке пространства при этом определен вектор силы, действующей на соответствующий заряд и зависящий в общем случае от положения точки относительно источника поля. Речь пойдет о неизменных во времени (стационарных) внешних силовых полях, когда источник поля располагается вне системы и наличие системы не влияет на величину поля. Силовое поле называют потенциальным, если сила в каждой точке пространства может быть выражена через градиент некоторой скалярной функции координат — потенциала поля. Так, гравитационное поле Земли имеет потенциал [c.153]

Если применить понятие вектор-градиента от скалярной функции [c.333]

Таким образом, в общем случае задачи динамики упругой среды сводятся к определению четырех волновых функций. Для уменьшения произвола служит условие div ф = 0. Вместо этого условия можно взять любое другое дополнительное условие, совместное с остальными условиями задачи, пользуясь тем, что вектор ф можно выбирать с точностью до градиента произвольной функции. Существенно, что представление (5.50) оказывается весьма неудобным в трехмерном случае, когда для построения рещения вводится криволинейная система координат. Поскольку векторное уравнение в проекциях на оси дает, вообще говоря, связанную систему, уравнений для проекций вектора, то эту скалярную систему придется решать совместно. [c.296]

Из векторного анализа известно, что если вектор а есть градиент некоторой скалярной функции / (х, у, г), то во всех точках [c.158]

Векторное поле есть часть пространства, в каждой точке которого определен некоторый вектор а = а (х, у, г), координаты его а , Оу, а —функции X, у, г например, поле скоростей в данный момент в движущемся теле, поле градиентов данной скалярной функции. Модуль а определяет интенсивность поля. [c.231]

Формула (IV. 115) позволяет зазъяснить смысл понятия градиента скалярной функции ф (Л4). Будем изменять направление вектора т. [c.376]

Вектор с проекциями д дх, д< 1дх2, (Зф/ Хз носит наименование градиента скалярной функции ф и обозначается символом grad ф. Подробнее о градиенте см. в начале 75, специально посвященного дифференциальным операциям поля. Формуле (23) можно придать вид [c.135]

В 37 уже было дано понятие о векторе-гда цднге скалярной функции. Для понимания основ кинематики сплошной среды, в частности для определения ускорения в переменных Эйлера, необходимо углубить представление о градиенте скалярной функции, связав его с понятием о производной в пространстве [c.332]

В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный но величине производной скалярной функции по направлению внешней нормали к поверхности уровня в данной точке и направленный по внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной функции и обозначается символом grado тогда, по определению, [c.44]

Замечая, что скалярное произведе1И1е вектора скорости на градиент скалярной функции пропорционально производной от этой функции по [c.123]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Общие свойства оператора градиента рассматриваются во втором томе. Там показано, что градиент скалярной величины представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением наибольшего увеличения скалярной функции, а величина равна скорости изменения этой функции. Градиент скалярной величины записывается различным образом grad f/, Vf/ или dU/dr. Оператор V читается набла , а VU читается набла Uy>. [c.167]

Согласно определению градиента от скалярной функции Ф как вектора grad с проекциями дф/дх, дФ/ду, дф/дг можно переписать последнее равенство в форме [c.309]

Если имеется скалярное поле, определяемое непрерывной скалярной функцией ф = ф(х, у, г), то с каждой точкой такого поля можно связать некоторый вектор, называемый градиентом скаляра ф (gгadф). Этот вектор имеет направление быстрейшего увеличения ф и по величине равен производной ф по этому направлению. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...