Нормальные моды линейной

Неметаллы с высокой теплопроводностью 85, 86 Неон, изотопы 129 Нормальные моды линейной цепочки атомов 31—33 [c.282]

В самом начале этой главы мы говорили о том, что количественный анализ колебаний атомов реального трехмерного твердого тела представляет исключительно сложную задачу. Для того чтобы понять общие свойства нормальных мод в таком теле, мы предварительно рассмотрели задачу о колебаниях атомов линейной цепочки. Теперь используем результаты этого рассмотрения для качественного описания колебаний атомов трехмерной решетки. [c.158]

Линейному F -взаимодействию отвечает сдвиг положения равновесия осциллятора. Колебательный спектр и форма нормальных мод, т. е. коэффициенты, обеспечивающие переход от индексов узлов к индексам нормальных мод, одинаковы в обоих электронных состояниях. Поэтому = N [c.127]

Количественный анализ колебательных мод реального трехмерного твердого тела — исключительно сложная задача, однако основные идеи, необходимые для понимания общих свойств нормальных мод, можно рассмотреть на примере линейной цепочки атомов. Для простой линейной цепочки легко показать, что имеется только ограниченное число действительно [c.31]

При исследовании свойств колебательных систем в виде прямоугольника представляется естественным произвести некоторую классификацию рассматриваемых частотных диапазонов. Часто при такой классификации в основу кладется сравнение длины волны с характерными линейными размерами объекта. Однако после исследования свойств нормальных мод в слое представляется целесообразным положить в основу такой классификации свойства дисперсионных ветвей. На рис. 61 (кривые 1—5) и 62 (кривые 1—4) при V = 0,248 показано несколько первых дисперсионных ветвей соответственно продольных и изгибных мод в бесконечном слое. Согласно характеру ветвей низкочастотную область определим как область частот, для которых в слое г < 1 имеется только одна распространяющаяся мода Иначе говоря, областью низких частот будем называть интервал О < Q < Q для симметричного и О < [c.182]

В разд. 4.2 и 4.3 мы обсудили распространение электромагнитного излучения в анизотропных средах, используя метод независимых волн (нормальных мод). Эти нормальные моды характеризуются четко определенными состояниями поляризации и фазовыми скоростями они получаются диагонализацией тензора поперечной непроницаемости rii в (4.3.8). Любая волна, распространяющаяся в анизотропной среде, может быть представлена в виде линейной суперпозиции этих нормальных мод с постоянными амплитудами. Пусть [c.114]

Однако в некоторых случаях удобно и даже предпочтительнее описывать распространение волн с помощью линейной суперпозиции невозмущенных нормальных мод, особенно в случае, когда возмущение мало (т. е. Де е). При этом амплитуды мод >1, и теперь не являются постоянными, поскольку и при наличии возмущения Де в общем случае не являются нормальными модами. Тем не менее полное поле можно представить в виде [c.115]

Если падающий свет линейно поляризован вдоль медленной или быстрой оси пластинки, то в соответствии с (5.4.11) свет будет оставаться линейно поляризованным вдоль локальной медленной или быстрой оси. В этом смысле вектор поляризации отслеживает вращение локальной оси, при условии что вектор поляризации направлен вдоль одной из осей. Действие матрицы Джонса на любой вектор поляризации можно разделить на два этапа. Сначала матрица фазовой задержки действует на вектор Джонса падающей волны, причем для света, линейно поляризованного вдоль одной из главных осей, действие этой матрицы приводит только к фазовому сдвигу светового пучка, а состояние его поляризации сохраняется неизменным. Затем матрица R (ф) поворачивает вектор Джонса на угол ф. В случае линейно поляризованного света такой поворот приводит к тому, что вектор поляризации оказывается параллельным главной оси на выходной грани пластинки. Таким образом, если падающий пучок света поляризован вдоль направления нормальных мод во входной плоскости (г = 0), то вектор поляризации световой волны будет отслеживать вращение главных осей и оставаться параллельным локальной медленной (или быстрой) оси, при условии что коэффициент кручения мал. Это явление называется адиабатическим отслеживанием и имеет важные применения при создании световых затворов на жидких кристаллах. Ниже мы рассмотрим принцип работы таких световых затворов. [c.158]

Нормальные моды невозмущенной диэлектрической среды представляют собой линейно-поляризованные плоские волны. Мы ограничимся рассмотрением волн, распространяющихся лишь в направлении Z. Таким образом, нормальные моды — это х-поляризован-ная плоская волна е и -поляризованная плоская волна е с волновыми числами соответственно А , а к2, причем [c.207]

Используя выражения, полученные в случае фазовой модуляции при n — 2, можно также прийти к выражениям (7.4.38). Таким образом, падающий световой пучок поляризован вдоль невозмущенной главной оси d,. При наличии возмущения новые нормальные моды для случая и, = поляризованы в направлениях, которые составляют угол 45° с невозмущенными осями (см. первый пример в разд. 7.2). Падающую оптическую волну можно представить в виде линейной суперпозиции новых нормальных мод [c.274]

В разд. 7.3 мы кратко рассмотрели электрооптическую модуляцию света в z-срезе пластинки из KDP (поверхность пластинки перпендикулярна с-оси кристалла). Принцип действия здесь основан на изменении эллипсоида показателей преломления под действием внешнего электрического поля. При распространении линейно-поляризованных нормальных мод через такую пластинку показатель преломления будет зависеть от напряженности поля. Очевидно, что фазовый сдвиг этих нормальных мод при прохождении через кристалл зависит от показателя преломления. После прохождения в кристалле расстояния L волна претерпевает следующий фазовый сдвиг благодаря наложенному электрическому полю [c.297]

Рассмотрим некоторые детали электрооптического эффекта нз примере исходно одноосного и исходно изотропного кристаллов [1.24, 1.25]. В одноосном кристалле плоскую световую волну с произвольным направлением распространения и направлением линейной поляризации можно представить в виде суперпозиции двух так называемых нормальных мод. Эти моды являются волнами с взаимно-перпендикулярной поляризацией, и каждая из них распространяется по кристаллу со своим показателем преломления. Одной из нормальных мод является такая волна, поляризация которой одновременно перпендикулярна и к оптической оси, и к направлению распространения волны. Эта волна называется обыкновенная , и ей соответствует обыкновенный показатель преломления п . Вторая мода, после того как определена обыкновенная волна, уже находится однозначно и называется необыкновенная . Ей соответствует необыкновенный показатель преломления п . Заметим, что Пд одинаков для всех обыкновенных волн в кристалле, а п е зависит от направ- [c.14]

Здесь п — главные показатели преломления. Эллипсоид показателей преломления, называемый также оптической индикатрисой , можно использовать для определения двух показателей преломления (/2 1 и/ з), связанных с двумя независимыми линейно поляризованными плоскими волнами, которые могут распространяться вдоль произвольного направления 8 в кристалле. Для этого нужно найти эллипс, образующийся при пересечении плоскости, перпендикулярной 8 и проходящей через начало координат, с эллипсоидом индексов. Две полуоси построенного таким образом эллипса равны показателям преломления /I, и 2 двух нормальных мод. Эти же оси оказываются также параллельными направлению векторов О, 2 двух мод. Электрические поля Е, 2 параллельны нормалям к эллипсоиду показателей преломления — в точках его пересечения с осями эллипса. [c.40]

Мы, однако, покажем, что для двух степеней свободы и при линейных уравнениях движения наиболее общее движение является суперпозицией двух независимых простых гармонических движений, происходящих одновременно. Эти два простых гармонических движения (описаны ниже) называются нормальными или собственными колебаниями или гармониками, а также нормальными модами колебаний или просто модами ). [c.31]

При аналитическом исследовании этой модели естественно использовать нормальные моды колебаний линейной системы (Р = 0), что было сделано в ряде работ (см., например, [135, 208]). С помощью преобразования [c.406]

Таким образом, если среда, заполняющая резонатор, обладает дисперсией, то даже при эквидистантном спектре к плотность нормальных мод в различных участках спектра будет различной. Это дает один из способов измерения дисперсионных свойств одномерных сред, особенно ценный, например, при исследовании цепочек линейных полимеров. Допустим, мы смогли равномерно возбудить все степени свободы цепочки, тогда снятый экспериментально спектр ее колебаний будет просто суперпозицией плотностей спектральных распределений, соответствующих различным дисперсионным ветвям. Для каждой ветви плотность спектрального распределения (плотность числа осцилляторов) вводится формулой [c.85]

Как и при описании колебаний молекулы, можно ввести нормальные координаты, являющиеся линейными комбинациями смещений отдельных ионов, и, как и в случае молекулы, нормальные координаты преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы, в данном случае по представлениям группы трансляций. Так как представления этой группы одномерны и определяются заданием волнового числа к, мы можем связать с каждой нормальной модой волновое число к, относящееся к неприводимому представлению, по которому эта мода преобразуется. [c.63]

Физическая природа найденных мод совершенно ясна и схематически проиллюстрирована на фиг. 19, а. Нормальным модам колебаний соответствует распространение вдоль линейной цепочки волн сжатия. Следует ожидать, что при больших длинах волн скорость распространения нормальных колебаний постоянна и равна скорости распространения продольных звуковых колебаний по цепочке. Мы полагаем, следовательно, что в этом случае частота пропорциональна волновому числу к. Однако число нормальных мод ограничено тем, что волновое число должно лежать в зоне Бриллюэна, и поэтому существует лишь конечное число нормаль- [c.64]

При г - 0 третье слагаемое обращается в нуль, но в отличие от классического результата (22.18) остается не только энергия равновесной конфигурации, но и второе слагаемое, определяющее энергию нулевых колебаний нормальных мод. Вся зависимость и от температуры (а следовательно, и весь вклад в теплоемкость) содержится в третьем слагаемом, изменение которого с температурой гораздо сложнее простой линейной пропорциональности, предсказываемой классической теорией. В квантовой теории гармонического кристалла удельная теплоемкость уже не постоянна, а описывается выражением [c.82]

Использование плотности уровней позволяет весьма компактно сформулировать приближение Дебая и его ограничения. Если все три ветви спектра характеризуются линейным законом дисперсии (23.21) и если волновые векторы нормальных мод считать лежащими в сфере радиусом /Сд, а не в первой [c.92]

Это противоречит полученному в гл. 22 выводу, согласно которому в пределе больших длин волн частоты нормальных мод моноатомной решетки Бравэ должны стремиться к нулю линейно по к. Прежний результат неприменим вранном случае потому, что приближение (22.64), приводящее к линейному выражению для О) (к) при малых к, справедливо только в том случае, когда сипы взаимодействия между ионами, расположенными на расстоянии К друг от друга, пренебрежимо малы при Я порядка 1/й . Но сила, пропорциональная обратному квадрату расстояния, столь медленно спадает с расстоянием, что, каким бы малым ни был волновой вектор к, взаимодействие ионов, находящихся на расстоянии К Пк, может вносить существенный вклад в динамическую матрицу (22.59) ). И тем не менее совершенно ясно, что фононный спектр металлов содержит ветви, в которых ш стремится к нулю линейно по к. Это непосредственно видно из данных по рассеянию нейтронов и следует из того, что в удельной теплоемкости металлов ) имеется член, пропорциональный Г , который характерен для подобной линейной зависимости ). [c.139]

Ангармонический член п-го порядка по смещениям ионов и, согласно (М.14), можно выразить через операторы рождения и уничтожения а и для нормальной моды колебаний. Такой член записывается через линейные комбинации произведений, включающих в себя т операторов уничтожения к , [c.387]

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (нормальные моды), собственные (свободные) гармонич. колебания линейных динамич. систем с пост, параметрами, в к-рых отсутствуют как потери, так и приток извне колебат. энергии. Каждое Н. к. характеризуется определ. значением частоты, с к-рой осциллируют все элементы системы, и формой — распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые И. к., отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, наз. вырожденными. Частоты Н. к. наз. собственными частотами системы. [c.470]

Связь между со и определяет дисперсионные свойства Н. в. и, как правило, является неоднозначной — одному значению соответствует набор Н. в. с разными частотами. Н. в., частоты и волновые числа к-рых принадлежат отд. непрерывной дисперсионной ветви многозначной ф-ции со = т к , относятся к одной нормальной моде системы (или просто моде). Моды различаются либо амплитудными и поляриаац. структурами полей, либо физ. природой процессов. В случаях вырождения одной дисперсионной ветви соответствует неск. линейно независимых мод, их число наз. кратностью вырождения. Возможна также вырождения Н. в. при фиксир. значениях со и к , соответствующих точкам пересечения или касания дисперсионных ветвей. [c.361]

Поскольку это взаимодействие содержит элементы, недиагональные по индексам нормальных мод, приходим к важному выводу о том, что при электронном возбуждении примеси изменяется система нормальных координат твердого раствора. Поэтол1у многомерные франк-кондоновские интегралы перекрьтания не являются произведением одномерных, как это было в случае линейного F -взаимодействия. 1Свадратичное F -взаимодействие приводит не только к изменению нормальных координат, но и к изменению спектра фононных частот. Спектр фононных частот в основном и возбужденном электронном состоянии оказывается разным. Это резко усложняет расчеты по сравнению со случаем линейного F -взаимодействия, которое не изменяет ни того ни другого. [c.138]

Для решения одномерной задачи переноса излучения может быть использован метод разложения по собственным функциям (нормальным модам), Предложенный Кейсом [1] в 1960 г. для строгого решения одномерного уравнения переноса нейтронов. В этом методе решение уравнения переноса излучения записывается в виде линейной суммы собственных функций для однородной части уравнения переноса излучения и частного решения неоднородного уравнения. Неизвестные коэффициенты разло жения, фигурирующие в решении однородного уравнения, опрег деляются таким образом, чтобы полное решение удовлетворяло граничным- условиям задачи при этом используются свойство ор.тогональности собственных функций и различные интегралы нормировки. Данный метод аналогичен классическому методу разложения по ортогональным функциям. [c.378]

Это биквадратное уравнение относительно неизвестной п следовательно, оно имеет две пары решений п и п2- Вырождение по знаку ( ) тривиально и является следствием возможности распространения волны в противоположных направлениях. Существование же двух, не равных по модулю, решений означает, что в одном и том же направлении 8 могут распространяться две различные плоские волны с разными фазовыми скоростями с/л, и с/л 2 Можно показать, что обе эти волны линейно-поляризованы и их направления поляриза-ВД1И (т. е. направления вектора Е) взаимно перпендикулярны. Таким образом, для любого направления 8 в анизотропной среде две плоские волны (нормальные моды) могут распространяться, чувствуя каждая свой показатель преломления п или П2- [c.39]

Полный гамильтониан (3 = Жо + 5( 1), если взять в приближении (В.36), может быть легко днагонализован путем линейного преобразования к нормальным модам введем нормальные координаты х и Ха следующим образом [c.722]

N нормальных мод вида (22.25), отвечающих N разрешенным значениям к. Кроме того, частота со к) остается линейной по к при к, малых по сравнению с п/а, и удовлетворяет равенству d oldk = О при к — л а ). [c.62]

Третье из этих замечаний означает, что формулы для излучения черного тела всегда соответствуют по своему виду пределу крайне низких температур для кристаллов. Это вполне разумно, поскольку у подавляющего большинства (бесконечно большого числа) нормальных мод поля излучения величина Нек больше квТ, какой бы высокой ни была температура. В сочетании с точной линейностью по к закона дисперсии фотонов отсюда следует, что мы всегда находимся в области, где теплоемкость строго кубична. Поэтому мы можем получить точную формулу для плотности тепловой энергии излучения черного-тела, воспользовавшись выражением (23.20) для низкотемпературной удельной теплоемкости = duloT, связанной с колебаниями решетки. Для этого достаточно считать с скоростью света и умножить выражение (23.20) на Vg (чтобы исключить вклад продольной акустической ветви). В результате получаем закон Стефана — Больцмана [c.95]

Лумис [277] разработал методику определения нормальных мод для гаваней нерегулярной формы с переменной глубиной и применил эту методику для некоторых заливов и гаваней о. Гавайи. Он взял за основу линейное уравнение для мелкой воды (4.16). [c.185]

В предыдущем разделе были определены моды нормальных колебаний одномерной моноатомной решетки Бравэ. Рассмотрим теперь продольные колебания атомов одномерной решетки с базисом, когда на линейную элементарную ячейку Бравэ с параметром 2а приходится два атома. Предположим, что вдоль пря-Moi i линии располагается /V ячеек. Такая система обладает 2.V степенями свободы. При решении задачи о колебаниях атомов В такой системе возможны две модели цепочки, использование каждой из которых, в конечном итоге, приводит к с)дним и тем же результатам. Первая модель — двухатомная линейная цепочка [c.151]

Выше было сказарю, что для описания закономерностей распространения усталостных трещин (РУТ) широко используются подходы линейной механики разрушения. В обпдем случае раскрытие трещины в твердом теле может быть осуществлено тремя путями (модами) при нормальных напряжениях возникает трещина типа "отрыв" (тип I) при плоском сдвиге образуется трещина типа И, или трещина типа "сдвиг" трещина типа "срез", или типа III, образуется при антиплоском сдвиге (рис. 30). [c.51]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

В линейных консервативных С. с р. п., где потерн энергии (в т. ч. и на излучение) и притоки её извне отсутствуют, произвольное движение сводится к бесконечному, но счётному множеству нормальных колебаний, каждое из к-рых можно интерпретировать как состояние нек-рой системы с сосредоточенными параметрами (в том смысле, что нормальное колебание, как и эта система, описывается с помощью обыкновенных дифф енц. ур-ний). В неконсервативиых и нелинейных С. с р. п. такое двойственное описание, вообще говоря, невозможно. Подробнее см. в ст. Колебания, Волны, Автоколебания, Нормальные колебания, Моды. [c.535]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...