Делонэ

Случай одной степени свободы. Продолжим начатое в п. п. 177-179 изучение некоторых вопросов, связанных с интегрированием консервативных и обобщенно консервативных систем. Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Для таких систем Делонэ предложил специальный выбор постоянных импульсов а (г = 1, 2,..., п) в характеристической функции Гамильтона п. 178. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Они называются действиями (точные определения см. далее) и ниже чаще всего будут обозначаться /. Канонически сопряженные к ним координаты wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол wi весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [c.371]

Чтобы понять сущность метода Делонэ, целесообразно сначала рассмотреть случай системы с одной степенью свободы. Фазовое пространство такой системы является двумерной плоскостью р, и периодические движения могут быть двух различных типов. [c.371]

Как видим, метод Делонэ позволяет получить все частоты движения путем изучения функций Н и при этом не требуется полное исследование движения системы. [c.381]

Элементы Делонэ. Введем новые переменные /, wi i = 1, 2, 3), имеющие более ясный геометрический и механический смысл, нежели переменные 1г 1<р 1в Wr wq. Для этого сделаем замену переменных по формулам [c.385]

Введенные канонически сопряженные переменные Д, /25 wi, W2, W3 называются каноническими переменными Делонэ или кратко, элементами Делонэ. Следуя Делонэ, для них часто используются обозначения G, L, /г, g, I (не путать обозначения L, h элементов Делонэ с обозначениями функций Гамильтона, Лагранжа и константы интеграла энергии ). Элементы Делонэ связаны с обычными элементами орбиты П, г, а, е, j, т следующими получаемыми из (68)-(72) соотношениями [c.386]

В переменных Делонэ функция Гамильтона задачи двух тел записывается в виде [c.387]

Первая система элементов Пуанкаре Л, Г, Z, Л, 7, 2 связана с элементами Делонэ при помощи унивалентного канонического преобразования вида [c.387]

Теоремы Делонэ-Бертрана и Томсона 451 [c.451]

Теорема Делонэ-Бертрана. Рассмотрим систему материальных точек Ру = 1, 2,..., 7V) с идеальными обратимыми связями. Первоначально она покоится, но в некоторый момент внезапно приводится в движение заданной системой ударных импульсов 1 . В результате удара точка получает скорость а система приобретает кинетическую энергию Наложим теперь на систему новые дополнительные связи, также идеальные и обратимые. Тогда точки Р системы под действием тех же импульсов 1 приобретают, вообще говоря, другие скорости а система — кинетическую энергию [c.451]

Теорема (Делонэ-Бертрана). Если точки материальной системы получают заданные импульсы то кинетическая энергия в возникающем движении будет больше, чем кинетическая энергия, которую приобрела бы система при тех же импульсах, если бы к первоначальным связям системы были добавлены новые связи. [c.451]

Содержание теоремы Делонэ-Бертрана можно выразить еще следующим образом. Рассмотрим кинематическое состояние системы после действия заданных ударных импульсов как одно из кинематических состояний системы с увеличенным числом связей. Тогда среди бесконечного множества таких состояний системы истинное послеударное кинематическое состояние выделяется тем, что для него кинетическая энергия имеет максимальное значение при тех же импульсах. [c.452]

Пример 2. Определим при помощи теоремы Делонэ-Бертрана послеударное кинематическое состояние стержня в примере 2 п. 196. [c.452]

Мысленно наложим на стержень новую связь, шарнирно закрепив его в точке, лежащей слева от центра масс стержня на расстоянии х от него (рис. 146). Согласно теореме Делонэ-Бертрана, истинное положение мгновенного центра скоростей после удара найдется из условий максимума кинетической энергии как функции х при заданной величине импульса I. [c.452]

Поэтому теореме Делонэ-Бертрана можно дать такую формулировку кинетическая энергия, сообщаемая системе с идеальными обратимыми связями заданными импульсами есть максимум при условии (3). [c.453]

Пример 3 (См. также п. 198). К покоящемуся свободному твердому телу приложены ударные импульсы с главным вектором и главным моментом относительно центра масс тела. Определим кинематическое состояние тела после удара при помощи теоремы Делонэ-Бертрана. [c.453]

Теорема Томсона. Как мы видели в предыдущем пункте, теорема Делонэ-Бертрана позволяет свести задачу об импульсивном движении системы с идеальными обратимыми связями к задаче о нахождении максимума некоторой функции. Теорема Томсона, изучаемая ниже, сводит задачу об импульсивном движении к рассмотрению некоторого минимума. [c.454]

Теореме Томсона можно дать истолкование, близкое по форме к данному в предыдущем пункте истолкованию теоремы Делонэ-Бертрана. Будем рассматривать послеударное кинематическое состояние системы, заданным точкам которой сообщены заданные скорости, как одно из послеударных состояний системы с увеличенным числом связей. Тогда среди бесконечного множества таких состояний истинное послеударное состояние выделяется тем, что оно дает наименьшую кинетическую энергию при тех же скоростях заданных точек системы. [c.457]

Сравнив теоремы Делонэ-Бертрана и Томсона, получим, что если заданы ударные импульсы, приложенные в данных точках системы, то послеударное состояние системы может быть найдено при решении задачи максимума кинетической энергии, если же заданы скорости точек приложения импульсов, то послеударное состояние находится как решение задачи минимума кинетической энергии при добавлении новых связей. [c.457]

Эта задача рассмотрена в предыдущем пункте при помощи теоремы Делонэ-Бертрана. Здесь используем аналогичный подход. На стержень мысленно наложим связь, закрепив его при помощи шарнира в точке, отстоящей от центра масс О на расстоянии х. Тогда послеударная угловая скорость задается равенством и = уЩ—. Момент [c.458]

Элементы орбиты Делонэ 385 [c.569]

Такое преобразование в канонически уравнениях возмущенного движения впервые выполнил Делонэ в своей классической работе по теории движения Луны ), который ввел для этой цели новые канонические элементы, называемые теперь обычно элементами Делонэ. [c.691]

Чтобы привести опять всю систему к каноническому виду, заменим также переменную 1 новой переменной, которую обозначим, согласно Делонэ, через I, полагая [c.692]

Остальные четыре уравнения системы (13.47) не изменятся, но в них функцию Н можно, очевидно, заменить на Р, так что вся система будет иметь единую характеристическую функцию. Введем теперь, следуя Делонэ, новые обозначения, полагая [c.692]

Величины (13.56 ) называются каноническими переменными Делонэ или, более кратко, элементами Делонэ. Эти элементы связаны с элементами Якоби формулами (13.48), (13.52) и (13.55), откуда с помощью формул (13.46 ) легко получим соотношения, связывающие элементы Делонэ с обычными кеплеровскими элементами эллиптического движения [c.693]

Из этих соотношений получим также обратные формулы, выражающие кеплеровские элементы через элементы Делонэ 2 [c.693]

Примечание. Переход от элементов Якоби к элемента. Делонэ может быть осуществлен независимо от того, входит ли время I явно в возмущающую функцию или нет. [c.693]

Канонические элементы Делонэ были введены для того, чтобы в правых частях дифференциальных уравнений возмущенного движения, определяющих оскулирующие элементы, не было членов, пропорциональных времени. [c.693]

Для приближенного интегрирования уравнений возмущенного движения в элементах Делонэ или в элементах Пуанкаре нужно прежде всего выразить характеристическую функцию Р через время и сами элементы, что можно сделать, как мы уже знаем, только при помощи разложений характеристической функции в бесконечный ряд. [c.697]

Так как характеристическая функция Р состоит из двух слагаемых, второе из которых есть возмущающая функция Я, задаваемая как функция от координат х, у, г, то прежде всего нужно выразить эти координаты через переменные Делонэ или элементы Пуанкаре. [c.697]

Переходя теперь от элементов Якоби к элементам Делонэ, мы получим уравнения возмущенного движения соответственно [c.709]

В случае малых эксцентриситетов или малых наклонов, вместо элементов Делонэ, следует пользоваться каноническими элементами Пуанкаре. Первая система элементов Пуанкаре определяется формулами [c.564]

Это — канонические уравнения в переменных Делонэ, которые использовались им в его теории Луны. Канонические уравнения рассматриваются дальше в гл. ХУП. [c.253]

Из предшествующего примечания следует, что она всегда бывает максимумом. Это было впервые установлено Делонэ (Delaunay), который доказал его совершенно иным путем (Journal de Liouville, серия I, т. V, стр. 255). (Прим. Бертрана ) [c.376]

Для интегрирования уравнений (13.56) мы должны, как уже было замечено, выразить характеристическую функцию через элементы Делонэ (13.56 ), что приводит к ряду вида (13.49), коэффициенты которого зависят от величин С и Я. Эта зави симость достаточно сложная, так что коэффициенты тригоно- метрического ряда также приходится разлагать в ряды. [c.694]

В силу разложений координат эллиптического кеплеровского [движения эти ряды будут являться степенными относительнс эксцентриситета и наклонности оскулирующей орбиты, которые выражаются через элементы Делонэ формулами (13.57 ), вслед-] ствие чего упомянутые ряды будут иметь весьма сложнун I структуру. [c.694]

Пуанкаре указал, что вместо элементов Делонэ можяс I ввести другую систему элементов, которые также являются каноническими, но более удобными для приближенных вычис- лений, связанных с употреблением степенных рядов ). [c.694]

По-видимому, бросается в г.таза отсутствие дифференциального уравнения Гамильтона —Якоби с частными производными в его обычной форме, имеющей особое значение для решения проблем, которые допускают разделение переменных. Мы предпочитаем подчеркнуть преимущества более общей формы этого уравнения, предложенной Цейпелем, которая была специально задумана, чтобы служить фундаментом мощного метода теории возмущений. Этот метод содержит метод Делонэ как частный случай. Лица, интересующиеся другими аспектами этого вопроса, найдут многочисленные дополнительные сведения в Аналитической динамике Уиттекера и других руководствах. [c.8]

Введение. Слово теория употребляется в небесной механике для обозначения некоторого математического выражения, из которого можно получить координаты небесного тела как функции времени. Существуют теории двух типов — специальные и общие. Специальной теорией является такая теория, которая дает координаты только для частных значений времени численное интегрирование уравнсни гелиоцентрического движения кометы пли планеты является примером специальной теории. В общей теории время изображается символом, вместо которого по желанию можно подставить любое значение и получить координаты для соответствующей даты поэтому общая теория не может быть целиком численной по форме. Она может быть целиком аналитической, как, например, теория Луны Делонэ, которая выражает координаты в виде функций от семи символов, соответствующих шести элементам орбиты и иремени либо она может быть частично аналитической и частично численной, как, напрпмер, теория Луны Брауна, в которой вместо некоторых элементов подставлены численные значения. Имеются также общие теории, в которых численные значения подставляются вместо всех элементов, и единственной величиной, обозначенной символом, является время, напрпмер, теория Юпитера Хилла такие теории обычно, хотя и несколько неточно, называются числениы.ми общи.ми теориями. [c.178]

В статье Гарфинкеля о матрицах возмущений небесной механики (Astron. J., 51, 44, 1944) в качестве отправного пункта используются уравнения Делонэ, а затем изящным и доходчивым способом получаются матрицы уравнений для кеплеровых алементов как в форме Лагранжа, так и в форме Гаусса. [c.267]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...