Бесконечно малые деформации в упругом изотропном теле

Бесконечно малые деформации в упругом изотропном теле 211 [c.211]

Следовательно, у ньютоновской жидкости вязкость при растяжении втрое больше сдвиговой вязкости и не зависит от скорости удлинения. Как показывает сравнение, зависимость (5.12) аналогична соотношению между модулем Юнга и модулем сдвига для изотропного несжимаемого упругого тела в области бесконечно малой деформации, например для эластомера (ср. формулы (4.21) и (4.25) из главы 4). Аналогия между каучукоподобным твердым телом и ньютоновской жидкостью, не ограниченная частным типом деформации, весьма полезна и плодотворна. Ее формализм особенно хорошо подходит для демонстрации аналогии и будет нами использован в дальнейшем анализе механического поведения эластичных жидкостей. [c.133]

Соотношения (3.132) представляют собой обычный закон Гука, записанный в скоростях напряжений и деформаций. Очевидно, что таким образом можно записать закон бесконечно малого деформирования в окрестности произвольной конечной деформации любого несжимаемого упругого тела, однако модуль Юнга будет, вообще говоря, зависеть от величины конечной деформации (точнее говоря, от трех инвариантов тензора деформации, так как тело считается изотропным). Предположение о постоянстве Е означает, что реакция выбранной модели упругого тела на малые возмущения не зависит от величины конечной деформации. [c.105]

Если Ио — однородная конфигурация однородного тела, то X в общем случае не обязательно будет таковой. Точнее, если градиент Ро деформации из ио в и неоднороден,. то тензор упругости Ь, определяемый формулой (5), в общем случае будет функцией от X, даже если 1 не является функцией от X. Если Ио —неискаженная конфигурация упругого твердого тела, то, очевидно, и в общем случае не будет таковой, что также ясно, из (5). Если Ио — естественная конфигурация, так что выполняется (IX.3-1), то в общем случае и не будет естественной конфигурацией, и тензор напряжений Т — То, соответствующий бесконечно малой деформации из конфигурации и, зависит не только от меры деформации Ё, но также и от поворота Й. Эти простые и очевидные факты иногда излагают так, что это ведет к заблуждению. Говорят, например, что сильно деформированное упругое тело теряет свою однородность, изотропность и т. д. или даже что оно не является больше упругим . [c.302]

В ТОМ нестрогом смысле, который ясен из этого упражнения, говорят, что изотропные материалы являются гиперупругими при бесконечно малой деформации Легко предъявить определяющие соотношения, задающие специальные изотропные упругие твердые тела, которые не являются гиперупругими. Действительно, как показывает следующее упражнение, членов второго порядка уже достаточно для того, чтобы выявить это различие. [c.364]

В главе 8 было показано, что соотношения напряжение — деформация для изотропного абсолютно упругого твердого тела приводятся к виду (8.26) в компонентах телесных полей в случае деформации малой в том смысле, что телесные компоненты деформации (8.22) бесконечно малы. Выведем соответствующие уравнения для компонент пространственных полей. Воспользуемся градиентами вектора смещений и определяемыми уравнением [c.420]

Как мы увидим в IX. 3, при бесконечно малой упругой деформации из естественной конфигурации простой сдвиг может быть вызван приложением пропорционального ему напряжения сдвига э том же направлении. При конечной деформации изотропного упругого тела такое простое описание эффектов уже невозможно, поскольку одно лишь напряжение сдвига никогда не может произвести простой сдвиг. [c.276]

Как мы установим в упр. IX. 3.2, в классической теории бесконечно малых упругих деформаций статическая деформация изотропного упругого тела, подвергнутого действию одних усилий на границе, описывается уравнением Навье [c.280]

Выше на рис. 3.128 я дал несколько сравнений. Наиболее интересным здесь фактом, если не касаться завершения исследования квантованной структуры значений в нулевой точке модулей изотропных элементов, было то, что из экспериментов при конечных деформациях этих тел (которые будут описаны в следующей главе см. часть И), я нашел, что температурная зависимость модулей при очень больших деформациях линейная, коэффициентом в которой является выражение вида (1—Т/Тт)- Модуль упругости при сдвиге при бесконечно малых деформациях также линейно зависит от температуры в этой линейной зависимости имеет место другое выражение коэффициента, а именно, (1—Т12Тп)- Это различие имеет интересный и, может быть, серьезный смысл для атомных теорий, от параметров которых при отыскании конечных деформаций на основе дислокационных моделей зависит модуль упругости при сдвиге. [c.522]

Мы изложили здесь в самых общих чертах вывод основных уравнений математической теории изотропного упругого тела, подвергнутого бесконечно малой деформации. Необходимо, по крайней мере вкратце, отметить, что некоторые материалы, хрупкие или обладающие пористой структурой с мягкими и слабыми включениями (чугун, бетон), но следуют линейным зависимостям между напряжениями и деформациями, выраженным уравнениями (25.2), (25.3) или (25.14). Кривая простого растяжения или сжатия для таких материалов в пределах малых деформаций состоит из двух сегментов—одного Qx f ( х) для стадии нагрузки и другого, с более крутым уклоном d x d x> для разгрузки. Эти материалы обнаруживают обычно весьма заметный упругий гистерезис с характерными для него петлями в кривых деформирования иод иеременными циклами нагрузки и разгрузки (гл. 1П). Делались разнообразные попытки использовать аппарат математической теории упругости также и для этих материалов, соответствеппо его обобщив. Поскольку такие материалы обнаруживают отчетливые изменения объема, то в определенных случаях представляется достаточным принять для них линейную зависимость между малым упругим изменением объема [c.445]

Ограничивая класс рассматриваемых материалов, можно расширить кяасс универсальных деформации, как это видно иа примере теории упругости при бесконечно малых деформациях. Поэтому естественно поставить вопрос, могут ли деформации, не входящие в только что упомянутые классы, быть универсальными решениями для всех однородных изотропных упругих тел. Для изохронного упругого тела, отнесенного к неискаженной конфигурации, согласно (VH.4-14), уравнение равновесия имеет в случае Ь = О вид [c.283]

Во второй части книги мы рассмотрим акустические волны в твердых телах, характеризующихся различными физическими свойствами — упругой анизотропией, пьезоэффектом, наличием носителей электрического заряда, магнитоупругостью, внутренней структурой и т. д. Однако, прежде чем переходить к изучению такого рода сложных систем, естественно ознакомиться с наиболее простым случаем — классическим идеально упругим изотрот ым твердым телом (диэлектриком). Под идеально упругим будем подразумевать твердое тело, в котором отсутствуют пластические деформации. Иными словами, при снятии силовой нагрузки тело приходит в первоначальное состояние (отсутствие механического гистерезиса). Феноменологически такое тело может быть описано в рамках теории упругости — хорошо разработанного раздела механики сплошных сред (см., например, 1]). Ниже приведены основные сведения из теории упругости, необходимые для понимания дальнейшего изложения. Несмотря на то, что в настоящей главе мы ограничимся рассмотрением волн бесконечно малой амплитуды в рамках линейной акустики, Б целях методического единства здесь приведены и некоторые сведения из нелинейной теории упругости изотропных твердых тел. [c.188]

В дальнейшем ограничимся при решении задач лишь случаем изотропного тела. Этот случай имеет большое практическое значение. Такие материалы, как литое железо и сталь, по их свойствам в пределах упругости можно без значительных погрешностей принимать за изотропные. Зависимость между напряжениями и деформациями в этом слзгчае выражается посредством двух упругих постоянных, и мы ее без затруднения устцровим, если сделаем следующее вполне естественное допущение. Положим, что в случае изотропного материала направления главных напряжений совпадают в каждой точке с направлениями главных деформаций и, следовательно, угол между двумя взаимно перпендикулярными площадками искажается лишь в том случае, если есть соответствующие касательные напряжения. Выделим из тела плоскостями, нормальными к главным напряжениям, бесконечно малый прямоугольный параллелепипед. В силу сделанного допущения углы этого параллелепипеда при деформации не искажаются и полное изменение формы выделенного элемента определяется тремя главными деформациями вхх, вуу и е (координатные оси х,у, г направим параллельно главным напряжениям в рассматриваемой точке). Соответствующие им напряжения будут Хх, У у и Согласно обобщенному закону Гука каждая из составляющих напряжения представляется линейной функцией составляющих деформации. Например, Хх можно представить в таком виде [c.45]

Как уже отмечалось, применение закона, Гука к однородному изотропному упругому телу предполагает, что среда обладает одинаковой сопротивляемостью в любом направлении. Этим свойством в действительности обладают упругие тела, все три размер-ности которых имеют примерно одинаковый порядок, и то, вообще говоря, в достаточном отдалении от границы (к таким телам относятся, например, шар, куб, цилиндр конечных размеров и т. п.). В таких телах две одинаковые системы сил, действующие в разных направлениях, вызывают в каждом направлении деформацию одинакового характера. Это свойство, как правило, в случае тонких оболочек глобально не соблюдается. Простые эксперименты показывают, что степень сопротивляемости деформации тонких оболочек, обычно применяемых в технических конструкциях, в поперечном направлении явно слабее, чем в продольных направлениях. Например, всякое тонкое упругое тело сравнительно легко гнется и изгибается. Приложенные к таким телам продольные силы сжатия, если они по величине превосходят некоторое критическое значение, могут вызвать изгибания конечного порядка, хотя деформации в продольных направлениях остаются бесконечно малыми. В связи с этим следует заметить, что изгибные деформации часто осуществляются под действием продольных сил. Действие поперечных сил, очевидно, вызывает кроме изгибгяий также деформацию в продольных направлениях, но, как правило, бесконечно малые продольные растяжения и сжатия. Иначе говоря, тонкие упругие оболочки являются гораздо более гибкими относительно изгибаний и менее податливы растяжениям и сжатиям в продольных направлениях. Благодаря этому часто вовсе пре-небрегают последними и составляются уравнения, определяю- [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...