Принцип минимума свободной энергии

Простое нагружение. Решение большого класса задач механики твердого тела может быть найдено при использовании принципа минимума свободной энергии тела, реализуемого с помощью метода конечных элементов. [c.37]

Повышение плотности состояний коллективизированных s-электронов, распределенных внутри шарового слоя при переходе от щелочных (s ) к щелочноземельным (s ) металлам, подавляет перекрывание р -оболочек и ведет к стабилизации плотных упаковок сферически симметричных остовов. Принцип минимума свободной энергии требует при этом максимального числа металлических связей, что отвечает стабилизации плотных упаковок К = 12) за счет ОЦК (/С = 8). [c.37]

Образование каждой связи происходит с выделением энергии, поэтому из принципа минимума свободной энергии наиболее устойчивой будет структура, в которой каждый атом кальция образует такие металлические связи с максимальным числом соседей (рис. 30, а). Следовательно, энергетически наиболее устойчивой будет плотнейшая упаковка, где каждый атом образует со своими ближайшими соседями 12 металлических связей К = 12). Действительно, из щелочноземельных металлов (s ) а-Са и a-Sr имеют плотную кубическую структуру, а а-Ве, P-Sr — плотную гексагональную. Если перекрываются только внешние валентные s -обо-лочки, то неплотная ОЦК структура Ki — 8) будет неустойчива, так как в ней каждый атом будет связывать на четыре атома меньше, чем в ГЦК К = 12), и свободная энергия ОЦК решетки будет больше. Следовательно, перекрытие s-орбиталей не может привести к появлению ОЦК структур. [c.65]

Принцип минимума свободной энергии. Пусть Т — удельная свободная энергия упругого тела, так что (см. 2.30) [c.450]

Границы фаз в сплавах. Воспользовавшись принципом минимума свободной энергии, можно получить уравнение, определяющее границы фаз в сплавах. Рассмотрим для этого две фазы а и бинарного сплава металлов А к В. Необходимым условием термодинамического равновесия двух фаз, очевидно, является неизменность свободной энергии всей системы при переносе части атомов из одной фазы в другую. [c.525]

В ангармоническом случае при повышении температуры среднее положение осциллятора сдвигается, как показано на фиг. 2.2. Имея это в виду, применим к задаче об ангармоническом осцилляторе упомянутый выше принцип минимума свободной энергии, который формулируется следующим образом [c.65]

Изучаемая нестационарная открытая система первоначально не находится в равновесии со своим термостатом ее эволюция направлена в сторону достижения частичного равновесия системы с термостатом. С учетом того, что эволюцией системы управляют потенциалы (термодинамические силы), характеризующие состояние системы, Г.П. Гладышев [2] использовал для анализа открытых систем удельную величину функции Гиббса, отнесенную к единице объема или массы. Напомним, что в соответствии с функцией Гиббса движущей силой процесса для закрытых систем при постоянных температуре и давлении является стремление системы к минимуму свободной энергии (максимуму энтропии), если в системе не совершается никакая работа кроме работы расширения [17]. Гиббс предвидел широкие возможности термодинамики для решения различных задач, сделав следующие предсказания ...Несмотря на то, что статистическая механика исторически обязана возникновением исследованиям в области термодинамики, она, очевидно, в высокой мере заслуживает независимого развития как вследствие элегантности и простоты ее принципов, так и потому, что она приводит к новым результатам и проливает новый свет на старые истины в областях, совершенно чуждых термодинамике . [c.21]

В длинных трубах можно предполагать существование такого предела, к которому стремится радиус свободной поверхности при - Предел, к которому будет стремиться радиус свободной поверхности, как ниже будет показано, определяется на основе известного в литературе принципа минимума кинетической энергии, считавшегося эвристическим [56]. [c.97]

Как было указано в 5.2, условие прилипания жидкости к стенке в автомодельном турбулентном режиме не может быть использовано для определения радиуса свободной поверхности, потому что при изменении расхода радиус свободной поверхности не изменяется. Следовательно, его можно найти, пренебрегая прилипанием жидкости к стенке или, иначе, не учитывая тангенциальных сил на стенке, т. е. используя теорию цилиндрических вращающихся потоков, в пределах которой рассматривается вязкая жидкость в трубе с идеальной стенкой. В качестве дополнительного условия будем использовать принцип минимума кинетической энергии [56]. В [56] бьша подтверждена практическая полезность этого принципа, но он был квалифицирован как эвристический вместе с принципом максимума расхода. [c.97]

В сверхкритическом состоянии может иметь место поле скоростей однородного винтового потока (5.18). Радиус свободной поверхности в подкритическом состоянии можно найти, используя принцип минимума кинетической энергии, так как поле скоростей (5.27), как частный случай поля скоростей (4.41), удовлетворяет условию равновесия (4.32). [c.105]

Затем, если энергия различных микроскопических конфигураций атомов известна, следует определить число микросостояний для данных значений полной энергии и отсюда — термодинамически наиболее устойчивое состояние системы, отвечающее минимуму свободной энергии. Эта задача в принципе не требует дополнительных допущений. Однако для упрощения расчетов приближения все же необходимы. [c.80]

В круглой пластине температура распределена по закону 6 (г). Поверхность диска предполагается свободной от усилий. Выведите с помощью принципа минимума дополнительной энергии уравнении для и Oq [c.252]

Выше бьшо показано, что, исходя из представлений о статистике роста больших совокупностей кристаллов и о стремлении этих совокупностей к минимуму свободной энергии, можно сформулировать общие принципы моделирования закономерностей роста таких совокупностей. Их применимость ограничивается только теми условиями роста, в которых преобладает нормальный механизм. Не исключено, что и при слоевом росте накопление дефектов в процессе роста приведет к частичному переходу к росту по нормальному механизму. Такой переход возможен [c.37]

Что касается числа п, то оно, в принципе, может быть любым. Однако довольно ясно, что надо взять п=1. Прежде всего, очевидно, что маленький вихрь может легче зародиться, чем большой, а потому нижнее критическое поле Я соответствует рождению наименьшего вихря. При больших полях вопрос решается условие.м минимальности свободной энергии. Из этого условия можно найти положения осей вихрей. Представим себе, например, что п = 2. Это соответствует двум слипшимся вихрям с п=1. Для установления положения оси вихря нам надо найти минимум свободной энергии по координатам оси, т. е. по точкам X, у ее пересечения с плоскостью, перпендикулярной магнитному полю (ось г). Но если бы вихри не слиплись, то мы имели бы возможность минимизировать й по Хг, у и х у , т. е. по большему числу переменных. Это в общем случае приводит к более низкому [c.357]

От принципа минимума потенциальной энергии это отличается лишь заменой П(е)на свободную энергию А. [c.123]

В качестве примера определения состояния равновесия по минимуму свободной энергии рассмотрим газ, находящийся в цилиндре при постоянной температуре. Подвижной поршень делит весь объем газа V на две части, имеющие соответственно объемы У, и 1 2 и давления Р, и Рз- Предположим, что поршень может свободно передвигаться по цилиндру, и постараемся определить его равновесное положение. В соответствии с только что установленным принципом минимальности свободной энергии при равновесии положение поршня должно быть таким, чтобы свободная энергия газа была минимальной. Предположим, что равновесие установилось. Тогда при небольших изменениях положения поршня свободная энергия не должна меняться, так как она минимальна, т. е. 6Л = 0. Но свободная энер- [c.34]

Определяя в соответствии с принципом аддитивности (см. 4, п. в) обсуждения IU2 начала) свободную энергию и число частиц для всей системы, запишем условие ее равновесия и устойчивости (минимум свободной энергии при фиксации величин в, Vj N) в виде Вариационной задачи с неподвижными фаницами (область V фиксирована) и дополнительным условием, обеспечивающим фиксацию N [c.100]

Согласно сказанному в разд. 3.1, будем считать, что для эффективно вязких турбулентных течений справедливы уравнения движения (5). Остается найти турбулентную вязкость. Для слабо неравновесных процессов известен [30] принцип минимума производства энтропии. В условиях изотермической свободной турбулентности нри моделировании турбулентных напряжений эффективно вязкими производство энтропии приближенно сводится к скорости диссипации энергии [c.217]

Физика явления изменения поверхностного натяжения очень сложна. Качественное объяснение изменения Т при стягивании и растягивании поверхности воды волнами основано на физическом принципе, согласно которому свободная энергия в состоянии термодинамического равновесия имеет минимум. Сле- [c.292]

Физический смысл описанного равновесия системы жидкость — пар (газ) может быть объяснен на основе принципа минимума полной свободной энергии. Согласно этому принципу йри устойчивой конфигурации жидкости полная свободная энергия поверхности минимальна. С учетом (15.96) полная свободная энергия поверхности [c.279]

Причина неодинакового значения обоих принципов состоит в том, что принцип сохранения энергии, примененный к конкретному случаю, дает одно-единственное уравнение, тогда как для полного изучения движения необходимо столько уравнений, сколько имеется независимых координат, следовательно, для движения свободной точки три, а для движения сферического маятника два уравнения. Принцип же наименьшего действия в каждом случае дает как раз столько уравнений, сколько имеется независимых координат. Принцип наименьшего действия способен охватить большое количество уравнений в одном-единственном положении, потому что он в противоположность принципу сохранения энергии является вариационным принципом. Из бесчисленного количества движений, возможных в рамках наложенных условий, принцип наименьшего действия с помощью простого отличительного признака выхватывает совершенно определенное движение и характеризует его как действительно имеющее место в природе. Этот признак заключается в том, что при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного движения, характерная для вариации определенная величина обращается в нуль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты. [c.581]

Рассмотрим теперь механизм мартенситного превращения в аспекте электронного строения. Свободный атом железа имеет внешнюю электронную конфигурацию 3d 4s (рис. 31, а) с четырьмя неспаренными электронами, создаюш.ими магнитный момент на атоме. При сближении атомов железа происходит возбуждение и перекрытие самых внешних 45-орбиталей, имеющих форму сферических s-оболочек. Возникающие по кратчайшим направлениям между ядрами соседних атомов перекрытия, где концентрируются 45-электроны, представляют сильные металлические связи, образующиеся с выделением энергии. Из принципа минимума свободной энергии число металлических связей каждого атома с соседями в конденсированной системе должно быть максимальным и, следовательно, при отсутствии связей другого типа должна быть устойчива плотная ГЦК упаковка у-железа (К = 12). В ней остовная оболочка 3(Р образована тремя парами электронов с антипараллельными спинами пары электронов связаны внутри своего атома (рис. 31, б) и не способны поэтому образовывать связи с соседними атомами. Отсутствие неспаренных d-электронов в ГЦК -фазе подтверждается ее парамагнетизмом [581. [c.70]

Однако в работе Л. Г. Куракина [7] после надлежащего уточнения понятия устойчивости было показано, что при п < 6 для доказательства нелинейной устойчивости достаточно квадратичных членов разложения гамильтониана. Тем самым было доказано, что в этом случае линеаризация законна. В работе [7] высказано также утверждение об устойчивости для п = 7 со ссылкой на Г.Т. Мерца [40]. Далее будет разъяснено, что для п = 7 и анализ Г.Т. Мерца, основанный на термодинамическом принципе минимума свободной энергии, недостаточен. [c.243]

Г. Т. Мерц [40] утверждает, что при п = 7 имеет место устойчивость в смысле термодинамического принципа минимума свободной энергии. [c.276]

Если импульс в потоке П или энергия заданы, то невозможно говорить о применении принципа стационарности кинетической энергии. Задание П или ер является дополнительной связью, полностью определяющей состояние, т. е. х, при известном поле скоростей, заданных и <7 = 1. Такое положение может быть реализовано, скажем, в гидравлическом прыжке второго рода от потенциального потока с ридусом свободной поверхности Xi к потоку, экстремальному с радиусом свободной поверхности < х,. В этом случае для экстремального потока заданы П, Шу, q = 1, и в нем нельзя применять принцип минимума кинетической энергии потому, что импульс П не является свободным принцип может применяться только при свободной координате х,, а следовательно, и при неизвестном, свободном значении П. [c.100]

В связи с этим возникла целесообразность краткого рассмотрения вопросов, оказавшихся дискуссионными, а именно построения функции Ляпунова йд [(4.10) (4.24) (4.29) и др.], обоснования метода принципа минимума кинетической энергии гл. 5, а также исходных положений М. А. Гольдштика в критике работы [61] и в построении метода расчета радиуса свободной поверхности во вращающихся потенциальных потоках в трубах при i/d > 1. [c.165]

По этой формуле очень легко проследить зависимость Пбоц от Ц при любом способе вычисления радиуса свободной поверхности в сверхкритическом дг1 и в подкритическом состояниях, потому что J j и Х2 легко пересчитываются друг в друга по уравнению гидравлического прыжка. Расчет по формуле (П.2) ясно показывает, что использование данных, получаемых по принципу минимума кинетической энергии (кривая 3 на рис. 5.9), дает изменения Пбок зависимости от во всяком случае не противоречащее здравому смыслу. Если же для получения Пбок по формуле (П.2) использовать кривые 4 к 6 рис. 5.9, то будут получены данные, вызывающие сомнения в их справедливости, например, Пбок <0- [c.167]

Однако при выяснении вопроса о направлении процессов превращений необходимо учитывать не только изменение энтропии, но и тепловой эффект, отражающий изменение внутренней энергии. Мы видели, что энтропия может увеличиваться, лаже если тепловой эффект отсутствует. Однако, как уже было отмечено, в неизолированных системах условием равновесия является все-таки не максимум энтропии, а минимум свободной энергии G. Как следует из формулы (IV.2), при низких температурах основной вклад в изменение G дает ЛЯ и должны осуществляться превращения, идущие с выделением тепла (АЯ < О, следовательно, и ДО ЛЯ < 0) — принцип Вертело. При доста- [c.146]

В то же время окружающий мир является высокоупорядоченным. Из теории Дарвина следует, что в основе принципа отбора лежит повышение организованности биологических систем. Это противоречит второму закону термодинамики, согласно которому энтропия системы с течением времени увеличивается. Это противоречие было снято с введением в кибернетике представлений об эволюции системы как связанной с самоорганизующимися и саморегулирующимися процессами и с развитием синергетики [2, 4], рассматривающей закономерности самоорганизации диссипативных структур в неравновесных условиях [5]. Стало очевидным, что неравновесные состояния более высокоорганизованные, чем равновесные, так как в них движущей силой процесса является не минимум свободной энергии, как это характерно для равновесных процессов, а минимум производства энтропии. [c.11]

Пути, основанные на других вариационных принципах, недавно привели к пониманию этих особенностей поведения н к элементам пластин Тимошенко— Миндлина, которые свободны от указанных недостатков. Спилкер и Мунир [13—15] использовали гибридную модель в напряжениях, основанную на модифицированном принципе минимума дополнительной энергии для того, чтобы построить элемент пластины Тимошенко — Минд-лина, в котором континуальные уравнения равновесия используются для определения поперечных сдвиговых н межслойных напряжений (Т,г, (fz по полям напряжений а , (Ту, а д. [c.417]

Закаленный метадл можно рассматривать как бинарный сплав атомов и вакансий. Небольшие группы вакансий могут лежать в любом из нескольких эквивалентных направлений в решетке. Этими направлениями являются все положения с равной энергией в ненапряженной решетке но одноосные напряжения будут разделять энергетические состояния на группы с меньшей симметрией, чем симметрия решетки. Группы будут стремиться к перераспределению среди различных состояний, чтобы свести к минимуму свободную энергию., Отражением вводимого напряжениями упорядочения может служить пик внутреннего трения, который является результатом внутреннего перераспределения состояний в поле внешних напряжений. В принципе это явление, может быть использовано для различения дивакансий, которые могут упорядочиваться, и моновакансий, которые имеют симметрию решетки и не могут упорядочиваться. Главная экспериментальная трудность заключается в создании достаточного количества дивакансий, которое бы привело к ощутимому эффекту. [c.346]

На рис. 12.12 даны результаты расчета свободно опертой квадратной пластины, в центре которой приложена сосредоточенная сила расчет основан на линейных полях (12.44). Для сравнения приведены численные результаты для межэлементно согласованных формулировок для перемещений, полученных на базе метода разбиения на подобласти с использованием девятичленного полинома в каждой подобласти [12.381. Результаты, как и следовало ожидать, подтверждают, что решения, полученные с помощью альтернативной формулировки, основанной на принципе минимума дополнительной энергии, сходятся к точному решению снизу и обеспечивают достаточную точность. [c.373]

Правая часть этого неравенства Ф определяет верхнюю границу свободной энергии i в, V, а, М) и является функцией параметров разделения /3 = (/ ], / 2) ) гамильтониана Я на части Яо(/ ) и Я](/3) = Я - Яо(/3). Исследуя на основе общих принципов условия термодинамической устойчивости состояния системы (см. том 1, 6), мы показали, что пр 1 фиксированных переменных (в,У,а,М) равновесное термодинамическое состояние системы соответствует минимальному значению потенциала Величина Я в,У,а,М р) лежит выше но наилучшая оценка свободной энергии получится тогда, когда эти параметры 3 будут определены из условия минимума верхней фаницы свободной энергии, причем условие в,У,а,Н 13) = гп1п определит наилучший с термодинамической точки зрения выбор параметров р = р в, У,а,М). [c.350]

В 1928 г. Френкель и чуть позже Гейзенберг установили, что ферромагнетизм — это особое свойство системы электростатически взаимодействующих электронов. При обсуждении парамагнетизма электронного газа мы уже видели, что его энергия самым тесным образом связана с намагниченностью.. Это является следствием принципа Паули. Минимум энергии свободного электронного газа наблюдается в том случае, когда спины электронов полностью скомпенсированы. [c.336]

Пример. Показать, что если к условиям, используемым при рассмотрении принципа наименьшего действия, добавить условие, что время перехода, так же как и энергия, должны быть постоянными величинами для всех смежных движений, то из минимальности действия, вообще говоря, не следуют уравнения Лаграижа. Используя рассуждения п. 453, показать, что минимум действия для заданного времени (не обязательно равного времени свободного перехода) осуществляется при А, = —-Vj + AIT, где А — постоянная, которую следует выбрать так, чтобы энергия имела заданное значение. Показать также, что если время перехода задано так, что Л = О, то найденный прн этом условии минимум будет абсолютным. [c.344]

Одним из простейших применений принципа Максвелла является случай длинной цилиндрической оболочки, помещенной внутри коаксиального намагничивающего соленоида. Условие минимума энергии требует, чтобы в оболочке возникали такие токи, которые нейтрализовали бы во внутренних точках полости оболочки действие катушки. Таким образом, если проводимость оболочки достаточно велика, то пространство внутри оболочки заэкранировано о г намагничивающей силы периодических токов, текущих во внешнем соленоиде, и проводящие контуры, расположенные внутри оболочки, должны быть свободны от индуцированных токов. Очевидный вывод отсюда, что токи, индуцированные в твер- [c.478]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...