Элементы вариационного исчисления

Для дальнейшего обсуждения первых интегралов уравнений движения (законов сохранения) требуется использовать аппарат вариационного исчисления, который нужен нам также и для иных целей, связанных с изучением движений в потенциальных полях. Поэтому в следующем параграфе будут кратко изложены элементы вариационного исчисления, а затем, применяя соответствующий аппарат к теории движения в потенциальных полях, мы вернемся, в частности, к вопросу об общей теории первых интегралов уравнений движения. [c.271]

Элементы вариационного исчисления. [c.271]

Желая экономно расходовать силы, уж должен решить следующую экстремальную задачу, он должен задаться своим суммарным усилием 1 () =/о и подобрать функцию ф так, чтобы величина тяговой силы / (0 была наибольшей. Эта задача под силу всякому ужу, который знаком с элементами вариационного исчисления— задача на экстремум функционала (5) при условии 7(0 = /о- [c.306]

ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [c.663]

Прежде чем обратиться ко второму способу получения уравнений Лагранжа, необходимо предварительно познакомиться с некоторыми элементами вариационного исчисления — специального раздела математики, занимающегося исследованием экстремальных свойств криволинейных интегралов, зависящих от выбора одной или нескольких функций. [c.177]

Решение задач теплопроводности может быть получено еще одним численным методом — метод ом конечных элементов. Математической основой метода конечных элементов является вариационное исчисление. В отличие от метода конечных разностей, в котором исходные дифференциальные уравнения непосредственно используются для построения разностной схемы, в методе конечных элементов дифференциальное уравнение теплопроводности и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается численно. [c.246]

По правилам вариационного исчисления мы умножим каждое уравнение (Ь) на пока произвольные функции от координат х и сложим сумму левых сторон полученных уравнений (она равна нулю) с вариациями элементов интеграла. Посредством интегрирования по частям исключаем дифференциалы вариаций наконец, полагаем равными нулю множители при произвольных вариациях Ьх,. Таким образом, получаем Зп дифференциальных уравнений вида [c.520]

Нужно еще заметить, что во всех случаях перемещения отдельных положений системы не зависят друг от друга. Поэтому можно считать отличными от нуля перемещения только для бесконечно малой части движения. Если связать это представление с уравнением (6), то получается известное заключение вариационного исчисления о том, что постоянное исчезновение левой части уравнения (6) вызывает исчезновение также каждого отдельного элемента интеграла, стоящего в правой части. [c.546]

В ходе решения, приведшего к выводу, что искомая кривая есть циклоида, Я. Бернулли высказал принцип, который хотя и не обладает полной общностью, но сыграл значительную роль как на первой стадии развития вариационного исчисления, так и в формулировке Эйлером принципа наименьшего действия. Принцип Я. Бернулли гласит, что если какая-либо кривая обладает свойством максимума или минимума, то каждая ее бесконечно малая часть обладает тем же свойством. Именно это позволило Эйлеру написать вместо конечного пути s, входящего в формулу, данную Мопертюи, элемент пути ds и тем самым сделать огромный шаг вперед. Надо отметить, что, рассматривая задачу о брахистохроне в сопротивляющейся среде, Эйлер показал, что длина и форма предшествовавшего пути влияют на [c.787]

Если свет проходит через среду, оптическая плотность которой непрерывно изменяется (например земная атмосфера), то траектория луча будет кривой линией. Для определения этой линии надо, согласно правилам вариационного исчисления, исследовать вариацию интеграла V с15, где V — преломляющая сила среды, а 5 — элемент траектории пределы интегрирования фиксированы. Имеем [c.811]

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности, в связи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс иа интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные. [c.205]

МЫ получим ДЛЯ W дифференциальное уравнение в частных производных (104), выведенное уже ранее из условий равновесия элемента пластинки. Интегралом (h) можно, однако, с успехом воспользоваться и в приближенном исследовании Изгиба пластинки. С этой целью заменим задачу вариационного исчисления задачей об отыскании минимума некоторой функции, допустив, что прогиб w может быть представлен в виде ряда [c.383]

Вариационный подход использовался прй составлении алгоритма метода конечных элементов для решения задачи теплопроводности (102). Сформулируем в общем виде задачу вариационного исчисления. [c.187]

В то время как исследования, в которых используются интегральные уравнения для потенциала, были в большинстве своем направлены на выяснение теоретических вопросов, в прикладной математике пытались найти общие методы решения инженерных задач, исходя из решения дифференциальных уравнений. На этом пути был ряд крупных достижений, к которым относятся различные усовершенствования в методах бесконечных рядов и конечных разностей, приближенные методы вариационного исчисления и, наконец, метод конечных элементов, что привело к созданию мощных и общих численных методов прикладной механики. Метод конечных элементов является синтезом энергетических методов, представлений о конечных разностях и структурном моделировании при помощи вычислительных машин. [c.9]

Если теперь применить обычное вариационное исчисление к уравнению Больцмана, в котором член соударений представлен линейно, предполагая, что эффективная масса свободных электронов и матричный элемент зависит только от К, [c.118]

Элементы теории поля. Ниже будут даны необходимые сведения (преимущественно формального плана) из современной теории поля. Для понимания излагаемой ниже теории необходимо достаточно свободное владение исчислением вариаций (например, в рамках замечательного курса вариационного исчисления [14]). Компактное изложение имеется в [12, рр. 260-264]. Можно рекомендовать также монографию [2, рр. 96-115]. [c.663]

Если речь идет о линейных системах (16.1) и область U и функция Ф в (16.2) обладают подходящими свойствами выпуклости (или вогнутости), то многие такие задачи о минимаксе укладываются в схемы, обсужденные в 10 (см. стр. 193—197). В нелинейных случаях, а также в некоторых линейных нерегулярных случаях приложение описанных выше способов исследования (в частности, принципа максимума или классических критериев вариационного исчисления) потребовало их усовершенствования. Весьма общий подход к выводу необходимых условий экстремума для проблем вариационного исчисления, охватывающий, в частности, широкий круг задач об оптимальном управлении, описан в работах А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина (1963—1965). В этих работах были выведены необходимые условия минимума F (w ) для функционала F (w), заданного на элементах w из некоторого нормированного пространства ly . Допустимые значения предполагаются стесненными условием типа равенств или неравенств. При широких предположениях о геометрических свойствах этих ограничений, которые вместе с условием экстремума порождают в пространстве гг некоторые выпуклые конусы и линейные подпространства вариаций, выводятся искомые необходимые условия минимума. Эти условия сводятся к отсутствию общих точек у открытых частей упомянутых конусов и подпространств. Формулировка этого геометрического факта в терминах линейных функционалов и составляет содержание [c.213]

Источники. Большая часть материала, содержащегося в этой книге, не содержит неизвестных ранее результатов. Тем не менее, способ изложения материала часто оригинален и представляет собой новые или значительно модифицированные доказательства известных результатов, объяснения структуры и взаимосвязей внутри данной темы и т. д. Приблизительно шестая часть материала, относящаяся в основном к частям 3 и 4, близко следует изложению в опубликованных источниках, большинство из которых представляет собой оригинальные научные публикации. Характерный пример такого типа — изложение элементов гиперболической теории в главах 18 и 20, заимствованное из статей Р. Боуэна семидесятых годов, которое было столь ясным, что едва ли может быть улучшено. В нескольких случаев мы следуем освещению соответствующей темы в существующих книгах. За исключением некоторых базовых тем, например гамильтонова формализма или вариационного исчисления, это происходит только в части 3. Причина этого состоит в том, что существует гораздо больше учебников по динамике малых размерностей, чем по теории динамических систем в целом. Мы упоминаем все заимствования доказательств и методов представления материала, о которых нам известно, в примечаниях в конце книги. [c.15]

Основные понятия функционального анализа и вариационного исчисления, такие как пространства Соболева (в теории упругости их называют пространствами функций с конечной энергией), слабая сходимость, существование элементов, минимизирующих слабо полунепрерывные снизу функционалы, повсеместно присутствуют в изложении результатов о существовании в трёхмерной теории упругости (гл. 6 и 7) и двумерной теории пластин (том 11). [c.10]

Таким образом, методы вариационного исчисления в приложении к задачам строительной механики позволяют, минуя обычный прием составления дифференциальных уравнений из условия равновесия бесконечно малого элемента, получить их чисто формальным путем. [c.158]

В вариационном методе конечных элементов вместо определяющего уравнения используется Эквивалентная вариационная формулировка. Для рассматриваемой задачи можно показать, пользуясь вариационным исчислением что решение у уравнения (1,35) совпадает с функцией, минимизирующей функционал [c.25]

В настоящей главе изучение движения простейшей модели снаряда в виде одномерного движения материальной точки обобщено на случай двух- и трехмерного движения. Отсюда естественно возникает проблема оптимизации траектории, которая оказывается тесно связанной с целым рядом смежных проблем. Простейшей задачей из этого круга проблем является задача определения оптимального управления, когда динамические характеристики снаряда заданы и требуется найти такую траекторию, которая оптимизирует некоторую заданную величину. Для случаев, когда поле сил зависит от скорости и координат снаряда, дана общая постановка задачи оптимизации траектории, а в случаях, когда силовое поле однородно или когда сила зависит от расстояния линейно, оказывается возможным получить решение в замкнутой форме. Это особенно важно в применении к баллистическим снарядам (нанример, снарядам дальнего радиуса действия класса земля — земля или носителям спутников), где расстояние, проходимое за время выгорания топлива, мало по сравнению с земным радиусом. Простой и в то же время почти оптимальной траекторией в этих случаях оказывается траектория гравитационного разворота при движении снаряда в плотной атмосфере и затем переход на траекторию, определяемую соотношением (2.6). Хотя точного решения уравнений движения по траектории гравитационного разворота не существует, все же можно построить ряд графиков, позволяющих во многих случаях подбирать требуемые значения параметров. Если ограничиться лишь получением решений, удовлетворяющих условию стационарности, то обычными методами вариационного исчисления можно исследовать те задачи оптимизации, в которых масса снаряда, программа скорости истечения и время выгорания, так же как и программа управления, являются варьируемыми функциями. Для того чтобы найти решения, являющиеся действительно максимальными или минимальными в определенном смысле, нужно проводить специальное исследование каждого отдельного случая, так как не всегда решение, удовлетворяющее требованию стационарности, является оптимальным, и наоборот. В тех задачах, где скорость истечения есть известная функция времени, как, например, это имеет место в жидкостных ракетных двигателях, из анализа следует лишь то, что оптимальной программой для М ( ) будет, как правило, программа импульсного сжигания топлива. Поэтому для получения практически интересных результатов необходимо проводить более глубокий анализ, с учетом таких факторов, как параметры двигателя, топливных баков и т. д., при одновременном учете характера траектории полета снаряда. Для выполнения такого рода анализа используется схема расчета, где анализ различных элементов Конструкции и групп уравнений (одной [c.63]

Метод конечных элементов для описания сплошных сред впервые был применен в середине 50-х годов XX столетия и с тех пор завоевал известность исключительно полезного инженерного метода. Он широко применяется в гидродинамике, теории поля, при расчете сложных напряженных состояний и в других областях. О распространенности метода конечных элементов можно судить, например, по работе Норри и де Ври [9], в которой приведено более 7 тыс. ссылок, содержащих указания на его применение в различных областях науки и техники. Хотя метод конечных элементов применяется для решения тех же задач, что и метод конечных разностей, основаны они на разных идеях. В методе конечных разностей проводится разностная аппроксимация производных, входящих в дифференциальные уравнения. Математическая основа метода конечных элементов — вариационное исчисление. Дифференциальное уравнение, описывающее задачу, и соответствующие граничные условия используются для постановки вариационной задачи, которая затем решается непосредственно. С этой точки зрения метод конечных элементов представляет собой неявное применение метода Ритца на отдельных отрезках. В методе конечных элементов физическая задача заменяется кусочно-гладкой моделью. В этом смысле метод конечных элементов позволяет инженеру использовать свое интуитивное понимание задачи. Чтобы изложить метод конечных элементов во всех подробностях, пришлось бы написать специальный учебник. Здесь мы ограничимся изложением лишь основ этого метода, практическое значение которого трудно переоценить. Более подробное описание метода конечных элементов можно найти в работах Кука [21 и Зенкевича и Чен- [c.125]

Целью оптимизации является отыскание внутри этой области изображающей точки, обращающей в максимум критерий качества (отыскание оптимального управления). Очевидно, при наличии ограничений точка оптимального управления может лежать на границе области работоспособности. Таким образом, задача оптимизации струйных элементов является задачей на условный экстремум. Задача отыскания условного экстремума может быть решена методами вариационного исчисления, либо методами линейного или нелинейного программирования и т. д. в зависимости от математического выражения целевой функцип и наложенных ограничений. [c.27]

Как известно "[2], задача вариационного исчисления состоит в следующем дан вещественный функционал / с областью определения XJ X , требуется найти элемент х Ху, сообщающий функционалу экстремальное значение например, пПпиш, т. е. [c.32]

Математика является базой современной автоматики и телемеханики, поэтому особое внимание в книге уделено разделу матема шки, которым завершаются общетехнические материалы снравочника. Кроме небольших по объему справочных данных по общей математике, в разделе собраны специальные вопросы математики, необходимые для решения задач по автоматическому регулированию производственных процессов и управлению ими элементы математической логики, дифференциальных уравнений с запаздыванием, вариационных исчислений, линейного и динамического программирования и др. [c.12]

Математика охватывает общие и специальные дисциплины математического анализа арифметику и алгебру, геометрию, тригонометрию, диференциальное и интегральное исчисления, ряды, диференциальные уравнения в полных и частных производных, вариационное исчисление, аналитическую и диференциальную геометрию, векторное исчисление, теорию функций комплексного переменного и элементы прикладного анализа теорию вероятностей и метод наименьших квадратов, приближённые вычисления, построения эмпирических формул и номографию. [c.9]

Метод конечных элементов, используемый в программе FEDSS, допускает непрерывное и независимое изменение плотности элементов, в результате чего при решении данной задачи требуется меньшее количество узлов. Для разбиения области прибора используются треугольные элементы (рис. 11.3). Можно получить выражение, связывающее геометрию и коэффициент диффузии какого-либо элемента с концентрацией примеси в узлах этого элемента [16.15]. С помощью теорем вариационного исчисления можно показать, что функционал, соответствующий левой части уравнения [c.311]

Через др здесь и в дальнейшем обозначается оператор частного дифференцирования но пространственно-временным координатам Х . Мы будем использовать этот оператор (вместо более удобной наблы Гамильтона V/) с тем, чтобы изложение было выдержано в духе классического вариационного исчисления. Впрочем, все уравнения исчисления вариаций без труда представляются в прямой пнварпантной записи, что позволяет сформулировать их в форме, инвариантной относительно преобразований иространствепно-времеппых координат Х . Прямая тензорная запись уравнений ноля часто оказывается неудобной, так как она скрывает природу тензоров при ностроении канонических тензоров теории поля заимствуются элементы как нространства-времепп (греческий индекс), так и самих физических нолей (латинский индекс). [c.126]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...