ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы вариационного исчисления из "Основы оптики Изд.2 " Общая черта уравнений классической физики состоит в том, что все опи могут быть выведены из вариационных принципов. Принцип Ферма в оптике (1657 г.) и принцип Мопсртюи в механике (1744 г.) служат примерами наиболее ранних вариационных принципов. Из соответствующих вариационных принципов можно также получить уравнения упругости, гидродинамики и электродинамики. [c.663] Эти уравнения можно разрешить относительно х и у , если соответствующий определитель не равен нулю, т. е. [c.664] Решение дв х дифференциальных уравнений второго порядка содержит четыре произвольные постоянные следовательно, экстремали образуют четы-рехпараметрическое семейство кривых (оо экстремалей). [c.664] Тогда Р1и х, у, г), v(x, у, г), л , у, г и ее частные производные Р , зависят только от Л-, у, г. Далее выберем кривую С[х х г), у = у г) и образуем. [c.664] Задача состоит в следующем найти такие функции и, v, для которых интеграл S не зависит от формы кривой С, а определяется лишь положением концевых точек Pi и Яг, где Pi имеет координаты Xi = x zi), iji = y zi) и 2ь P — координаты x-i= x z , y-i = y Zi), Za. Величина 5 называется интегралом Гильберта. [c.665] Хорошо известно, что необходимым и достаточным условием того, чтобы (12) не зависел от формы кривой интегрирования С, служит обращение в нуль компонент ротора от вектора А, с проекциями U, V, W, т. е. [c.665] Это уравнение называется уравнением Гамильтона — Якоби данной задачи. [c.666] КЗ которого следует, что вектор U, V, W), определенный в (13) через и и v, перпендикулярен к любому элементу dx, dy, dz поверхности. [c.666] Если считать теперь V, V, х, у четырьмя неизвестными функциями г и написать для каждого из них уравнение Эйлера, то в результате мы получим (40). [c.669] Б механике переходу от принципа Гамильтона к принципу Мопертюи см. (88) ниже). Если нз уравнепия Эйлера, соответствующего (46), определить у(х), то полное семейство экстремалей получается путем интегрирования (44). [c.670] Вывод закона отражения для экстремалей очень близок к рассмотренному выше. Для этого нужно соединить точки Р, и / 2, расположенные по одну сторону от заданной поверхности а(х, г/, г) О (рис. 3) в области, где Р является непрерывной функцией х, у, г, кривой Р АР , которая терпит разрыв (меняет свое направление) в точке А на данной поверхности. [c.671] Теорема независимости выполняется также для любых полей, имеющих конечное число разрывов непрерывности (как преломления, так и отражения). Как будет показано ниже, во вссх таких случаях интеграл (1) имеет минимальное значение независимо от того, является ли экстремаль, соединяющая точки Р, и Рг, непрерывной или терпит разрыв (изменяет свое направление) при условии, что функция Р удовлетворяет некоторым простым условиям вдоль этой кривой. [c.671] До сих пор мы не делали различия между максимумом и минимумом рассмотренные экстремали (гладкие нли с петлями ) могут даже соотвегствовать стационарным случаям, когда истинного экстремума вообще не существует. Выведем теперь необходимые условия истинного минимума. [c.672] Вейерштрасса аргументы х, у, г, х, у характеризуют точку на кривой С и направление последней, тогда как а, v—направление экстремали поля, проходящей через точку X, у, г. [c.672] Кривая, о тевидно, должна совпадать с одной из экстремалей двухпараметрического оо- семейства, проходящей через точку 1, и нужно лишь узнать. [c.674] Вернуться к основной статье