Интегрируемость локальная

Область пространства (х, у, е), в которой существуют предельные циклы главного локального семейства (13), подходит к нулю узким языком. Замена времени, координат и параметров превращает трудное главное семейство , рассматриваемое в этой области, в малое возмущение интегрируемого уравнения. Выпишем эту замену и это возмущение при Ь<0, с<0, А>0. В этом случае интересующий нас язык на плоскости параметров расположен в полуплоскости ei<0. [c.37]

Еще раз о локальности. Теорема Лиувилля, равно как и предыдущие теоремы, формально носит сугубо локальный характер. Из доказательства теоремы Дарбу следует, что всякая гамильтонова система вполне интегрируема в окрестности любой неособой своей точки. На практике, однако, нас не интересует потенциальное и бессодержательное существование интегралов в малом. Нам важны случаи, когда явно предъявляются первые интегралы движения, определенные во всем или почти всем фазовом пространстве задачи. Вместе с тем, поскольку на практике мы всегда имеем дело с аналитическими функциями, поведение которых в целом, как известно, определяется поведением в малом, то, опираясь на локальные теоремы, мы сможем в конце концов получать заключения нелокального характера о фазовом потоке. [c.266]

Простейшими примерами О. ф. являются функционалы, порождаемые локально интегрируемыми в О ф-циями [c.375]

О. ф., определяемые локально интегрируемыми в О ф-циями f x) по ф-ле (2), наз. регулярными О, ф. в О остальные О. ф. наз. сингулярными. [c.375]

О. ф., вообще говоря, не имеют значений в отд. точках. Тем не менее можно говорить о совпадении О. ф. о локально интегрируемой ф-цией на открытом множестве О. ф. / из В (О) совпадает в О d О с локально ин- [c.375]

Прямое произведение. Пусть f x) и g[y) — локально интегрируемые ф-ции в пространствах К" и соответственно. Ф-ция /(х) х у(у) локально интегрируема в она определяет регулярную О. ф. [c.376]

Свёртка. Если f(x) и g x) локально интегрируемы в к" и ф-ция /г(х) = j g(ff f(x — у)1йу также локально интегрируема в К , то свёрткой / g наз. ф-ция [c.377]

Эта ф-ция локально интегрируема в к и определяет регулярную О. ф. [c.377]

Гамильтонова модель Ш. у. н. является вполне интегрируемой и обладает бесконечным набором интегралов движения J , производящей ф-цией для к-рых является след матрицы монодромии 1гГ(А.). Все интегралы движения записываются в виде локальных функционалов от и и их производных, напр. [c.473]

Функция 1п д есть обычная локально интегрируемая функция. Справедлива формула [c.118]

В развитии механики разрушения и, в частности, в исследовании динамического распространения трещины концепция упругого коэффициента интенсивности напряжений сыграла фундаментальную и консолидирующую роль. В этом параграфе приводится формальное определение динамического коэффициента интенсивности напряжений через характеристики поля в окрестности вершины трещины, преобладающего в номинально упругом теле в процессе роста трещины. Вблизи любой точки края трещины, за исключением точек пересечения трещины с поверхностью твердого тела и угловых точек края, локальное распределение деформаций является в основном двумерным, и поля в окрестности вершины представляют собой комбинацию трещин типа 1 (плоское раскрытие трещины), типа 2 (плоский сдвиг) и типа 3 (антиплоский сдвиг). С целью ограничить исследование рассмотрением полей с конечной энергией (в конечных областях) вводится требование интегрируемости энергии деформации в любой подобласти. Кроме того, для решения поставленных задач предполагается, что ни скорость, ни направление трещины резко не меняются. [c.84]

Четвертые производные фундаментального решения определяются как производные однородных локально интегрируемых функций порядка г . Дифференцирование однородных локально интегрируемых функций степени -и + 1, где п - размерность пространства, выполняется по формуле [26] [c.54]

Можно показать, что совокупность значений, которые функционал (f, ф) принимает в основном пространстве [т. е. при всевозможном выборе функций Ф( дг)], однозначно определяет функцию во всех точках, в которых она непрерывна. В частности, двум различным непрерывным функциям ft(x) и fs(x) соответствуют функционалы (fi, д ) и (f2, х), принимающие, различные значения хотя бы для некоторых основных функций. Кроме того, средние значения локально интегрируемой функции в любой конечной области однозначно определяются функционалом (f, > ). Таким образом, задание функционала определяет функцию точки с той степенью точности, какая нас интересует, и в этом смысле эквивалентно заданию самой функции точки. [c.31]

Замечание 2.1. В силу (2.18) и (2.26) матрица E (x,t) является ограниченной локально интегрируемой функцией от t при фиксированном хфО и имеет как функция от х слабую особенность при х=0. Поэтому фигурирующая в формуле для потенциала простого слоя свертка U (х, у, t) (f(y,t) может быть выраже- [c.105]

Кроме того, функция распределения вероятности зависит только или от координаты или только от импульсов. В квантовой механике, ассоциируемой с волновой функцией ц , в отличие от классической механики, квантовое состояние определяется только или координатой или импульсом. И. Пригожин представил функцию квантового состояния ц/ как амплитуду вероятности, для которой соответствующая вероятность р задается произведение амплитуды ij (q) и ц/(я ). Так что, функция квантового состояния у есть функция двух наборов переменных либо координат q и q , либо импульсов р и р . В эволюции квантовых систем И. Пригожин отводит ключевую роль резонансам Пуанкаре, чуждым локальному описанию поведения системы на уровне траекторий. Пуанкаре рассмотрел динамическую систему как характеризуемую суммой кинетической энергии ее частиц и потенциальной энергии, обусловленной их взаимодействием. Если взаимодействие отсутствует (потенциальная энергия равна нулю), то траектория движения частиц описывается интегрируемыми функциями. Пуанкаре доказал, что динамические системы в большинстве случаев являются неинтегрируемыми. Он также [c.66]

Современные представления о физическом смысле скорости материальной точки, используемые в понятиях кинетической и потенциальной энергии, действия и других, требуют сопоставления им математических объектов, называемых обобщёнными функциями (распределениями) 99, 135]. Так, например, в интегральных принципах, использующих выражение кинетической энергии, скорости - Ь) — функции, интегрируемые не менее чем с квадратом, т.е. принадлежащие пространству распределений ). Если кинетическая энергия является локально интегрируемой функцией, то ей однозначно сопоставляется (в случае её существования) обобщённая функция. [c.22]

Ниже мы изложим некоторые приближенные методы интегрирования таких уравнений. Они основаны на так называемом локальном подходе, когда рассматриваемая система является в некотором смысле близкой к некоторой, точно интегрируемой. К точно интегрируемым системам относятся линейные системы, а также системы, описываемые в излагаемой ниже теореме Лиувилля. [c.301]

В соответствии с принципом затухающей памяти состояние, более отдаленное в прошлое, слабее влияет на локальное состояние среды в данный момент. Это можно учесть с помощью функции памяти 7 (5), которая является монотонно убывающей, ограниченной, положительной и интегрируемой с квадратом [c.81]

Если Iiv < 4/ , то Ф непрерывна на и утверждение очевидно. В случае, когда Iiu > 4/ , функция Ф непрерывна всюду, кроме точек ai,. .., 4, где = 1. Поэтому достаточно доказать интегрируемость Ф в малых окрестностях Ui точек ,..., 4. Так как Iiu ф All, за локальные координаты в Ui можно взять переменные Ж4 и Ж5. Якобиан преобразования (< 1, ip2) (Ж4, Ж5) [c.163]

Доказательство теоремы 3. Согласно предположений) 1), из уравнений г/,- = иДж , Хг, Хз, 1, 2,0 3) (1 3) можно на-йти (по крайней мере локально) ак как функции от х, у. ак = Рк х,у). Из результатов п. 2 вытекает, что функции Гк — интегралы рассматриваемой гамильтоновой системы. Согласно условию 2), функции 1, 2, Р-з,Н независимы. Остается воспользоваться известной теоремой Эйлера — Якоби об интегрируемости автономной системы п дифференциальных уравнений с инвариантной мерой и п — 2 независимыми интегралами ([174, 12-я лекция]). [c.73]

Локальные изоморфизмы невырожденных вполне интегрируемых гамильтоновых систем, о которых шла речь в п. 5 введения, в ряде случаев могут быть продолжены до изоморфизмов в целом. Приведем соответствующие примеры. [c.94]

Анализ причин неинтегрируемости гамильтоновых систем начнем с обсуждения обнаруженных сравнительно недавно грубых препятствий топологического характера. В работе [81] доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода х, х 2 не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы причиной является наличие большого числа неустойчивых периодических траекторий, на которых первые интегралы зависимы. Этот результат (не замеченный классиками из-за пристрастия к локальному рассмотрению динамических систем) обобщен в различных направлениях. Доказательство неинтегрируемости использует вариационные методы и тонкие факты из т ории особенностей аналитических отображений. [c.133]

Обсудим теперь вопрос об интегрируемости дискретной динамической системы В, 8). Эту систему естественно назвать интегрируемой, если найдется локально непостоянная функция Г ( интеграл ), инвариантная при подстановке 8 Г 8 г)) = Р г) для всех 2 е В. [c.303]

Теорема Лиувилля о локальной интегрируемости системы уравнений Гамильтона. Рассмотрим автономную систему уравнений Г амильтона [c.367]

Отметим также, что в этой проблеме четыре надлежащим образом выбранные окрестности четырех основных периодических движений покрывают целиком многообразие М в самом деле, оба семейства движений вокруг эллипса, семейство движений поперек эллипса и периодическое движение вдоль большой оси вместе исчерпывают все движения системы. Эти факты подсказывают нам следующее (не вполне точное) определение интегрируемости, основанное на некотором локальном и на некотором нелокальном свойстве. [c.255]

Прежде всего, естественно определить локальную интегрируемость в окрестности некоторого периодического дви кения общего устойчивого типа как такую, когда формальные ряды мы можем счи- [c.255]

Кроме того, качественное поведение движений вблизи периодического движения общего неустойчивого типа для систем с двумя степенями свободы существенно не зависит от сходимости или расходимости формальных рядов. Спрашивается, должны ли мы называть всякую систему локально интегрируемой в окрестности подобного периодического движения неустойчивого типа. [c.256]

Предположим, что всякая гамильтонова проблема локально интегрируема в окрестности точки обобщенного равновесия общего устойчивого типа (см. главу III). Применяя нормальные переменные, мы видим, что тогда Т является по существу вращением на переменный угол. [c.256]

Инерциальная частица 34 Интеграл Лагранжа 62 энергии 47, 64 Интегралы скоростей 59 Интегрируемость локальная 255 Интегрируемые системы 255 Интранзитивность 209 [c.405]

Если в системе вообще нет резонансов, то преобразование Биркгофа можно применить для нормализации функции Гамильтона до сколь угодно высокой степени (/ схэ). Нормализованная во всех степенях функция Гамильтона зависит только от переменных (qlpl) (/с = 1, 2,..., п). Тогда преобразованная система уравнений движения может быть проинтегрирована, причем для этого не надо пренебрегать в ее правых частях никакими членами. Казалось бы, что это должно означать локальную (в окрестности положения равновесия) интегрируемость уравнений движения. Однако это не так. Дело в том, что пре- [c.402]

Локально интегрируемые в ф-ции медленного роста содержатся в 5, определяя по ф-ле (2) регулярные функционалы на 8. Всякая О. ф. из 8 есть нек-рая цроиз-Водная от непрерывной ф-ции медленного роста и, стало быть, имеет конечный порядок в R . [c.377]

Функция f("л )— локально интегрируема, т. е. абсолютно интегрируема в каждой конечной области R . Все -ботальные обобщенные функции называются сингулярными. [c.31]

В пространствах (К ) и К регулярные обобщенные функции порождаются локально интегрируемыми функциями /(х) (функциями, определенными в и абсолютно интегрируемыми па любой ограпичепной области О С К ) с помощью интегральных функционалов для действительных и комплексных функций соответственно (черта является знаком комплексного сопряжения) [c.360]

В иространстве 8 регулярные обобщенные функции порождаются локально интегрируемыми функциями /(х) медленного роста (определеппыми в функциями, для которых существуют такие А, а О, что /(х) т4 х в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки) с помощью интегральных функционалов для действительных и комплексных функций [c.360]

В. Дельтообразные последовательности. Пусть каждый член fk последовательности Д С Фд является регулярной обобш енной функцией, порожденной локально интегрируемой функцией /а (х) с Фо и lim Д = (х). Тогда последовательность [c.365]

Обозначим через i2 = х = (жх,. .., х ) G R aj < Xj < bj , причем ai,. .., un < О- Если для последовательности локально интегрируемых функций Д(х) С Фо суш,ествует такое не зависягцее от к и число М > О, что [c.365]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

Интегрирование в квадратурах это отыскание решений с помощью алгебраических операций (включая обращение функций) и квадратур , т. е. вычисления интегралов известных функций. Это определение интегрируемости формально носиг локальный характер. Решение в квадратурах дифференциального уравнения на многообразии означает его интегрирование в любых локальных координатах. Мы считаем, что переход от одних локальных координат к другим является алгебраической операцией. [c.75]

Поскольку система (П. 9) в общем случае неинтегрируема, т. е. йр представляют дифференциалы квазикоординат, выражение dsf в форме (П. 10) возможно лишь локально, так как соотношения (П. 9) интегрируемы при постоянных т. е. для фиксированных значений [c.809]

Если дифференциальная система содержит параметр ц, то мы можем рассматривать тот вид локальной интегрируемости, когда от формальных рядов требуется пс только, чтобы они сходились, по также чтобы они были аналитическими относительно /х. PIm hho в этом смысле Пуанкаре доказал несуществование отличных от классических, однозначных интегралов в задаче трех тел . Но очевидно, что это определение логически отлично от вышеприведенного. Система, пе интегрируемая в этом смысле, может быть (а priori) интегрируемой согласно нашему определению для каждого отдельного значения параметра ц. Насколько я знаю, локальная неинтегрируемость в вышеприведенном смысле не была установлена ни для какой динамической проблемы. Мы здесь, однако, установим ее (для случая то = 1) следующим образом. [c.256]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...