ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Понятие интегрируемости из "Динамические системы " Заметим, что в только что рассмотренной проблеме мы имеем четыре периодических движения, которые играли специальную роль, а именно, движения вдоль обеих осей эллипса и два движения вдоль самого эллипса в обоих возможных направлениях. [c.255] Все другие периодические движения разбиваются на аналитические семейства и, таким образом, с формальной точки зрения представляют собой весьма вырождающиеся типы. Но эти специальные движения изолированы и принадлежат к общему типу. В окрестности этих точек мы будем иметь обычные разложения координат в формальные ряды , и эти ряды мы можем считать сходящимися и аналитически продолженными на некоторую окрестность движения в самом деле, эти свойства представляют собой только другое выражение подобных же свойств интегрируемого преобразования Т, согласно которым оно вращает определенным образом известные кривые, окружающие инвариантные точки. [c.255] Отметим также, что в этой проблеме четыре надлежащим образом выбранные окрестности четырех основных периодических движений покрывают целиком многообразие М в самом деле, оба семейства движений вокруг эллипса, семейство движений поперек эллипса и периодическое движение вдоль большой оси вместе исчерпывают все движения системы. Эти факты подсказывают нам следующее (не вполне точное) определение интегрируемости, основанное на некотором локальном и на некотором нелокальном свойстве. [c.255] Данная система аналитических дифференциальных уравнений на замкнутом аналитическом многообразии М будет называться интегрируемой, если существует конечное множество периодических движений, такое, что соответствующие полные разложения в формальные ряды могут быть взяты сходящимися и дающими соответственное аналитическое представление для каждого возможного движения системы. [c.255] При применении этого определения в качестве известного рода нормы естественно появляются некоторые соображения. [c.255] Кроме того, качественное поведение движений вблизи периодического движения общего неустойчивого типа для систем с двумя степенями свободы существенно не зависит от сходимости или расходимости формальных рядов. Спрашивается, должны ли мы называть всякую систему локально интегрируемой в окрестности подобного периодического движения неустойчивого типа. [c.256] Если дифференциальная система содержит параметр ц, то мы можем рассматривать тот вид локальной интегрируемости, когда от формальных рядов требуется пс только, чтобы они сходились, по также чтобы они были аналитическими относительно /х. PIm hho в этом смысле Пуанкаре доказал несуществование отличных от классических, однозначных интегралов в задаче трех тел . Но очевидно, что это определение логически отлично от вышеприведенного. Система, пе интегрируемая в этом смысле, может быть (а priori) интегрируемой согласно нашему определению для каждого отдельного значения параметра ц. Насколько я знаю, локальная неинтегрируемость в вышеприведенном смысле не была установлена ни для какой динамической проблемы. Мы здесь, однако, установим ее (для случая то = 1) следующим образом. [c.256] Предположим, что всякая гамильтонова проблема локально интегрируема в окрестности точки обобщенного равновесия общего устойчивого типа (см. главу III). Применяя нормальные переменные, мы видим, что тогда Т является по существу вращением на переменный угол. [c.256] Вдоль инвариантных аналитических кривых с рациональным коэффициентом вращения все дви кения будут периодическими в интегрируемом случае с одним и тем же периодом 2кп. Именно на этом обстоятельстве основывается паше дальнейшее рассуждение. [c.256] Будем изменять /х от его начального значения /х = 0. Тут могут представиться две возможности. Либо кривая, изображающая периодическое аналитическое семейство для //, = О, может быть продолжена аналитически, в каковом случае имеется близкая кривая для л ф 0 или же будет иметься только конечное число периодических движений этого периода для малых по абсолютной величине. [c.257] Следовательно, если выбрано надлежащим образом и затем ц взято произвольно малым, то будет только конечное число периодических движений этого периода. [c.258] Но по предположению измененная система интегрируема. Посредством другого, значительно меньшего изменения фупкции Н, мы можем уничтожить аналитическое периодическое семейство значительно ближе к положению обобщенного равновесия, не вводя при этом новых периодических движений периода 2кп. [c.258] Идя далее таким же образом, мы образуем предельную допустимую главную функцию Н, для которой Л и I остаются прежними, но для которой не существует аналитических периодических семейств, принадлежащих коэффициентам вращения, сколь угодно близким коэффициенту вращения обобщенного равновесия. Эта предельная проблема не может, следовательно, быть локально интегрируемой в приведенном смысле. [c.258] Так как существует только исчислимое множество периодов 2ктт к = 1,2.. ..), участвовавших в нашем рассуждении, легко видеть, что для подходящим образом выбранного Н не будет существовать никаких периодических аналитических семейств вблизи точки равновесия. [c.258] В локально интегрируемой гамильтоновой проблеме вблизи обобщенного равновесия общего устойчивого типа I ф ) будет существовать бесконечное множество близлежащих аналитических семейств периодических движений, имеющих своим периодом целое кратное основного периода. [c.258] Вообще же гамильтонова система близ такого периодического движения будет локально неинтегрируемой и не будет иметь аналитических семейств близлежащих периодических движений. [c.258] Было бы возможно, и это представляло бы значительный интерес, применить тот же метод к доказательству того, что близкие инвариантные семейства, асимптотические в противоположных направлениях, к одному и тому же периодическому движению, вообще говоря, не существуют. Это исключило бы возможность инвариантных семейств, принадлежащих рациональному коэффициенту вращения, и доказало бы, что вообще имеется либо полная неустойчивость, либо зональная неустойчивость. [c.258] Тот же метод позволяет нам установить, что кратные периодические движения, вообще говоря, не существуют для периодических задач этого типа. [c.258] Вернуться к основной статье