Деформации и напряжения при сдвиге. Закон Гука при сдвиге

Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями, согласно закону Гука при сдвиге (г), можно представить независимо для каждой из трех плоскостей, параллельных координатным плоскостям [c.34]

Относительная деформация и напряжение при сдвиге связываются законом Гука [c.139]

Закон Гука при сдвиге устанавливает линейную зависимость между сдвиговой деформацией у и касательным напряжением т, т е. имеет вид х = Gy, где G - модуль сдвига. [c.51]

Наличие касательных напряжений Ту сопровождается появлением угловых деформаций Уу . Касательные напряжения, как и нормальные, распределены по сечению неравномерно. Следовательно неравномерно будут распределены и угловые деформации, связанные с ними законом Гука при сдвиге. Это означает, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба сечения балки не остаются плоскими (нарушается гипотеза Я. Бернулли). [c.137]

Выражения (3.21) и (3.22) являются математической записью закона Гука при сдвиге. Из них вытекают и определения коэффициента и модуля сдвига коэффициент сдвига численно равен относительному сдвигу, приобретаемому телом при действии на него единичного скалывающего напряжения (1Я/м или 1Па) модуль сдвига измеряется упругим тангенциальным напряжением, которое возникает в теле при относительной деформации, равной единице. При у = 1 имеем 6 = 45° следовательно, модуль сдвига равен тангенциальному напряжению, которое возникает в теле (при условии, что его свойства остаются неизменными) при сдвиге на угол 45°. [c.74]

Если деформации сдвига не выходят за пределы упругих, то касательные напряжения х пропорциональны относительному сдвигу 7. Это условие называется законом Гука при сдвиге и выражается формулой [c.290]

Уравнения (111.7) называются законом Гука при чистом сдвиге в напряжениях и деформациях. Они вместе с уравнениями (11.14) образуют обобщенный закон Гука (1.7). [c.86]

Формулы (4.7) И (4.7 ), определяющие относительные сдвиги, совместно с формулами (3.27), определяющими относительные линейные деформации, выражают так называемый обобщенный закон Гука для изотропного тела при объемном напряженном состоянии, линейно связывающий деформации и напряжения. [c.106]

В заключение отметим, что в результате испытаний на кручение тонкостенных трубчатых образцов может быть реализована деформация чистого сдвига и построена диаграмма с параметрами т (касательное напряжение) и У (сдвиговая деформация). Начальный участок этой диаграммы имеет линейный характер, для которого можно записать закон Гука при чистом сдвиге [c.344]

Напряжения и деформации при сдвиге связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука при сдвиге. [c.210]

Напряжение сдвига при кручении определяется через деформацию на основании закона Гука т = Gy и формулы (13.12) [c.299]

Выразим постоянную С, входящую в уравнения обобщенного закона Гука (1.7), через упругие постоянные Е и р изотропного материала. Для этого рассмотрим деформацию элемента, испытывающего чистый сдвиг (рис. 111.2). Для упрощения вывода его ребра в направлениях осей х и у приняты равными. В результате деформации верхняя грань переместится параллельно нижней на Д5 (сдвинется), отсюда и название напряженного состояния, при котором эта деформация возникает. Перемещение Д5 называется абсолютным сдвигом. [c.85]

Вторая гипотеза используется лишь при определении перемещений и связанной с ними осевой деформации волокон стержня, параллельных его оси. Эта гипотеза, таким образом, используется при определении лишь нормальных напряжений в плоскости поперечного сечения стержня на основании уравнений закона Гука. Касательные же напряжения в рамках второй гипотезы, разумеется, не могут быть определены при помощи закона Гука, поскольку согласно этой гипотезе сдвиги равны нулю. Для определения касательных напряжений используется уравнение равновесия. Картина здесь совершенно аналогична наблюдаемой в теории поперечного изгиба стержней гипотеза плоских сечений применяется лишь для определения и (путем использования закона Гука), для отыскания же х х и (или) Хгу рассматривается равновесие элемента балки, так как закон Гука применен быть не может, поскольку в рамках гипотезы плоских сечений сдвигов нет. [c.386]

При деформировании материала между компонентами напряжений и компонентами деформаций существует связь. В упругих материалах эта связь является алгебраической, однозначной. В данной главе мы займемся простейшей моделью гипотетического тела, обладающего свойствами линейной упругости. Закон линейной упругости в случае сложного напряженного состояния вводится путем обобщения известных формул закона Гука, полученных для случаев растяжения-сжатия и чистого сдвига. Деформацию элемента линейно упругого материала при сложном напряженном состоянии можно найти на основе принципа наложения, состоящего в том, что некоторая деформация, вызванная системой напряжений, определяется как алгебраическая сумма деформаций, вызванных каждым напряжением в отдельности. [c.107]

Таким образом, относительный сдвиг у и касательное напряжение X друг другу пропорциональны, т. е. при сдвиге напряжение и соответствующая ему относительная деформация связаны законом Гука. [c.125]

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент М (рис, 9,13). При кручении стержней кругового или кольцевого поперечного сечения принимаются гипотезы о том, что расстояния между поперечными сечениями не меняются (е = 0), контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются отсюда следует, что любые деформаций в плоскости сечения равны нулю = е , = 0. Из обобщенного закона Гука (9.9) получаем, что = а = 0 = О, Это означает, что в поперечных сечениях стержня возникают лишь касательные напряжения напряженное состояние при кручении — чистый сдвиг. [c.409]

Чтобы заставить элемент снова принять ту форму, какую он имел при связи с остальным телом, мы должны приложить к нему напряжения о, и т. д. и и т. д., которые вызвали бы в нем относительные удлинения е, и т. д. и сдвиги и т. д., бывшие у элемента в то время, когда он составлял одно целое со всем телом. Связь между напряжениями и деформациями е и у определяется упругими свойствами материала тела. Нам нужно поэтому ввести определенное предположение относительно этой связи, и здесь мы, так же как и во всей книге, примем наиболее простое предположение, что материал изотропен, т. е. во всех направлениях имеет одинаковые свойства и что он подчиняется как закону Гука, так и вообще закону сложения действия сил тогда между напряжениями и т. д. и деформациями и т. д. будут иметь место соотношения, о которых мы уже говорили подробно в первой главе нашей книги. [c.252]

Как следует из экспериментов, в пределах линейно-упругих деформаций при чистом сдвиге касательное напряжение г и деформация сдвига 7 связаны законом Гука [c.118]

Сопоставляя теперь деформацию кольца с деформацией чистого сдвига (см. разд. 5.2, рис. 5.6), приходим к выводу, что такая деформация кольца должна сопровождаться появлением в плоскости поперечного сечения касательных напряжений т, направленных касательно к окружности поперечного сечения кольца (рис. 6.15). Эти касательные напряжения так же, как и деформации 7, однородны в окружном направлении. При линейно-упругих деформациях сдвиг 7 и соответствующее ему касательное напряжение г, как это следует из экспериментов на чистый сдвиг (см. разд. 3.5), подчиняются закону Гука [c.130]

Определение чистого сдвига, формулы напряжений и деформаций, а также выражения закона Гука и потенциальной энергии при чистом сдвиге даны в главе 3. Зависимости, полученные в теории чистого сдвига, могут быть обобщены для тех случаев, когда в поперечном сечении бруса отсутствуют нормальные напряжения или их [c.58]

Впереди зоны пластического возмущения или зоны разрушения распространяются упругие волны напряжений и деформаций. Следует различать волны смещений, волны деформаций, т. е. производных от смещений по координатам волны скоростей смещений, т. е. производных от смещений по времени волны напряжений, связанные с волнами упругих деформаций через обобщенный закон Гука. Волны смещений и скоростей имеют относительный сдвиг по времени — на четверть периода по координатам — на четверть длины волны. Из сказанного следует, что скорость и деформация максимальны при нулевом смещении и что деформация, как производная от смещения, равна нулю при максимальном смещении. [c.227]

Зависимость между напряжениями и деформациями при сдвиге в пределах пропорциональности (закон Гука [c.132]

Мы уже знаем, что между напряжениями и деформациями существуют различного рода зЛзисимости, характер которых устанавливается экспериментально. До сих пор эти зависимости рассматривались нами в частных проявлениях. Мы уже не раз писали условие пропорциональности между удлинением и нормальным напряжением и называли это условие законом Гука при растяжении. Мы не раз обращались к условию пропорциональности между касательными напряжениями и углами сдвига и называли это соотношение законом Гука при сдвиге. И вообще любые формы пропорциональности между силами и перемещениями, между напряжениями и деформациями мы для краткости связываем с именем Гука. Это просто и понятно. [c.39]

Закон Гука при сдвиге выражает линейную зависимость между сдвиговой деформацией у и касательным напряжением х, т.е. имеет вид где О -. нодуль сдвига. [c.21]

Не исключено, что некоторым преподавателям покажутся странными или сомнительными утверждения об отсутствии в этой теме, так сказать, чистой теории. Они возможно спросят А как же закон Гука.при сдриге Деформация сдвига Закон парности касательных напряжений Все эти вопросы не имеют отношения к данной теме, они рассматриваются при изучении чистого сдвига в, теме Кручение . Это вполне естественно, так как экспериментально чистый сдвиг можно осуществить только при кручении тонкостенной трубы. Мы останавливаемся на этом вопросе, несмотря на наличие в программе указаний о том, где рассматривать деформацию сдвига и закон Гука при сдвиге, так как до сих пор в ряде учебников (правда, со многими оговорками) рассматривают эти вопросы совместно с практическими ра счетами и некоторые преподаватели, к сожалению, склонны следовать указанным учебникам. [c.94]

Формула (71) представляет математическое выражение закона Гука при сдвиге. Входящая в эту формулу величина О называется модулем сдвига. Эта величина характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Так как у выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига О, как и модуль продольной упругости Е, имеет ту же размерность, что и напряжение н мм , кгс1см . Между величинами модуля упругости Е и модуля сдвига С существует зависимость, которую приводим без вывода [c.186]

Предположим, что касательное напряжение в любой точке поперечного сечения (рис. III.8, а) с координатами р, а направлено произвольно по отношению к радиусу. Разложим его на два компонента — нормальный к радиусу и Tjjp— направленный по радиусу. Рассмотрим деформацию элемента, вырезанного из бруса (рис. III.8, б). Отрезок О А = = ОА —из гипотезы жесткости сечения в своей плоскости у р = О — из гипотезы Бернулли (поперечное сечение остается плоским). Но т ,р = Gy р—закон Гука при чистом сдвиге, поэтому Т ,р = О и х = [c.90]

К изогнутому стержню можно применить те же соображения, которыми мы руководствовались при рассмотрении случая кручения вала. Здесь мы также исходим из предположения, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и после деформации. Если предел пропорциональности не перейден, то плоская форма сечений будет сохраняться с достаточной точностью во всех случаях, когда влиянием касательных напряжений на деформацию можно пренебречь. Мы предположим, что это условие выполняется и при переходе за пределы упругости и пропорциональногти. Тогда, аналогично тому, как это мы делали со сдвигами у> удлинения е в волокнах, удаленных на достаточное расстояние от нулевой линии сечения, можно разложить на две части е + е, причем удлинения г связаны с напряжениями, получающимися в сечении при изгибе, законом Гука. [c.294]

Для удобства интерпретации данных эксперимента необходимо получить зависимость между характе-pи тикa n сопротивления упругой деформации и величиной деформации сдвига. Если принять, что макрообразец из материала с поликристаллической структурой подчиняется закону Гука, то средняя удельная энергия упругой деформации на единицу объема при одноосном напряженном состоянии определяется по формуле [c.51]

Рассмотрим теперь вопрос о1.деФормациях при чистом сдвиве. Представим себе, что одна из граней элемента, выделенного площадками чистого сдвига, жестко закреплена (рис. 2.70). Тогда элемент примет вид, показанный на рисунке штриховыми линиями, т. е. деформация проявляется в изменении величин первоначально прямых углов между гранями элемента. Это изменение угла принято обозначать буквой и называть углом сдвига. Величина угла сдвига связана с величиной касательного напряжения законом Гукя при сдвиге [c.228]

Как уже указывалось выше, закон Гука справедлив для всех упругих тел, но только пока деформации не превосходят предела пропорциональности. Обычно при рассмотрении задач механики упругих тел предполагают, что деформации не превосходят этого предела. Это упр01цает все расчеты и позволяет применять принцип суперпозиции, который заключается в следующем. Представим себе, что мы подвергли тело какой-либо деформации, например растяжению, а затем другой деформации, например сдвигу. Пока предел пропорциональности не достигнут, модули и G, характеризующие упругие свойства тела, являются константами, не зависящими от того, деформировано уже тело или нет. Поэтому при сдвиге в теле возникнут такие же дополнительные напряжения т = G как и в том случае, если бы тело не было предварительно растянуто. Общее напряжение в теле будет представлять собой сумму тех напряжений, которые возникли бы, если бы тело было подвергнуто только растяжению или только сдвигу. Это и есть принцип суперпозиции (наложения) в применении к нашему конкретному случаю. Он справедлив потому, что упругие свойства тела не зависят от деформации (почему и соблюдается закон Гука). Пока всякая новая деформация вызывает такие же добавочные напряжения, как в отсутствие прежних деформаций, в результате многих деформаций получается напряжение, равное сумме всех тех напряжений, которые возникли бы, если бы каждая из деформаций существовала отдельно. [c.471]

Заметим, что так как при х = О, а деформация е,у = dvidy = О, то из закона Гука = (ау — иа )1Е и условия r . = О следует равенство ст,, = 0. Поэтому в точках примыкания к идеальным диафрагмам будет иметь место напряженное состояние чистого сдвига. [c.89]

Соотношение (16.1.5) означает существование единой кривой То — "fo для всех видов напряженных и деформированных состояний, точнее для всех путей нагружения или деформирования. Таким образом, существование этой кривой должно быть принято за первичный опытный факт, выполнение или невыполнение его при эксперименте служит критерием правильности или не-нравильности теории в целом. Величина иластического моду 1я сдвига Gs, определенная как функция октаэдрического сдвига fo, может рассматриваться и как функция октаэдрического касате льного напряжения То. Заметим, что принятая гипотеза, выраженная уравнениями (16.1.4) и (16.1.5), не предполагает разделения деформации на упругую и пластическую. Действительно, закон Гука для девпаторных составляющих тензоров напряжений и деформаций записывается так [c.534]

Перейдем к определению перемещений при безмомент-иом напряженном состоянии оболочек. Деформации 61, 62 II сдвиг срединной поверхности можно выразить через усилия N1, Л 21 Т по формулам закона Гука [c.243]

Упругость твердого тела. Согласно закону Гука между напряжениями и деформациями существует пропорциональная зависимость. Для изотропного тела связь между компонентами тензоров Tjjj и дается шестью уравнениями. При этом вводят две упругие постоянные модуль нормальной упругости Е (при осевом растяжении-сжатии) и модуль сдвига G. Вместо модулей Е и G вводят другую пару констант, например постоянные Ламе Л и р,, модуль объемного сжатия К и коэффициент Пуассона v. [c.5]

В теории упругости термин чистый изгиб призматического бруса подразумевает такую деформацию, при которой, кроме условий (12.1), имеет место строго определенное распределение на торцах поверхностной нагрузки, статическим эквивалентом которой являются моменты Ш, а именно распределение этой нагрузки по линейному — в зависимости от у (или х) — закону, если чистый изгиб происходит в плоскости Оуг Охг). При этом во всем брусе отсутствуют не только поперечные и продольные силы и крутящий момент, но и самоуравновешенные в пределах поперечного сечения напряжения, в том числе касательные напряжения, д следовательно, если учесть закон Гука, то отсутствуют и сдвиги. [c.97]

В гл. VII 1 тома при выводе уравнений закона Гука для изотропного материала было принято предположение коаксиальности тензоров напряжений и деформаций, вследствие чего, выделив из тела элементарный прямоугольный параллелепипед, грани которого совпадают с главными площадками, мы считали, что в процессе его деформации не происходит сдвигов, поскольку вследствие коаксиальности и Tg ребра пересечения главных площадок должны совпадать с направлениями главных деформаций. Здесь из энергетических соображений получены уравнения закона Гука для изотропного тела, совпадающие с выведенными в I томе, но без использования предположения о коаксиальности тензоров Тд и Те. Напротив теперь логика рассуждений иная — подобие картин [c.479]

С другой стороны, при малых х деформация упруга и справедлив закон Гука, т. е. напряжение пропор-ционально деформации. В случае сдвига деформацию Y определяют, как показано на рис. 82, и закон Гука принимает вид [c.151]

Соотношения (5-12) и (5-13) являются обобщенной формой закона Гука для упругого твердого тела. Они содержат два модуля упругости модуль упругости при сдвиге и модуль унр угости при растяжении (модуль Юнга). Так как эти величины связаны между собой, то можно преобразовать формулы (5-12) так, чтобы выразить соотношение между нормальными напряжениями и деформациями через модуль сдвига. [c.107]

С. Кулькарни и Д. Фредерик [82] исследовали взаимный контакт двух оболочек, вставленных одна в другую с зазором. Внутренняя оболочка нагружена давлением изнутри, вследствие чего входит в контакт с наружной. На торцах оболочки либо защемлены, либо свободно оперты. Решение строится с учетом деформаций поперечного сдвига. Определяется контактное давление, область контакта и напряжения в оболочках. М. В. Блох и С. Я. Цукров [16] при рассмотрении соосного контакта оболочек предложили учитывать поперечное обжатие путем интегрирования соотношения закона Гука для поперечной деформации. Это обжатие интерпретируется как податливость некоего фиктивного слоя на поверхности оболочки. [c.210]

Весьма важная серия опытов была проведена Росси в 1910 г.- . Росси изучал пластинки резины, желатина, целлюлоида и стекла — первые три под действием простого растяжения и четвертое—под действием простого сжатия. В случае резины и стекла он нашел строгую пропорциональность между напряжением и оптическим явлением, двойное лучепреломление исчезло, как только нагрузка была удалена. Деформация (несомненно для резины и весьма вероятно для стекла) обнаруживала значительное отклонение от закона Гука. Этот результат для стекла подтверждается старым одиночным наблюдением Файлона, который, наблюдая своим методом спектроскопа стержни под действием изгиба (см. 3.19), заметил, что при очень больших нагрузках некоторое определенное стекло давало заметную кривизну полосы, пересекающей спектр, причем эта полоса принимала почти V-образную форму непосредственно перед разрывом, происходившим действительно внезапно. Так как известно, что под действием изгиба без сдвига деформация изменяется линейно, при любых взаимоотношениях между напряжением и деформацией в материале, то это наблюдение показывает, что оптическое отставание лучей, конечно, не могло быть строго пропорциональным деформации, и Файлон доказал, что наблюдаемая кривая была в качественном отношении такой, какую следует ожидать, предполагая, что оптическое явление зависит только от напряжения. [c.227]

Аналогичный метод для определения остаточных напряжений можно применить и в случае кручения круговых цилиндрических валов. Если предположить, что при кручении вала за пределом текучести радиусы поперечных сечений остаются прямыми, то сдвиг будет пропорционален радиальному расстоянию, и закон распределения напряжений по радиусу при сдвиге изобразится кривой линией Отп (рис. 38). Если же допустить, что при разгрузке материал вала будет следовать закону Гука, то напряжения, представленные прямой линией Os должны быть вычтены из напряжений, представленных кривой линией Отп. Остаточные напряжения, вызванные пластической деформацией материала, показаны штриховкой. Величины этих напряжений найдем из того условия, что моменты кручения, соответствующие закону распределения напряжений Отпр, равны моментам, соответствующим линейному закону распределения напряжения Osp. Пластическую деформацию при кручении стержней некруглого поперечного сечения исследовали А. Надан ) и Э. Треффтц 2). [c.633]

Сопоставив соотношения (13.24) и (13.27), можно увидеть, что около винтовой дислокации нет нормальных напряжений, которые присутствуют около краевой. Соотношения (13.25) и (13.28) показывают, что при приближении к дислокации напряжения неограниченно возрастают, в то время как напряжение в кристалле не может превосходить теоретическое сопротивление сдвигу, к тому же закон Гука и линейные соотношения, определяющие связь упругих смещений и деформаций, которые были использованы, справедливы при дo taтoчнo малых деформациях. Поэтому соотношения (13.24) и (13.27) описывают упругие поля около дислокаций лишь на расстояниях г Го, где Го — постоянная, называемая радиусом ядра (или центра) дислокации при г < Го необходимо смещения в решетке находить методами теории твердого тела, непосредственно учитывающими межатомное взаимодействие. Сопоставление такого решения с зависимостями (13.24) и (13.27) показало, что Го (2 3)6. [c.438]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...