Решения в бесселевых функциях

Решения в бесселевых функциях. В п. 7.1 показано, что функции Папковича — Нейбера, решающие задачи о равновесии упругого цилиндра при радиально-симметричной деформации, представляются гармоническими функциями [c.346]

Решение уравнения (2.72) получается в бесселевых функциях [15]. [c.51]

Эту задачу можно решить и точно. Решение выполняется в бесселевых функциях, и в правой части выражения (3) мы получили бы вместо восьмерки коэффициент 7,83. Погрешность полученного приближенного решения составляет около 2%. Столь высокая точность достигнута надлежащим выбором аппроксимирующей функции, отражающей характер изменения не только изгибающего момента, но. и поперечной силы. Предлагавшаяся ранее тригонометрическая функция также дает неплохой результат 8,29. Погрешность —около 5%. Что же касается отвергнутой квадратической зависимости то здесь [c.149]

Для конической и сферической оболочек выводятся частные решения для всех усилий, моментов и перемещений, необходимые для расчета тепловых напряжений при этом особое внимание уделяется построению точных решений в специальных функциях (бесселевых, гипергеометрических). [c.116]

Это уравнение введением новой переменной кг приводится к уравнению Бесселя нулевого порядка для цилиндрической волны получается решение, выражаемое не в тригонометрических, а в бесселевых функциях аргумента кг. Это означает, что волновое движение при синусоидальной зависимости от времени выражается несинусоидальной зависимостью от координаты, в отличие от плоской волны, которая выражается синусоидальными зависимостями как от времени, так и от координаты. Лишь на больших расстояниях от оси цилиндрическая волна приближается к синусоидальной, как это следует из асимптотических выражений для бесселевых функций. Решение уравнения (2. 10) здесь не приводится, так как выбор частных интегралов зависит от условий задачи. [c.263]

Функция /2 равна нулю при х — О, а функция Яг имеет в этой точке особенность. В решение введена функция Ганкеля, так как это единственная из бесселевых функций, стремящаяся к нулю при неограниченном возрастании комплексного аргумента. По известным для функций Бесселя зависимостям перейдем от функций второго порядка к функциям нулевого порядка. При этом используем следующие формулы [c.180]

Особенности постановки граничных условий в задачах гидродинамики пучков как пористых тел. Уравнения фильтрации, сведенные к уравнению типа уравнения Лапласа относительно потенциальной функции (функции тока или давления), решаются при следующих граничных условиях на твердых стенках — условие непроницаемости (нормальная к стенке компонента скорости п = 0), на открытых границах — задание функции. Показано, что назначение на стенках или на некоторых фиктивных стенках условия прилипания при учете некоторой эффективной вязкости в уравнениях фильтрации мало изменяет решение. Профиль стационарного фильтрационного потока в плоском канале выстраивается по закону гиперболического косинуса, а в трубе— по закону Бесселевой функции, но заполненность этих профилей очень велика, а пристенный слой тонок. Поэтому практического значения условие прилипания не имеет, тем более что физический смысл этого условия здесь теряется в класси-200 [c.200]

Из выражения (7-5-17) при х=0 получаем решение (6-5-45 ), а при х = 0 и В1д = оо—решение (6-5-43 ) гл. 6, 6-5. Частные решения для отдельных форм тела (Л. 19] получаются из (7-5-17) и (7-5-48), если в них положить г =—Уг, О, и учесть связь бесселевых функций дробного порядка с тригонометрическими подобно тому, как это было указано в тл. 6, 6-5. Например, для шаровых частиц решения (7-5-17) и (7-5-18) примут вид [c.341]

Следует отметить, что эти решения переходят в решения, соответствующие изотермическому течению [см. уравнение (8)], если использовать в формуле (21) асимптотические выражения для бесселевых функций при малых значениях аргумента. [c.23]

Недостатком такой теории является, однако, то, что, будучи громоздкой, она в то же время недостаточно обща. Объясняется это тем, что возможности асимптотического метода ограничены и находятся (как видно из приведенного выше элементарного примера) в существенной зависимости от свойств коэффициентов дифференциальных уравнений (а для уравнений в частных производных и от свойств тех границ, на которых задаются краевые условия). Надо добавить также, что принятие быстроизменяющейся части решения в экспоненциальной форме (как это делает А. Л. Гольденвейзер) не исчерпывает всех возможностей асимптотического метода. Иногда удается строить асимптотические решения на базе других быстроизменяющихся функций (например, при расчете торообразных оболочек и решении некоторых задач сферической оболочки для этой цели успешно можно применить Бесселевы функции). [c.81]

Здесь /о и АГо — бесселевы функции соответственно первого и второго рода, от мнимого аргумента, В], Bj. —произвольные постоянные. Поскольку аргумент х — вещественное число, все входящие в уравнение (f) функции имеют комплексный вид. Для выделения вещественной части решения целесообразно ввести четыре новые функции, впервые использованные Кельвином и определяемые как ) [c.297]

Решениями дифференциального уравнения (ЮЛ) являются бесселевы функции первого рода Ji> z), которые представляются следующим разложением в ряд [c.511]

Пример 12.3. Рассмотрим устойчивость стержня постоянного сечения под действием собственного веса. Эта задача сводится к определению критического значения интенсивности q равномерно распределенной сжимающей продольной нагрузки (рис. 12.19). Решение этой задачи методом Эйлера приводит к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами, которое можно проинтегрировать с помощью бесселевых функций. В результате придем к решению [c.392]

Это — бесселева функция порядка s, первого рода. Как и для уравнения (2), здесь также существует второе решение, обращающееся в бесконечность при г = 0 для мембраны в форме сплошной окружности оно, конечно, непригодно. В данном случае имеем нормальные колебания вида [c.190]

Общее решение уравнения (14) дополнительно содержит бесселеву функцию второго рода , которой мы займемся в одном из следующих отделов нашего исследования ). [c.170]

В работе Е. В. Коваленко [21] предложен алгоритм построения приближенного решения одного класса интегральных уравнений первого рода, к которым сводятся задачи о действии кольцевого в плане штампа на линейно-деформируемое основание и, в частности, на упругое полупространство. В основе метода лежит использование процедуры Галер-кина в сочетании с теоремами сложения для бесселевых функций, позволившими представить коэффициенты линейных алгебраических систем в форме однократных интегралов, удобных для численной реализации. В частном случае осесимметричной задачи полученные результаты полностью согласуются с исследованиями аналогичной задачи, проведенными Г. Я. Поповым в монографии [28]. [c.139]

Будем искать решения для и (г) в виде ряда Фурье-Бесселя, расположенного по бесселевым функциям = [c.661]

Все приведенные решения дифференциального уравнения теплопроводности для различных условий представляют собой бесконечные ряды, содержащие тригонометрические и бесселевы функции и сложные характеристические уравнения. Для использования указанных решений в практических расчетах нагрева и охлаждения твердых тел их обычно рассчитывают для определенных численных значений входящих в них параметров с применением счетно-решающих устройств, а затем составляют графики, номограммы и таблицы этих расчетов. [c.54]

VP = sin (h p + 9>о) IJ (w) + (xr)] sin (x t + ), (9) rae и — бесселевы функции 1-го и 2-го рода порядка h. Общее решение представится суммой членов типа (9). Члены, содержащие функцию могут входить только для случая кольцевой М. для круговой М. параметр I д. б. равен нулю. Постоянные Ар, Ли, к и ч>о определяются из граничных условий и начальной формы М. число h определяет число узловых диаметров при данном h параметр частоты к может иметь целый- ряд значений в аависимости от числа (внутренних) узловых кругов р. Важный практич. случай колебания М., зажатой по окружности [c.362]

Замечание. Для стержней переменного сечения задачу о собственных колебаниях решают приближенными методами (см. гл. X). Точное решение в бесселевых функциях возможно для балок в форме клина или конуса. Примеры применения приближенных методов для определения собственных частот и собственных форм изгибных колебаний стержней можно найтн в [2, 35, 87, 100, 109]. [c.200]

Растяжение цилиндра касательными напряжениями, распределенными по поверхности близ торцов, а также сжатие цилиндра между двумя жесткими пластинками было исследовано Л. Файло-ном ), давшим решение в бесселевых функциях. Распределение напряжений, вызванных в длинном цилиндре равномерным нормальным давлением, действующим на узкую кольцевую полосу, представляет практический интерес, поскольку оно приблизительно воспроизводит насадку короткой шейки (муфты, втулки, подшипника) на длинный вал. Проблема обсуждалась целым рядом авторов ), и в настоящее время мы можем считать ее достаточно освещенной. [c.484]

Эти величины сильно отличаются от найденных точным методом (если брать решение для пластинки в бесселевых функциях) акад. Дннником А. Н., который получил соответственно [c.322]

К. Гарднер [7.9] предложил приближенный полуэмпириче-ский метод расчета круговой трубной решетки. Он считает, что нейтральная поверхность равномерно перфорированной пластины конгруэнтна ) нейтральной поверхности пластины того же радиуса и также нагруженной, причем изгибная жесткость ее пропорциональна цилиндрической жесткости коэффициент пропорциональности определяется экспериментально. Внешняя нагрузка на решетку от труб предполагается непрерывно распределенной, состоящей из гидростатического давления (внутри либо снаружи труб) и части, обусловленной прогибами обоих решеток, расположенных по концам труб. В результате расчет сводится к решению системы двух дифференциальных уравнений осесимметричной деформации сплошной круговой пластины на спошном упругом основании в бесселевых функциях. В дальнейшем автор анализирует различные варианты граничных условий для каждой из пластин. [c.340]

Решение ур-ния- (3 может быть дшо также в бесселевых функциях дробного иоррка [c.364]

Другое приложение общего решения задачи, выраженное через бесселевы функции, было дано Надаи при исследовании изгиба круглых иластинок силон, приложенной в центре ) (рис. 217). Метод, основанный на использовании преобразования Ханкеля и применимый к толстым плитам, иолубеско-нечному телу, контактным задачам и задачам о круговой трещине, ширеко использовал Снеддон ). [c.426]

Частные решения для неограииченной (пластины, цилиндра и шара в их обычном виде получаются из приведенных решений, если в них положить соответственно v =—Va 0 -f 7г- При этом следует иметь в виду связь бесселевых функций дробного порядка с тригонометрическими [c.283]

В цитированной выше работе акад. А. Н. Динника, а также в более ранней работе А. Коробова Устойчивость плоской формы изгиба полосы , Изв Киевск. политехи, ин-та , 19П г., даны решения и для других случаев гранич шх условий. С. П. Тимошенко также занимался этим вопросом, решая его с помощью своего приближенного метода. Особому нзучению подвергается вопрос о влиянии на устойчивость различного по высоте рлсположения точки приложения нагрузки. Решения А. Н. Динника даются в замкнутой форме и выражены через бесселевы функции (см. также его книгу Устойчивость упругих систем , 1935). Прим, ред. [c.330]

Здесь рассматриваются трансцендентные функции — гиперболические, Бесселя, Ломмеля и т. д., используемые при решении конкретных краевых задач для трехслойных элементов конструкций. Даются определения, основные свойства, описываются операции дифференцирования и интегрирования. Некоторые формулы интегрирования произведений бесселевых функций на тригонометрические функции и полиномы являются оригинальными, не встречавшиеся авторам ранее. В заключение рассмотрены обобш енные функции Хевисайда и Дирака. [c.509]

В. этом выражении Ур и Мр — бесселева и нейманова функции порядка р от аргумента vr V — волновое число, значение которого, как выяснится далее, определяется граничными условиями на боковых стенках трубы. Поскольку на оси трубы Ф должно быть конечно (а А/р(0) = — со), необходимо положить В р = 0. Порядок р бесселевой функции, очевидно, может быть равен только целому числу или нулю (р = 0, 1, 2, 3. ..), так как иначе функции 008/7 ср и 8ш/7ср, а значит и ЧР р не будут однозначны. Кроме того, в бесконечной трубе решения, содержащие множитель е очевидно, входить не должны, так как отраженных волн не будет. Вводя множитель и объединяя Ар, Ар, Ар в одну постоянную Ар, а В р, В р, В р в постоянную Вр, получим частное решение волнового уравнения в круглой трубе [c.139]

Задача о плоском штампе с круговым основанием ( 4), как указывалось в примечаниях главы 2, впервые рассмотрена Буссинеком для случая центрально нагружённого штампа. Для нецентрально нагружённого штампа решение было дано В. М. Абрамовым в работе Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство (Доклады Акад. наук 23, 1939, 8, стр. 759—763). Решение В. М. Абрамова, основанное на рассмотрении интегрального уравнения (2.11) при (х, у) = О, весьма сложно и требует знания некоторых специальных свойств бесселевых функций. [c.325]

Решение уравнения (10.54) выражается через бесселевы функции. Имеется несколько разновидностей этих функций (функции Бесселя, Вебера, Хапкеля и др.) для большинства из них составлены таблицы в широком диапазоне изменения аргумента. [c.410]

При Л<1 действует так называемое рэлеевское приближение, основанное на учете взаимодействия волны с осциллирующими диполями. Если h , решение может быть получено методом, изложенным Г. Маем (101) находится взаимодействие электромагнитного поля (уравнение Максвелла для бесконечной плоской волны) со сферой. Этот метод впервые был использован при исследовании рассеяния излучения в коллоидных суспензиях и показал хорошее совпадение (при h l) с экспериментом. Решение получается в виде бесконечного ряда Рикатти для бесселевых функций. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...