Связь деформаций с перемещениями и уравнения совместности деформаций

Связь деформаций с перемещениями и уравнения совместности деформаций [c.81]

Если выбросить из системы р лишних стержней, то из уравнений (2.6.1) найдутся напряжения в каждом из оставшихся, по формулам закона Гука через них выразятся деформации, и мы сможем вычислить перемещения узлов деформации оставшихся п — р стержней будут совместными. Но если лишние стержни не выброшены, то деформации их должны быть определенным образом согласованы с деформациями тех, с которыми они связаны. Поэтому должны быть выполнены уравнения совместности деформаций [c.58]

Авторы работ [146, 236, 240, 254, 265] предлагают решение контактной задачи без использования каких-либо аналогий и стыковочных элементов. В отличие от предыдущего подхода, где контактные элементы объединяют взаимодействующие тела в одну систему, для работ данного направления характерно раздельное рассмотрение контактирующих тел. При этом общая система пополняется определенным количеством уравнений совместности, кратным числу контактирующих узлов. Для решения задачи обычно применяется пошаговый процесс нагружения [240, 244] с уточнением граничных условий на каждом шаге итерационным методом. Приращения нагрузки выбираются достаточно малыми [146] для сохранения линейной связи между перемещениями и деформациями в пределах каждого шага по нагрузке. Такой подход требует многократного решения краевой задачи, а также построения сложных итерационных алгоритмов корректировки граничных условий. [c.12]

Уравнение совместности деформаций оболочки и подкрепления связывают перемещения / в любой точке для i-ro подкрепления с соответствующими перемещениями / <> соприкасающейся с ним поверхности оболочки. Эти соотношения вытекают из предположения о том, что каждое подкрепление соединяется с оболочкой вдоль единственной линии присоединения, лежащей на соприкасающейся с подкреплениями поверхности оболочки. Подробно это предположение обсуждалось в работе [8]. Таким образом, уравнение связи подкрепление — оболочка можно выразить в виде [c.243]

Если поставить цель из таких элементов, испытавших деформацию, составить сплошное тело, то в процессе объединения обязательно возникнут дополнительные упругие деформации. Указанные дополнительные упругие деформации вызывают дополнительные напряжения, с которыми они связаны законом Гука а 2 = Се 2- Условию совместности деформаций в этом случае должны удовлетворять суммарные деформации = + связанные с перемещениями уравнениями Коши е =А и , тогда = —Е/1 = А и —Вц и закон [c.471]

Относительно матрицы жесткости элемента К (1.111), (1.112) можно сказать следующее. Полученная с помощью интегрирования канонической системы (1.107) матрица жесткости одномерного элемента не связана с аппроксимациями по координате 5 полей перемещений, деформаций или напряжений и является точной в отличие от матриц жесткости, полученных в предыдущих разделах. В этом случае можно утверждать, что внутри элемента уравнения равновесия и совместности деформаций выполняются строго и соответствующие поля перемещений элемента содержат необходимые перемещения как жесткого целого. С использованием свойств матрицы фундаментальных решений (1.118) можно показать, что матричные блоки Kij, полученные согласно (1.112), обладают следующими свойствами Kii = Kii K2i = Ki2 К22=К22 , т. е. матрица жесткости К является симметричной. [c.34]

Связь между деформациями и перемещениями, задаваемая соотношениями (1.53) (эти соотношения называют также кинематическими уравнениями ), принципиально не позволяет полностью определить перемещения. С одной стороны, компоненты тензора деформаций должны удовлетворять определенным условиям (так называемым условиям совместности), с другой— при интегрировании появляются константы, которые соответствуют перемещениям твердого тела и вращению всего тела. [c.45]

Совместное решение этих трех групп уравнений позволяет определить все реакции связей, т. е. раскрыть статическую неопределимость. Поскольку при установлении реакций связей используются перемещения системы, можно утверждать, что они будут зависимыми от способности к деформированию отдельных частей механической системы. Следовательно, статически неопределимой можно назвать систему, реакции связей которой зависят от деформаций. С примерами таких систем мы уже знакомы. Так, при определении законов распределения напряжений (внутренних сил) по поперечному сечению при растяжении, кручении, чистом изгибе сначала записывали уравнения равновесия (связь напряжений с внутренними силовыми факторами, которые определены через внешние силы), затем — с использованием гипотезы плоских сечений связь между деформациями в различных точках сечения и дополняли полученную систему уравнений физическими законами. [c.508]

При освобождении жесткого бруса от связей получим пять реактивных сил , Т 2,, N2, которые вместе с активной силой р образуют плоскую систему сил, т. е. уравнений равновесия будет три. Задача дважды статически неопределимая. Как и ранее, запись уравнений начнем с условий совместности деформаций (для определения направлений продольных сил необходимо принять какую-нибудь форму деформирования системы). В нашем случае под действием силы Р жесткий брус будет поворачиваться относительно шарнира О. В силу малости перемещений (как и в ранее рассмотренных задачах) будем считать, что точки А, В, С перемещают- [c.519]

Дальнейшее развитие метода конечных элементов связано с так называемым гибридным методом напряжений. Для каждого элемента применяются формулы для напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия элемента. Независимо от этого выбираются формулы для перемещений, обеспечивающие совместность перемещений на границах элементов, причем распределение перемещений на границах должно однозначно устанавливаться по перемещениям узловых точек. При вариационной формулировке оперируют принципами минимума потенциальной энергии и минимума дополнительной энергии деформации или расширенным вариационным принципом (привлекается модифицированный принцип дополнительной энергии Пиана [44, 45]). [c.140]

В теории оболочек доказывается, что эти шесть деформаций являются завиоишми функциями и связь иевду ними формулируется в виде трех дифференциальных уравнений, называемых уравнениями совместности деформаций. Выполнение этих уравнений означает, что по заданным деформациям возможно построить перемещения, с точностью до смещений как жесткого целого. [c.22]

Ллойд Гамильтон Доннелл — известный в США и у нас в стране специалист по теории оболочек. Он завершил в 1930 г. в Мичиганском университете докторскую диссертацию, посвященную распространению продольных, волн и удару, под руководством С. П. Тимошенко. В 1933 г. он решил задачу об устойчивости тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки крнечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя Л. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. Л. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла — Муштари. Работы Л. Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории не прошли незамеченными для специалистов. [c.5]

К малому провисанию / иити в точке приложения к ней силы Р удлинение нити является величиной второго порядка малости. Для определения усилий в таких системах в принципе необходимо рассматривать равновесие в де рмированном их состоянии. Задача становится геометрически нелинейной. Поэтому совершенно очевидно, что говорить о линейности зависимости перемещения / течки приложения силы или удлинения 26 нити от силы Р недопустимо. В связи с геометрической нелинейностью системы она статически неопределима и наряду с уравнением равновесия приходится использовать уравнение совместности деформаций. Зависимость Р от f имеет вид [c.573]

На периферии трубная решетка имеет неперфорированную кольцевую часть и фланец с определенными конструктивными параметрами. В связи с этим в принятой расчетной схеме (рис. 137) рассматривают трубы 4, центральную перфорированную 1, ко.тьцевую неперфорированную 2 части решетки, фланец 3 и корпус 5. На базе решения уравнений совместности деформаций (перемещений и углов поворота) элементов системы получены расчетные уравнения для нагрузок (растягивающих N и перерезывающих Q сил, изгибающих моментов М), действующих в сечении трубы (Л т> в сечении кольцевой неперфорированной части решетки с центральной перфорированной частью (Q. , М , в сечении кольцевой неперфорированной части с фланцем (<3, М), в сечении фланца с корпусом (Л ,,, к)- [c.167]

Строгая математическая модель деформаций дЛя всей конструкции ЭМУ, состоящей из п тел, в соответствии с теорией упругости представляет совокупность п систем известных уравнений физических (закон Гука) для составляющих напряжений в точке, геометрических (условия совместности) для деформаций в точке от перемещений и статических (уравнения равновесия) для связи напряжений с проекциями объемных сил совместно со взаимосвязанными геометрическими и граничными условиями [3]. При этом предполагается, что нагрузки на элементы конструкции заданы. Это существенно, например, при рассмотрении температурных полей и деформаций и их взаимовлияршя. [c.120]

Заключая начальные сведения, отметим, что все задачи курса содержат три общие части статическую, состоящую в определении системы внешних и внутрзенних усилий геометрическую, заключающуюся в анализе схемы деформации элемента при заданных нагрузках с использованием условия совместностей деформаций физическую, состоящую в объединении статической и геометрической частей, с использованием уравнения связи между усилиями и перемещениями (в частности, закон Гука). [c.160]

Условие сцлошности. Все элементы тела должны не только находиться в равновесии, но все изменения их формы, вызванные возникающими в них деформациями, должны быть точно подогнанными друг к другу и после деформахщи, в противном случае между элементами будут происходить либо раскрытие трещин, либо перекрытие элементов (т, е. части разных злементов будут занимать одновременно одно и то же место). Это условие сплошности или совместности деформации выполняется путем удовлетворения геометрических соотношений между деформациями и системой перемещений в,, щ, Пг, являющихся непрерывными функциями X, у, Z ж направленными вдоль осей х, у, z. Из дешенйй одних только уравнений равновесия (3.4) не вытекает единственно возможное распределение напряжения по возможности они должны также удовлетворять представленным уравнениями (3.5) (или каким-либо иным условиям связи напряжения с деформацией для рассматриваемого материала) условиям сплошности, взятым вместе соответствующими соотношениями между деформациями и перемещениями. [c.116]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

В приведенных выше выражениях Т(Х , t) -искомое поле температур kjj Xj,t) — коэффициент теплопроводности в твердом теле p(X(,t), (Xj,t) — плотность материала и его удельная теплоемкость Q Xj,t) — интенсивность тепловьщеления q x ,t) — тепловой поток на поверхности тела, характеризуемой нормалью и h Xf,t) - Nu- в безразмерном виде) коэффициент теплоотдачи, определяемый для случая обтекания тела жидкостью с температурой T Xj,t) — температурой среды — выражениями (3.36), (3,37), Очевидно, что в общем случае уравнения теплопроводности (3.39) и теплопереноса (3,27) связаны и должны решаться совместно, делая тем самым задачу определения температурных полей в твердом теле трудноразрешимой. Дапее, Дх,-,г) - искомое поле перемещений в твердом теле G Xf,T, и,) к X(Xj,T,u/) - коэффициенты Ламэ e=Ujj - объемная деформация а(х,..Г) - коэффициент температурного расширения F(x-,t) — массовые силы Pj(x.,t) — внешние усилия, заданные на поверхности тела характеризуемой нормалью (например, давление теплоносителя в контуре, контактные уси- [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...