Обоснование неравенства

Излагаемое ииже обоснование неравенств (88,1) принадлежит Л. Д. Ландау (1944). [c.467]

В 15.1 даны обоснование неравенства (11.4) и оценка той погрешности, которая вносится при замене в уравнениях (11.5) точных равенств приближенными. [c.228]

Аналитическое выражение второго закона получено на основании анализа термодинамической системы, обменивающейся с внешней средой энергией как в форме теплоты, так и в форме работы. При этом именно энергообмен в форме теплоты был источником так называемой внешней необратимости. Но ведь существует и внутренняя необратимость, которая в чистом виде проявляется при отсутствии теплообмена с внешними источниками. Приведенные выше обоснования неравенств (3.46) в этом случае теряют силу, так как левая часть выражения (3.45) исчезает йд =йд=0. Для такой адиабатной системы энергообмен с внешней средой воз- [c.72]

Обоснование неравенства (3.33). Докажем формулу (3.33). Если а-а > 1," то ра = 1, т. 6. д д/др = 0. Значит, для а > 1 неравенство (3.33) выполняется. Пусть теперь аа<1. Тогда и ра <С 1. Докажем вначале, что [c.189]

Для обоснования неравенства (4.31) проверим вначале, что точка (1/2, 1/2) является точкой локального максимума функции N1 (т, х), а затем — что она является точкой и глобального максимума этой функции. Вычислим частные производные функции 2 (т, а ) по т и по а при т = а = 1/2. Имеем в силу (4.29) [c.204]

Отсюда и из (4.57) заключаем, что соотношение (4.60) имеет место. Наличие седловой точки , р позволяет переставить местами максимум и минимум в (4.55). Значит, оптимальная функция Р определяется из условия максимизации по х скалярной функции Уг (Рж, х) аргумента х сЕ [0, 1]. Отметим, что по существу именно такой способ рассуждений и был реализован в п. 5, где вначале построен профиль 5о, минимизирующий прогиб в точке 1/2, а затем установлено, что пара (1/2, Sq) является седловой точкой посредством обоснования неравенства (4.31), являющегося аналогом общего условия (4.57). [c.213]

В отдельных точках этот определитель может равняться нулю. Эти особые точки исключаются из рассмотрения. Обоснование неравенства (23) аналогично обоснованию неравенства [c.72]

После записи (1.18) доказательство неравенства вида (1.2) для систем с комплексными корнями сводится к обоснованию неравенств, записанных в виде [c.19]

Ое = О и материал следует уравнению (2.12.17), обоснование неравенства г > п несколько сложнее (см. [162]). [c.366]

Для обоснования последнего неравенства воспользуемся следующим свойством функции р t, т), определяемой соотношением (2.7) и равной отношению напряжения в момент времени I к величине постоянной деформации, приложенной в возрасте т Из требования, что напряжение при постоянной деформации не меняет знака, следует справедливость при всех t, т неравенства [c.89]

Метод расчета по предельным состояниям совершеннее метода расчета по допускаемой нагрузке, ибо он позволяет правильнее учесть многие обстоятельства, такие, как неодинаковость ожидаемой вариации различных видов нагрузки, неодинаковость ожидаемой вариации свойств различных материалов. Эта большая совершенность метода выражается не только в возможности более обоснованного выбора численных значении отдельных коэффициентов, нежели выбор общего коэффициента запаса в расчете по допускаемой нагрузке, но ив более правильной в принципиальном смысле структуре условия надежности. Коэффициенты в условии (3.39) расположены так, что при невыполнении (3.42) невозможно получить из (3.39) неравенство, аналогичное по структуре условию (3.41). Позднее будет показано, что в ряде случаев наиневыгоднейшей является такая комбинация нагрузок, при которой некоторые нагрузки не достигают своего максимума. Это обстоятельство также поддается учету при расчете конструкции по предельным состояниям. При указанном расчленении общего коэффициента запаса мыслим научный подход к установлению величины отдельных коэффициентов, в то время как величина общего коэффициента запаса в расчете по допускаемым нагрузкам или по допускаемым напряжениям назначается ощупью, лишь с учетом опыта эксплуатации. [c.213]

И толщину зубьев принимают соответственно равными окружному шагу и половине окружного шага плоского исходного колеса посередине ширины зубчатого венца, умноженным на косинус среднего угла наклона линии зубьев плоского исходного колеса с = = 0,25 и . В технически обоснованных случаях допускается неравенство толщины зуба и ширины впадины по средней линии, изменение величин hi, с и р/, если это не нарушает правильности зацепления и не препятствует использованию стандартного инструмента. [c.321]

Это неравенство не учитывает моральный износ оборудования-и потери, связанные с многократным капитальным ремонтом устаревших машин и другого оборудования. Аналогичные недостатки имеют и другие методики, предлагаемые рядом авторов для обоснования экономической эффективности замены старого оборудования. [c.262]

Эти неравенства определяют пирамиду видимости аналогично неравенствам (12.15). Перенос и масштабирование координаты Zp для получения Zg в той же мере обоснован, что и аналогичные операции для и Y (см. упражнение 13.3). [c.275]

Нормирование Д в виде некоторой части Д возможно по схемам, приведенным в разд. 8.3, если имеется уверенность, что А задана обоснованно. Если есть основания ожидать, что Д/ > Д / и что Д//Д хотя и уменьшится в результате применения СО, но неравенство Дi > Л останется в силе, то дальнейшая тактика — по схеме, приведенной для варианта 1 применительно к ситуации, когда Д( > Д . [c.117]

В технически обоснованных случаях допускается неравенство делительных толщин зубьев и 5 2 в паре исходных контуров, изменение глубины захода А -, радиального зазора с и радиуса Р/(от 0,15т до 0,35т ) и соответственно граничной высоты А/, а также применение переходной кривой, отличной от дуги окружности, если указанные изменения не нарушают правильности зацепления и не препятствуют использованию стандартного инструмента. [c.538]

Если вариационные постановки для основных краевых задач математической физики и теории упругости известны давно, то для задач с односторонними ограничениями сформулированы только в последнее время. Одной из первых на эту тему является работа [379], в которой показано, что контактная задача теории упругости с односторонними ограничениями (задача Синьорини) сводится к вариационному неравенству. В дальнейшем вариационные неравенства и их приложения в механике и физике рассматривались в [26, 71, 85, 115, 167, 216, 283, 376, 381, 486 и др.]. В частности, статические и динамические контактные задачи теории упругости с трением вариационными методами рассматривались в работах [185—189, 326], контактные задачи для тел с трещинами — в [34, 75, 86, 164, 165, 175, 271, 365, 575], линейные и нелинейные контактные задачи теории оболочек — в [229, 310], а граничные вариационные неравенства применительно к решению контактных задач — в [138, 366—368, 432, 510, 534, 540]. Алгоритмы решения вариационных задач с ограничениями в виде неравенств, их теоретическое обоснование и вопросы численной реализации рассмотрены в [72, 111, 338, 420, 475 и др.]. Подробный обзор работ по применению вариационных неравенств в задачах механики твердого деформируемого тела дан в [365]. [c.82]

Это условие называют условием сильной эллиптичности или сильным условием Адамара—Лежандра, если для всех ненулевых векторов Ь и с выполняется строгое неравенство. Приведём теперь некоторые возможные обоснования этих условий. [c.283]

С-неравенства эквивалентны правдоподобным требованиям на классы статических мер деформаций. Одно из таких обоснований может быть получено на основании результата упр. X. 1.1. Более обш.им образом, (IX. 3-3) дает [c.314]

Обоснование 4 мы также рассмотрим позднее при изложении теории конечных деформаций, однако даже в теории бесконечно малых деформаций оно пе адекватно, поскольку (X. 1-1)- лишь достаточно, но не необходимо для того, чтобы скорости волн были действительны и отличны от нуля. Например, как мы увидим в XI. 8, для изотропных материалов необходимыми и достаточными условиями служат более слабые неравенства [X > О, + 2[х>0. Таким образом, обоснование 4 никак нельзя развить в адекватное основание для получения априорного неравенства. [c.315]

Теорему Колемана можно интерпретировать в терминах ограниченной устойчивости и ограниченной выпуклости. Предположение (5) обеспечивало бы даже больше (иа самом деле гораздо больше), чем устойчивость, если бы не ограничение Рг2)=8Р(г1). Аналогично (ХП. 10-1) без этого ограничения означало бы, что функция а(Р) является выпуклой. Теорема Колемана служит для того, чтобы дать обоснование принимаемого в статике предположения, что упругий материал является гиперупругим И удовлетворяет С-1 -неравенству. [c.372]

Поскольку для частот ш, отвечающих области прозрачности, Ime,y(o), A) = 0, обращение в нуль знаменателя под интегралом в (2.73) не может иметь значения, т. е. сам этот интеграл в области прозрачности не является несобственным. Строго говоря, такая аргументация неточна, так как какое-то (пусть очень малое) поглощение всегда имеется и это было использовано в п. 1.2 для получения ряда соотношений. С другой стороны, вклад в интеграл (2.73) от области прозрачности все равно должен быть очень мал. Нужны же приведенные рассуждения только для обоснования возможности дифференцировать интеграл (2.73) в области прозрачности по параметру — частоте ш. Поступая таким образом, что в итоге представляется вполне законным (это следует и из сказанного и из характера результатов, одним из которых является неравенство (2.72)), имеем [c.87]

Ряд результатов представляет общий интерес для математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана, асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существования и единственности обобщенных решений краевых задач теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи исследуются единым функциональным методом на основе теоремы Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве. [c.8]

Пусть W = В х Кг, тогда если матрицы м и 2 коммутативны и выполняется условие 3, то в соответствии с рассуждениями, приведенными при обосновании неравенств (2.52), оператор Аг является положительным. При этом легко доказьшается неравенство [c.77]

Во-вторых, ограничения пригодны только для таких изменений состояния системы, при которых меняются интенсивные свойства фаз, так как иначе частные производные сопряженных переменных либо тождественно равняются нулю, как, например, (dPjdV)T при равновесии жидкость—пар в однокомпо-нентной системе, либо не существуют (бесконечны), как, например, Ср при температуре плавления индивидуального вещества. В гомогенных системах такие процессы также должны учитываться, что делалось выше при выборе и обосновании знака неравенства (12.29), но они, как нетрудно заметить, не влияют на ограничения (13.9) — (13.11) и другие, которые получаются из (12.29) при условии постоянства хотя бы одной из термодинамических координат системы. Этим исключается влияние процессов, единственным результатом которых было бы изменение массы системы. Так, неравенства (13.9) — (13.11), (13.21) относятся к закрытым системам и для их вывода важно знать значение не полного определителя формы (12.29), а его главных миноров. Последние должны быть определены положительно в термодинамически устойчивой системе (см. примечание на с. 123). [c.128]

Остановимся еще на одном, казалось бы парадоксальном, примере. Из решения плоской задачи теории упругости для бесконечной области (безразлично — бесконечной или полубеско-нечной) будет следовать, что при неравенстве нулю главного вектора внешних сил перемещения оказываются бесконечными. В этом нет ничего удивительного, поскольку при рассмотрении плоской задачи (допустим, в случае плоской деформации) с позиций пространственной задачи оказывается, что суммарное усилие обращается в бесконечность. Следует заметить, что переходы к бесконечному телу при решении задачи в напряжениях и перемещениях не эквивалентны друг другу. Если в напряжениях переход и возможен, то в смещениях он может и быть ошибочен, что и подтверждается приведенным примером. Для устранения же бесконечных смещений можно предложить, например, такой спосЪб. После того как решение в деформациях определено достаточно точно из решения для бесконечного тела, находят по ним смещения в истинном теле, исходя из его фактических размеров и краевых условий. Разумеется, строгое обоснование предлагаемого подхода затруднительно для общего случая, но в частных задачах, по-видимому, оно может быть достигнуто. [c.304]

Для изотропных материалов экспериментально было обнаружено, что энергия, затраченная на продвижение трещины, относительно постоянна. Поэтому большая часть усилий была сконцентрирована на изучении различных методов вычисления затраченной энергии, причем игнорировалось обоснование сделанного выше упрощения. Анализ энергетического неравенства (И) показывает, что левая часть (11) постоянна тогда и только тогда, когда Цравая. часть неравенства является функцией одного параметра. Это на самом деле соответствует случаю изотропного разрушения, когда под действием любого сложного плоского нагружения наблюдается неустойчивый рост трещины в направлении, ортогональном направлению максимального нормального напряжения около кончика трещины (например, см. работу [15]). Иначе говоря, в изотропном материале со случайно распределенными трещинами равной длины (рис. 9) только трещина, перпендикулярная действию нагрузки, является критической и только один вид испытания — растяжение в направлении, перпендикулярном трещине,— необходим для определения характеристики разрушения такого материала. [c.228]

Остановимся теперь на особенностях определения собственных значений и собственных форм составных систем, включающих подсистемы с сосредоточенными и сосредоточенно-распределенными параметрами (см. рис. 76). При отсутствии нулевых значений i согласно (13.23) и кратных элементов со,- матрицы Q системы (13.22), как указывалось в 13, можно обоснованно усекать бесконечномерную модель (13.22). Будем полагать, что для рассматриваемого ограниченного частотного интервала (О, % ) выполняется неравенство (13.24). Тогда проблема собственных спектров эквивалентной усеченной модели (13.22) на указанном частотном интервале решается на базе дихотомического алгоритма (14.10), (14.11) и вычислительной схемы (14.44). Возможные дополпительпые модификации расчетной модели (13.22), связанные с наличием нулевых Сг или кратных сог, рассмотрены выше. [c.240]

И. 1 Л )каз1,1 . аемого в обоснование излагаемого метода следует, что е неограниченным увеличением и функция А w2( p) сходится к Л o (lp), если /ф—где h — достаточно мало, причем бьгст-рота сходимости оцепиваетея неравенством [c.58]

Согласно работам [184, 227, 230] наиболее теоретически обоснованным ограничением, связанным с построением моделей разупроч-няющихся сред, является условие Адамара (при строгом неравенстве называемое условием сильной эллиптичности) [c.195]

В обоснование формулы (4.8) напомним, что в квантовой механике пространственная координата и сопряженный ей импульс Pi не могут быть одновременно точно заданы. Л икроскопическому объекту значения этих величин могут быть приписаны лишь в пределах неопределенностей Aqi и Api, связанных неравенством Гейзенберга [c.30]

Отметим, что идентификацию коэффициента трения или — в более общем случае — идентификацию параметров закона трения производят обычно путем использования данных квазистатических экспериментов. В этом случае в определении множества Е выпадает последнее уравнение, в квазивариационном неравенстве (15) выпадает слагаемое, отвечающее силам инерции, а теоремы, дающие математическое обоснование постановки задачи, доказываются на основании соответствующих теорем из теории оптимального управления параболическими системами. [c.483]

Теперь ыохко проверить вьшолнение неравенства (48), постулированного выше. Если. подставить резонанснов значение частоты согласно (51) в (48), то зто неравенство приобретёт простой вид aнеоднородность среды в х оризонтальном направлении (вдоль оси х ) должна быть слаба по сравнению с неоднородностью среды вдоль вертикальной оси г. Выше мы уже предполагали, чю это условие выполняется, и,таким образом, неравенство (48) является обоснованным. [c.90]

Уравнение (2.32) предполагает, что на п + 1)-м шаге входная амплитуда представляет собой линейжую комбинацию входной и выходной амплитуды на п-м шаге. Алгоритм (2.32) аналогичен алгоритму входа-выхода [5], ж предыдужще рассуждения следует рассматривать как теоретическое обоснование его оптимальности. Для алгоритма (2.32) среднеквадратичная ошибка амплитуды не возрастает с ростом числа итераций при условии, что параметр 7 удовлетворяет неравенству О < 7 2. Действительно, введя обозначения [c.55]

Si (г) и 5г(г) нигде не убывают в области R с ростом г. Константа у положительна по определению, и поэтому последнее неравенство очевидно. Таким образом, вариационный подход, реализуемый на основе алгоритмического построения минимизирующей последовательности в Ф т , гарантирует однозначность решения обратной задачи в форме (1.108). Разумеется, этого уже нельзя сказать о решении системы (1.110). Для исследования подобных задач нужны иные аналитические подходы, и мы их уже в какой-то мере касались в разделе 1.3.2, когда говорили о так называемых регуляризирующих операторах. Доказательство выпуклости множества интегральных распределений приводилось не только в целях обоснования вычислительного алгоритма, но и с тем, чтобы показать еще одно важное аналитическое свойство, присущее этим функциям. В соответствии с выпуклостью каждое распределение можно считать композицией двух других интегральных распределений, если подобрать надлежащим образом константу у. [c.67]

Это неравенство называется G No y лoвueм ). Удостоверимся, что оно включает в себя как частный случай ряд условий, которые были предложены для изучения как имеющие некоторое правдоподобное обоснование. [c.319]

Мы видим, что для частного случая материалов, определяемых соотношением (14), неравенство Планка есть следствие неравенства Клаузиуса—Дюгема. Поэтому более общее неравенство (13) согласуется с любыми экспериментальными обоснованиями, которые есть у классических теорий и их недавних обобщений. Это неравенство показывает нам также, что мгновенно-упругая реакция нё обязательно влечет за собой квазн-упругое поведение. [c.475]

Обратные неравенства, обоснованные в разд. 3.2,. можно найти во многих местах. Советуем специально работу Деклу [3] [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...