Уравнения движения вращающегося тела

Уравнения движения вращающегося тела [c.245]

ЗБ9. Уравнение движения. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, представляет собой систему с полными связями, так как его положение зависит только от одного параметра, а именно от угла, на который тело поворачивается от какого-нибудь определенного положения. [c.81]

Сила Кориолиса. Равенство (4. 102) является основным кинематическим уравнением, служащим для получения динамических уравнений движения твердого тела. Однако оно применимо не только к движению твердого тела, но и к движению материальной точки или системы материальных точек во вращающейся системе координат. Одной из наиболее важных задач этого рода является задача о движении материальной точки относительно системы, связанной с вращающейся Землей. [c.154]

Физический маятник. Уравнение движения неуравновешенного тела, вращающегося около горизонтальной оси, имеет вид [c.144]

В общем трехмерном случае балки, изогнутой моментами и силами, приложенными на концах, дифференциальные уравнения эластики имеют такую же форму, как и уравнения движения тяжелого тела, вращающегося относительно неподвижной точки. Эта аналогия была отмечена Кирхгофом в 1859 г, и называется динамической аналогией Кирхгофа [6.38], В частном случае действия только продольных сил, приложенных на концах стержня, дифференциальное уравнение [c.258]

Кинетические аналогии Кирхгофа. Мы переходим к применению развитой в предыдущей главе теории. Начнем с доказательства теоремы Кирхгофа, устанавливающей совпадение уравнений равновесия тонкого стержня, который в начальном состоянии был призматическим, а затем деформирован силой и парой, приложенными в конце, с уравнениями движения твердого тела, вращающегося около неподвижной точки. [c.416]

Уравнение (66) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела. Из него следует, что произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающемуся моменту [c.323]

При решении задач уравнением (66) целесообразно пользоваться тогда, когда система состоит только из одного вращающегося тела. Если в системе кроме одного вращающегося тела есть еще другие движущиеся тела (см., например, задачи 134, 140 и т. д.), то уравнение движения лучше составлять с помощью общих теорем или методов, изложенных в 141 и 145. [c.324]

Решение обратных задач динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, представляет значительные трудности. Дифференциальные уравнения движения, т. е. динамические уравнения Эйлера, решаются в квадратурах только в исключительных случаях. [c.542]

Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела в общем случае позволяет решать две основные задачи по заданному вращению тела определять вращающий момент внешних сил и по заданному вращательному моменту и начальным условиям находить вращение тела. При решении второй задачи для нахождения угла поворота как функции времени приходится интегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения. Методы его интегрирования полностью аналогичны выше рассмотренным методам интегрирования дифференциального уравнения прямолинейного движения точки. [c.304]

Предположим, что тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Ог, находится под действием системы сил Р , р2,. .., (рис. 8). Чтобы составить уравнение вращательного движения этого тела, используем третью формулу из равенств (1.60) и уравнение (1. 70с). Имеем [c.71]

При вращении тела вокруг неподвижной оси различные точки его движутся с неодинаковыми линейными скоростями и ускорениями, поэтому основное уравнение динамики, устанавливающее связь между силой, массой и ускорением для материальной точки, применить для вращающегося тела нельзя. Кроме того, вращательное движение возникает в результате действия не силы, а момента силы (пары сил), что также не позволяет применить уравнение Р=та к случаю вращательного движения. [c.175]

Выражение (1.136) называют основным уравнением динамики для вращательного движения твердого тела. Словесная формулировка этого уравнения вращающий момент равен произведению момента инерции тела на его угловое ускорение. [c.170]

Уравнениями движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, являются уравнения, связывающие параметры (эйлеровы углы), определяющие положение тела, со временем [c.271]

Решение. Согласно условию задачи закон движения тела известен скорость центра масс тела v=v(0, 0=9(0, ф=ф(0> = =1 з(/ ). Из первого уравнения Эйлера находим равнодействующую сил, приложенных к вращающемуся телу, [c.200]

Вернемся к задаче о вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси, которая была уже рассмотрена раньше ( 111), но не будем ограничиваться теперь только выводом уравнения движения тела, а найдем еще и реакции в точках закрепления оси вращающегося тела, осуществив закрепление этой оси при помощи подпятника и подшипника. [c.735]

Если сравнить (39.13) с уравнением движения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, то видно, что Lj прецессирует вокруг В с угловой частотой 0)j. Если магнитный момент атома возникает [c.224]

Прецессия заряженных тел в магнитном поле. Из предыдущего параграфа видно, что движение симметричного волчка в гравитационном поле является в общем случае весьма сложным. В противоположность этому движение вращающегося заряженного тела, находящегося в однородном магнитном поле, имеет сравнительно простой характер. Тем не менее, мы рассмотрим это движение, так как оно играет важную роль в атомной физике. Вместо уравнений Лагранжа в данном случае проще [c.198]

Твердое тело с одной осью симметрии, главные моменты инерции которого равны А, А, С, может качаться около одной из экваториальных осей, занимающей горизонтальное положение. Эта ось установлена в вертикальной раме, вращающейся с постоянной угловой скоростью ш около своего вертикального диаметра, проходящего через центр масс твердого тела. Составить уравнения движения и доказать, что устойчивым будет вертикальное или горизонтальное положение оси симметрии в зависимости от знака неравенства С А. [c.212]

Уравнения того же типа применяются также и к случаю движения относительно вращающегося тела ( 80), если заменить теперь U через V—Гц, где Tq — кинетическая энергия системы при вращении с относительным покоем" в конфигурации q , q , q ). [c.246]

Доказать, что уравнения движения гироскопической системы с тремя степенями свободы могут быть приведены к такому же виду, как и для материальной точки, прикрепленной посредством пружины к телу, вращающемуся около неподвижной оси. [c.259]

Составить уравнение движения тяжелого твердого тела, вращающегося вокруг негоризонтальной оси. [c.60]

Вращающийся волчок. Обратимся теперь к задачам о движении твердого тела, имеющего ось симметрии. Начнем с известной задачи о вращающемся волчке, рассматривавшейся нами в 8.6 — 8.10 на основе метода Лагранжа. До сих пор уравнения Гиббса — Аппеля мы использовали только в неголономных системах, где наиболее ярко проявляются их преимущества. Разумеется, их можно применить и к голономным системам, в частности к задаче о волчке. Помещая начало координат О в острие волчка и направляя [c.230]

Уравнение Бернулли для относительного движения. При нахождении трубки тока несжимаемой жидкости на вращающемся теле уравнение Бернулли принимает вид [c.395]

Впервые общая картина поведения различных гироскопических систем с быстро вращаюищмся симметричным ротором была, как уже упоминалось, обрисована в классических докладах Л. Фуко, а затем — в фундаментальной монографии В. Томсона и П. Тэта. Следующим шагом в развитии механики гироскопических устройств, позволившим перейти к количественному изучению их движения, был четырехтомный труд Ф. Клейна и А. Зоммер-фельда . Наряду с подробным изложением случаев интегрируемости уравнений движения твердого тела здесь впервые четко формулируется понятие <бкстрого динамически симметричного гироскопа, указывается, что он может совершать псевдорегулярную и вынужденную прецессию, и даются обоснованные количественные оценки угловых ошибок, с которыми следует Считаться, полагая, что вектор кинетического момента гироскопа совпадает с осью его фигуры, т. е. пользуясь допущением прецессионной теории. Авторы впервые изучают влияние трения в опоре и сопротивления среды на движение быстро вращающегося гироскопа. В четвертом томе этой работы имеются также результаты исследования различных конкретных гироскопических устройств, в частности, гиростабилизаторов непосредственного действия, о чем будет сказано особо. [c.168]

Эти уравнения одинаковы с уравнениями движения твердого тела, к которому присоединен вращающийся жироскоп. Ось вращения этого жироскопа образует с осями Ох, Ог/, Ог 1/глы, косинусы которых находятся в отношении [c.183]

Из уравнения (11.19) следует, что при заданных характеристиках течения и начальных условиях движение тела зависит только от значения параметра СоА1т. Для тела, совершающего сложное вращение, это значение в принципе можно определить экспериментально. К сожалению, по данному вопросу в настоящее время имеется, по-видимому, незначительная информация. В работе [11.10] содержатся сведения о движении вращающегося тела при параметрах потока, соответствующих числам Маха от 0,5 до 3,5. Эти данные были экстраполированы в [11.11]. для более низких дозвуковых скоростей. Согласно этой экстраполяции, значение СоЛ для беспорядочно вращающегося куба приблизительно равняется среднему значению произведений проекций площадей (прн всех статистически возможных его положениях ) на соответствующие статические коэффициенты лобового сопротивления. Если отсутствуют другие экспериментальные данные, по-видимому, допустимо принять, что эффективное произведение Со А задается выражением [c.310]

При решении ряда задач динамики механизм с одной степенью свободы можно заменить одной эквивалентной ему материальной точкой пли вращающимся вокруг неподвижной оси телом. Хотя масса этой заменяювщй точки и момент инерции этого заменяю1цего гела в общем случае и являются величинами переменными тем не менее такая замена позволяет получить динамические уравнения движения механизма в более простом и компактном виде и облегчает задачу составления указанных уравнений. Для осуществления такой замены вводим понятие приведенной массы и приведенного момента инерции механизма. [c.54]

Уравнение (66) по своему виду аналогично дифференциальному уравнению прямолинейногог. движения точки (см. 77). Поэтому имеется аналогия и между самими названными движениями, и все результаты, получаемые для прямолинейного движения точки, будут справедливы и для вращательного движения твердого тела, если в них заменить соответственно силу F, массу т, координату х, скорость V и ускорение а точки на вращаюищй момент М , момент инерции Уг. угол поворота ф, угловую скорость to и угловое ускорение е вращающегося тела. [c.324]

Уравнение вращательного движения. Построим систему координат xOyz, направив ось Oz по оси вращения тела (рис. 21). Эта система неподвижная и не связана с вращающимся телом. Будем называть такие системы координат основными. Построим теперь другую, подвижную, систему координат x Oy z, направив ось Oz также по оси OOi вращения тела, а ось Ох — на какую-либо точку Ki тела. Эта система координат неизменно связана с телом и пово- — [c.53]

Действительно, скорость гочек вращающегося как целое тела V = [Qr] тогда rot v = 2Й и для скорости изменения директора получается такое же выражение dnidt = [Qn I. Члены же, зависящие от Wjft, должны быть составлены с учетом требования п dnIdt = О, следующего из постоянства квадрата п = 1. Таким образом, приходим к следующему общему виду уравнения движения директора [c.209]

Поверхность, образованную движением. мгиовенней оси в 0 неподвижном пространстве, будем называть неподвижным аксоидом, а во вращающемся теле — подвижным аксоидом. Исключая время из уравнений (18), получим уравнение неподвижного аксоида, исключая время из уравнений (19), получим уравнение подвижного аксоида. [c.275]

Уравнение (2), или (3) представляет собою дифференциальное уравнение враищтельного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет решить следующие две задачи 1) зная момент инерции Jz тела относительно оси вращения 2 и вращающий момент МА найти Ф=/ I), т. е. закон вращения тела или его угловую скоростыи 2) зная момент инерции относительно оси вращения г и зная закон вращения, т. е. <р=/ ), найти вращающий момент Решение первой задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения (3) решение же второй задачи сводится к простому дифференцированию функции <р=/(О по времени. [c.681]

Возмущающие влияния вращения земного шара на движущиеся на его поверхности тела тем заметнее, чем их скорость больше. Но на такие тела, находящиеся в быстром движении, например, на ружейную пулю, действует, вообще, множество других возмущающих причин, и наблюдение почти невозможно. Однако гении Фуко преодолел и это затруднение. Он воспользовался свойствами движения тяжелого тела, подвешенного в своем центре тяжести и быстро вращающегося вокруг оси симметрии, и показал, что ось такого тела должна сохранять постоянное направление, а потому, если она направлена на звезду, то она должна следовать за этой звездой в ее суточном движении. Этот прибор Фуко получил название гироскопа. Другие приборы того же рода построили Сир (Sire) и Жильбер. Дальше мы приведем теорию одного из этих приборов, называемого барогироскопом, как приложение уравнений Лагранжа. [c.249]

В этой главе, после установления общих уравнений, на которых основана вся динамика неизменяемых систем, мы будем рассматривать, в частности, более простые случаи, а именно твердые тела, вращающиеся вокруг некоторой оси или движущиеся параллельно неподвижной плоскости. В двух следующих главах мы рассмотрим классические вопросы, относящиеся к движению твердого тела около одной из своих точек, с приложением их к гироскопам (гл. VIII), и некоторые типичные задачи о качении (гл. IX) и закончим указанием на исследования Вольтерра о неизменяемых системах с циклическими внутренними движениями. [c.7]

Чтобы получить уравнения, описывающие движение твердого тела, воспользуемся теоремами об изменении количества движения и момента количеств движения. Обе части соответствующих этим теоремам уравнения (5) п. 86 и уравнения (8) п. 87 спроектируем на оси вращающейся системы координат Oxyz. [c.177]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Уравнения (279) имеют точно форму уравнений Лагранжа, но Н теперь содержит также члены первой степени относительно скоростей. Движения не могут происходить точно в обратном порядке. Маятник, с которым соединен вращающийся волчок, имеет (как мы это уже видели в 22) для колебаний, при которых его центр тяжести движется по кругу, разные периоды колебаний для одного и для другого направлении обращения, в то время как волчок вращается в одну и ту же сторону. Совершенно аналогично этому потенциал электрических токов, если имеются постоянные магниты, содержит члены, линейные относительно сил тока или скоростей. От этого обстоятельства зависит электромагнитное вращение плоскости поляризации света. Эта поразительная аналогия, разумеется, не служит доказательством того, что при только что упомянутых физических явлениях действительно играют роль скрытые вращательные движения. Но эта аналогия может быть самым естественным образом объяснена этой гипотезой и указывает во всяком случае на то, что сравнительное изучение обоих родов явлений обещает объяснение дальнейших фактов. Движение твердого тела, рассматриваемое в описанном примере, является, между прочим, чистым моноциклом, если силы 9I и имеют как раз такие значения, что А иС меняются очень медленно в сравнении с В, в противном случае это — смешанный моноцикл. [c.495]

Применение принципов. Рассмотренные нами принципы применяются главным образом, для получения уравнений движения (в частном случае, равновесия) произвольных несвободных материальных систем. В виле примера выведем с помощью принципов Даламбера и Гамильтона уравнение движения для твйрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной прямой. Примем ату прямую за ось Oz неподвижных осей координат Oxyz и за ось ОГ подвижных осей 0 rif, неизменно связанных с телом. За обобщённую координату тела примем угол <р между осями Ох и Oi. Возьмём сперва принцип Даламбера имеем [c.370]

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси. Физический маятник. Твёрдое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, представляет собой материальную систему с одной степенью свободы ( 190) положение тела вполне определяется углом , который образует плоскость, неизменно связанная с телом и проходящая через ось подвеса, с другой, неподвижной, плоскостью, проходящей через ту же ось. Примем ось подвеса за ось Oz, момент инерции тела относительно этой оси обозначим главный момент внешних сил обозначим L . Тогда уравнение движения тела согласно формуле (35.27) на стр. 371 напишется так [c.589]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...