Отображение окружности в окружность

Отображение окружности в окружность. Отображение окружности на окружность может рассматриваться как частный случай отображения прямой в прямую. Поэтому все сказанное ранее об отображении прямой в прямую применимо и к отображению окружности в окружность. Однако этот частный случай обладает особенностями, заслуживающими дополнительного изучения. Впервые отображение окружности на себя изучал А. Пуанкаре [471 в связи с качественным исследованием фазовых траекторий на двумерном торе. Это исследование было продол- [c.294]

Следовательно, всякий малый вектор А при отображении можно получить из соответствующего малого вектора Az путем умножения длины последнего на некоторый коэффициент т (коэффициент растяжения) и поворота на угол Во- При этом коэффициентом растяжения служит модуль производной отображающей функции, а углом поворота — ее аргумент. Поскольку это справедливо для любого вектора Az, выходящего из точки Zo, то все такие векторы будут при отображении растянуты или сжаты в одно и то же число раз. Иными словами, рассматриваемое отображение является преобразованием подобия в бесконечно малом. Так, например, окружность малого радиуса с центром в точке Zq после отображения перейдет в окружность. Любая другая малая фигура перейдет в себе подобную. Однако это не значит, что останутся подобными и фигуры конечных размеров. Напротив, изменения их конфигураций могут быть весьма значительными. [c.237]

Данное соотношение описывает конформное отображение, трансформирующее окружности в окружности. Математические свойства конформного отображения известны и широко используются для построения диаграммы импедансов. В соотношении для определения зависимостей корней уравнений Р/ от х используют метод корневого годографа. Сказанное об использовании метода корневого годографа поясним примером. [c.86]

Уравнение (7.108) определяет точечное отображение Т я окружности л = О в себя [c.350]

Как известно, любую двухсвязную область можно конформно отобразить на кольцо, имеющее г = и Г2 = р< 1 (рис. 40). Отображение единственно, если контур переходит в окружность [c.108]

Приведенные соотношения (вместе с соотношениями предыдущего параграфа, используемыми при решении линеаризованных задач) лежат в основе алгоритма решения краевых задач (3.3.1)-(3.3.10), (3.3.11)-(3.3.20), (3.3.21)-(3.3.30), (3.3.31)-(3.3.39) модифицированным методом Ньютона-Канторовича для случая, когда контур отверстия может быть конформно отображен на единичную окружность с помощью функции вида [c.95]

Вернемся к рассмотрению полиномов Фабера в общем случае. Обозначим через Гд линию на плоскости 2 , которая при отображении = ф z) переходит в окружность = R 1. Такие линии называются линиями уровня функции Грина области D. Поскольку отображение = ф z) конформно и однолистно, то при R > 1 линия Гя есть замкнутая правильная аналитическая кривая. А при R = I линия Fi есть граница Г области G. Внутреннюю область, ограниченную линией Гд, обозначим через а внешнюю область, ограниченную этой линией — через Dr. [c.227]

В формулах (III. 16), (III. 17) р > 1 — радиус окружности в плоскости а Гр — линия на плоскости 2 , в которую при отображении 2 = ш ) переходит эта окружность. При этом радиус р выбирается, исходя из условия, что функция f z) является аналитической во внутренней области, ограниченной линией Г . Если функция f z) аналитическая на границе Г области G, то эта функция будет аналитической и в некоторой окрестности этой границы, поэтому всегда можно выбрать радиус р, удовлетворяющий указанному условию. [c.230]

Наличие точек сгущения впервые явно обнаружилось при рассмотрении грубых отображений окружности в себя [242]. Другие механизмы образования неизолированных точек бифуркации были обнаружены в связи с изучением гомоклинических структур [262, 268]. В более поздних американских работах это явление названо Q-взрывом [295]. Как уже отмечалось, возможность всюду плотного расположения неизолированных точек бифуркации была установлена С. Смейлом [331]. В последнее время [c.101]

Серии бифуркаций и вложенные структуры. Рассмотрение взаимно однозначного отображения окружности на себя привело к понятию числа вращения Пуанкаре и сериям бифуркаций, вызываемым особым характером зависимости числа вращения от параметра. Аналогично исследование гладкого однозначного, но не взаимно однозначного отображения прямой в прямую [c.172]

Проследим теперь, как меняется это отображение (4.12) окружности в себя с ростом параметра [х. Пусть для определенности Л/= 0,1 и /г = 1. Тогда при значениях [х, равных соответственно 0,0 0,5 0,7 0,94 [c.204]

Фактически мы имеем точечное отображение в себя топкого кольца, которое приближенно заменено окружностью /. Отображение кольца в себя было рассмотрено в 2 гл. 6 (ситуация 5). Как следует из этого рассмотрения, наличие [c.205]

Квазиконформные отображения. Имея в виду применения к более общим задачам о течениях сжимаемой жидкости, которые будут рассмотрены в дальнейших главах, мы приведем здесь обобщение понятия конформности. Это обобщение получится, если вместо условия сохранения бесконечно малых окружностей мы рассмотрим условие преобразования одного семейства подобных и подобно расположенных эллипсов в другое такое же семейство. [c.67]

Доказать, что дробно-линейное преобразование = (а2- -Р)/(уг- -о), где аб—Ру О, может быть составлено нз последовательного применения вышеуказанных преобразований и, следовательно, дает отображение, в котором окружности и прямые линии преобразуются в окружности и прямые линии. [c.147]

Предположим, что мы можем произвести конформное отображение площади А на окружность таким образом, чтобы точка М площади А соответствовала точке М окружности, а точка Яо площади А — центру окружности. Покажем, что можно найти другое отображение площади А на ту же окружность, такое, что другая точка Р площади А будет соответствовать центру окружности. Действительно, пусть Р — точка окружности, соответствующая точке Р в первом отображении. Отобразим конформно окружность саму на себя так, что точке М соответствует точка М", а точке Р соответствует центр окружности. Такое отображение всегда можно произвести (см. п. 88). [c.83]

Кроме того, если W ( ) —комплексный потенциал потока у контура С, созданный источником напряжением и в начале координат, то же самое преобразование отображает линии тока вокруг С на линии тока у соответствующего контура С в потоке, движущемся со скоростью и в канале. В таком случае после отображения С на окружность С задача потока вокруг контура С в канале сводится к хорошо известному решению потока, созданного внешним источником, у круга. Если контур О симметричен по форме и по расположению в канале, то, как показывает отображение, поток в канале можно представлять как поток через бесконечную решетку из симметричных препятствий, причем расстояние между их центрами равно 2я. [c.179]

В настоящем параграфе проводится геометрически наглядное рассмотрение точечных отображений. Рассматривается преобразование прямой в прямую, окрун<ности в окружность, излагается метод неподвижной точки и метод вспомогательных отображений, приводится значительное число примеров точечных отображений, представляющих интерес для качественного исследования дифференциальных уравнений и связанных с ними колебательных явлений. [c.282]

Следует отметить, что непосредственное определение комплексного потенциала потока представляет значительные сложности. Поэтому во многих задачах комплексный потенциал находят косвенным путем с помощью метода конформных преобразований, имеющих большое значение в теории крыла, обтекаемого плоскопараллельпым потоком невязкой жидкости. Используя этот метод, можно определить геометрические и аэродинамические характеристики профилей, получаемых конформным отображением круга с помощью специально подобранных для этого отображающих функций. Для понимания сущности этого преобразования здесь даны задачи на отображение круга в отрезок и отрезка в окружность. [c.161]

Конформные отображения. Пусть в плоскости комплексного переменного 2 задана некоторая область О, а в плоскости дру1ого комплексного переменного — область О. Если некоторая аналитическая однозначная в О функция 5 = (2) осуществляет отображение области О в область D, то говорят, что она реализует конформное отображение области О в область/). Обратное отображение будем обозначать 2 = ( ). Название конформное связано с тем, что любая окружность малого радиуса при отображении также переходит в окружность (с точностью до малых высшего порядка). Кроме того, во внутренних точках сохраняются углы между любыми двумя направлениями. [c.30]

Для определения касательных напряжений остается обратиться к формуле (1.2), осуществив переход к переменной г. Наибольший интерес представляет касательное напряжение в направлении, параллельном контуру. Получим требуемую формулу, не осуществляя поворота осей координат. Введем криволинейные координаты, соответствующие при конформном отображении семейству концентрических окружностей р = onst и пучку прямых 0 == onst, проходящих через начало координат. Пусть А — произвольный вектор с компонентами в декартовых координатах Ах и Ау. Эти же компоненты в криволинейных координатах обозначим Ар и Де. Тогда очевидно равенство [c.363]

При 8>0 отображение /е имеет две гиперболические неподвижные точки. Как показано в п. 5.8, конечногладкая классификация таких отображений имеет функциональный модуль — диффеоморфизм окружности в себя. Локальному семейству (22) соответствует класс эквивалентности ростков по е в нуле семейств диффеоморфизмов окружности [c.76]

В физику Т. 3. введены Т. Скирмом [I ] в рамках синус-Гдрдона модели (см. Синус-Гордона уравнение). Трактовать Т. 3. на языке теории гомотопий предложили Д. Финкель-штейн и Ч. Мизнер [2]. Концепция Т. з. основывается на наблюдении, что в каждый фиксированный момент времени t полевые ф-ции синус-Гордона модели ф(л-, г) = (ф1,Ф2) можно воспринимать как отображения где R —пространственная ось, а —сфера единичного радиуса (окружность) в пространстве полевых переменных, выделяемая условием фj -1- ф2 = Последнее учитывается напр, переходом к угловой переменной ф(х, ) = ехр [/а(.х-, г)], а наличие топологического сохраняющегося тока J , ц = 0, 1, с компонентами / = —(2я) (7,0[ вытекает из ур-ния непрерывности. Действительно, закон сохранения топологич. тока д ,J = 0 выполняется не в силу ур-ний движения модели (уравнения синус-Гордона) и не как следствие симмет- [c.132]

Абсолютно непрерывная инвариантная мера существует для весьма широкого класса кусочно-растягиваюших отображений, хотя в общем случае невозможно указать явный вид её плотности. К упомянутому классу принадлежат, в частности, растягивающие отображения окружности. Отождествив окружность единичной длины с полуинтервалом [О, 1), можно задать такое отображение уже встречавшейся ф-лой 73с = Рг(/(л )), 0<л<1, Где /—достаточно гладкая ф-ция, определённая на отрезке [О, 1 ] и удовлетворяющая условиям /(0)=0, /(1)—целое число ч/ (х) Х>1 (первый из приведённых выше примеров именно таков). При этих условиях существует абсолютно непрерывная Г-инвариантная мера ц с положительной [c.634]

Здесь можно выделить подслучай М, замечательной особенностью которого является сжатие всего фазового трехмерного пространства ф, 0, и в очень малую окрестность некоторой двумерной поверхнбсти. На секущем цилицдре 0 = 0 эта поверхность оставляет след в виде кривой /, как показано на рис. 7.39. Тем самым рассмотрение поведения фазовых траекторий приближенно сводится к точечному отображению окружности в себя (топологически кривая I — окружность). [c.202]

Таковы выводы, которые непосредственно следуют из серии графиков рис. 7.41, полученных при численном счете на ЭВМ. Вместе с тем, ото описание все же несколько огрублено. Ему было бы легко придать точньи смысл, если бы у системы (4.10) имелся асимптотически устойчивый двумерный тор и кривая / была бы следом его пересечения с секущей 0 = 0. Но так дело обстоит не при всех значениях нараметра [х. С появлением двузначности обратного отображения окружности в себя кривая 1 не может быть следом пересечения интегрального двумерного тора с секущим цилиндром [c.205]

Выше было рассказано о результатах численного исследования уравнения (4.10) при М = 0,1 /г = 1. Однако, как показали аналогичные численные исследования, такие же результаты получаются и при других значениях параметров М ш Ъ, если только Н> М. При несоблюдении этого условия ж к< М возможность сведения к точечному отображению окружности в себя исчезает, и необходимо исследовать точечное отображение двумерного цилиндра в себя. Общая схема изменений фазового портрета оказывается следующей. При малых ц- возникают устойчивые вращательные синхронизмы, области притяжения которых разделяются сепаратрисами 3 и 3 седловых ненрдвижных точек. С ростом параметра ц, число их возрастает, и вместе с этим возникают пересечения сепаратрисных кривых седловых неподвижных точек, отвечающих разным синхронизмам. Это приводит к усложнению вида областей притяжения устойчивых синхронизмов. Дальнейшее увеличение параметра ц- сопровождается появлением новых пересечений сепаратрис и возникновением гомоклинических структур, содержащих циклы. При этом характер приближения фазовых точек к устойчивым синхронизмам носит весьма сложный немонотонный характер фазовая точка то приближается к нему, то удаляется и, лишь попав в достаточно малую его окрестность, стремится к нему. В соответствии с этим области притяжения устойчивых синхронизмов имеют сложный и тонкий характер. При дальнейшем росте параметра [х начинаются бифуркации удвоения периодов устойчивых синхронизмов с одновременным образованием новых седдовых синхронизмов которые ведут к еще большей хаотизации движений и утопьше-нию областей притяжения устойчивых синхронизмов. При ничтожно малых возмущениях фазовая точка блуждает по поверхности секущего цилиндра, не попадая в малые окрестности устойчивых синхронизмов. [c.206]

Итак, пусть О лежит в плоскости комплексного переменного г = Ху- -1х . Единичная окружность С лежит в плоскости комплексного переменного ча и О — неограниченная компонента дополнения С до всей плоскости т. По теореме Римана существует конформное преобразование 5 области О на область О, такое, что бесконечно удаленная точка переходит в бесконечно удаленную. При этом преобразовании граница Г переходит в окружность С таким образом, что каждой точке окружности С соответствует граничный элемент (простой конец по терминологии Каратео-> дори [57] подробнее о граничных свойствах конформного отображения см. также [58]), и соответствие это взаимно однозначное. [c.198]

Рассмотрим вопрос о вычислепип скорости в угловой точке А. Точка А при отображении переходит в точку А окружности I. Комплексная скорость в точке А может быть представлена в виде [c.149]

Таким образом, всякая задача безвихревого движения в криволинейном слое (постоянной толщины) преобразуется с помощью конформного отображения в соответствующую плоскую задачу. Для сферической поверхности мы можем, например, наряду с бесчисленным множеством других методов, применить метод стереографической проекции. В качестве простого примера возьмем, например, случай, когда слой постоянной толщины покрывает всю поверхность шара за исключением двух круговых островов (величина и взаимное положение которых могут быть произвольные). Очевидно, единственное (плоское) безвихревое движение, которое возможно в наполненном жидкостью двусвязном пространстве, это такое, при котором жидкость циркулирует вокруг обоих островов в протибоположных направлениях, причем циклические постоянные для обеих циркуляций должны быть одинаковыми. Так как окружности при проектировании переходят в окружности, то соответствующая плоская задача есть та самая, которая решена в 64, п. 2, [c.135]

Функция, даюнгая отображение плоскости t на плоскость г, при котором отрезок прямой от —2Н до -]-2R плоскости ( переходи г опять в окружность с радиусом и центром в начале координат плоскости г, определяется, как мы увидим 1шже, уравнением [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...