Мера абсолютно непрерывная инвариантная

Предложение 5.1.2. Если (л — эргодическая Т-инвариантная вероятностная мера, то Т не имеет никаких других инвариантных вероятностных мер, абсолютно непрерывных относительно Ц. [c.194]

Предложение 5.1.5. Пусть М — гладкое многообразие, С1 — форма объема, отображение / ММ дифференцируемо и р М— -К — плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Тогда р х)= [c.195]

Предложение 5.1.6. Пусть М—гладкое многообразие, С1—форма объема и / М М — диффеоморфизм с абсолютно непрерывной /-инвариантной мерой с плотностью р М —которая всюду определена и положительна. Тогда J/"(x) = 1 для каждого х е Р1х(/"). [c.195]

Таким образом, если функция р конечна всюду (или почти всюду), то она является неподвижной точкой оператора Перрона — Фробениуса (см. определение 5.1.7) и потому задает плотность абсолютно непрерывной /-инвариантной меры. Чтобы гарантировать, что р — функция из класса L и, следовательно, рП—конечная мера, достаточно показать, что р равномерно ограничена. Кроме того, если р также ограничена снизу некоторым положительным числом, то мера рП эквивалентна П. Таким образом, мы доказали следующий аналог теоремы 5.1.13 для необратимых отображений. [c.199]

Доказательство. Предположим, что инвариантная мера абсолютно непрерывна и имеет плотность р. Тогда по (12.4.1) мы имеем [c.416]

Абсолютно непрерывные инвариантные меры для преобразований [c.114]

Перемешивание (см. гл. 1, 3). С точки зрения статической механики, перемешивание означает необратимость динамики любая начальная мера, абсолютно непрерывная относительно инвариантной меры, сходится к последней (слабо) под действием динамики. [c.117]

Такие отображения называются растягивающими. Они обладают свойством неустойчивости, состоящим в том, что близкие точки под действием преобразования расходятся с экспоненциальной скоростью, что делает их аналогичными гиперболическим системам, рассмотренным в главах 7, 8. В частности, оказывается, что при широких условиях растягивающие отображения обладают абсолютно непрерывными инвариантными мерами. [c.205]

Абсолютно непрерывные инвариантные меры для преобразований, не являющихся растягивающими [c.210]

Некоторые примеры. Классический пример преобразования с абсолютно непрерывной инвариантной мерой, не являющегося растягивающим, — это [c.210]

Теорема 2.1 ([68]). Ve>0 существует Л(е) такое, что для Я >Л(е) mes Ле[Я , A +i] Гх имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру > (A +i—Хп) (1— е).. [c.212]

Теорема 2.2. Пусть F — отображение, С -близкое к х ->л (1—х), и Яо определено условием %o-F ) Тогда мера множества М= Лб (О, Яо] х %-F x) имеет абсолютно непрерывную инвариантную меру больше нуля. При этом Яо — точка плотности множества М. [c.213]

Теорема 2.4 ([73]). Пусть /—отображение, удовлетворяющее i — , [X — абсолютно непрерывная /-инвариантная мера и пусть [c.214]

Следствие. Предположим, что / М- М —транзитивный У диффеоморфизм класса . Если некоторая вероятностная мера Ji, абсолютно непрерывная относительно ш, инвариантна относительно f, то = [c.87]

Инвариантная мера оказывается абсолютно непрерывной относительно меры Лебега также для растягивающих кусочно-гладких отображений отрезка в себя (см. [И], [45]). [c.236]

Существует класс инвариантных мер, которые естественны для гладких систем. Это абсолютно непрерывные меры, т. е. меры, задаваемые плотностями в локальных координатах. В 1 этой главы устанавливаются общие критерии существования таких мер для трех классов динамических систем в случаях дискретного обратимого и необратимого времени и в случае непрерывного времени. Мы показываем, как эти критерии могут использоваться при установлении существования и единственности инвариантных гладких мер для растягивающих отображений. В оставшейся части этой главы описываются несколько классов динамических систем, возникающих в классической механике и дифференциальной геометрии. Благодаря наличию дополнительной структуры все эти системы сохраняют естественно определенную инвариантную гладкую меру. По ходу дела мы обогащаем нашу коллекцию стандартных примеров несколькими новыми экземплярами. [c.192]

Имеется простая связь между единственностью инвариантной меры определенного класса и эргодичностью. А именно, пусть Т (М, fi) — (М, fi) — сохраняющее меру преобразование и i/ — другая мера, которая абсолютно непрерывна относительно fi и имеет плотность р. Если мера i> является Г-инвариантной и отображение / измеримо, то [c.193]

Для гладкой динамической системы на гладком многообразии естественно задать следующий вопрос имеет ли данная система абсолютно непрерывную или гладкую положительную инвариантную меру [c.194]

Предложение 5.1.12. Пусть М — гладкое многообразие, П — форма объема и f М М — диффеоморфизм. Если существует абсолютно непрерывная f-инвариантная мера с положительной непрерывной плотностью, то множество Jf" x) neZ,xe М ограничено. [c.197]

Так как е произвольно, А(5 А) = 0, и, так как инвариантная мера д абсолютно непрерывна относительно А, д(5 А) = 0 и мера п эргодическая. [c.202]

Предложение 12.4.1. Инвариантная мера р, всякого С -диффеоморфизма окружности либо абсолютно непрерывна, либо сингулярна. [c.415]

Пусть Г] — произвольная предельная точка последовательности г/ в -слабой топологии. Если А, В сХ — замкнутые множества, то согласно (30.3.4) имеет место неравенство г](А х В) С(ц х ц) А х В). Рассматривая объединения непересекающихся произведений замкнутых множеств и используя аппроксимацию, мы заключаем, что г](Р) < х ц) Р) для любого борелевского множества Р с X х X и, следовательно, мера Г] абсолютно непрерывна относительно ц х ц. Так как мера т] является (/ X /)-инвариантной, а мера ц х i эргодическая, по предложению 5.1.2 выполнено равенство г] = цх ц, так что для любых замкнутых множеств А, В, ц(дА) = д(9В) = 0, мы имеем [c.635]

Пусть М — гладкое многообразие, Т М- М — диффеоморфизм, или Р — однопараметрическая группа сдвигов вдоль траекторий некоторого гладкого векторного поля на М. Рассмотрим какую-то абсолютно непрерывную меру цо и ее сдвиги ц , ц (С) =цо(Г "С) (в случае дискретного времени), Hi( ) =цо(7 С) (в случае непрерывного времени). Может быть так, что при п- оо (соответственно, при t- oo) сдвинутые меры стремятся к пределу ц, не зависящему от выбора начальной меры Цо. Предельная мера ц будет инвариантной, и ее можно признать наиболее существенной инвариантной мерой для рассматриваемой динамической системы. [c.15]

Пусть М=[0, 1], эндоморфизм Т задается функцией /, т. е- Тх — / х). Предположим, что / имеет лишь конечное число точек разрыва, а в промежутках между ними / (л ) >1. Пусть, далее, (х—инвариантная относительно Т абсолютно непрерывная мера с плотностью р(лг). Тогда [c.50]

Определение. Аттрактор А называется стохастическим, если 1) для любой абсолютно непрерывной меры (го. сосредоточенной в i/o, ее сдвиги (г при i-voo сходятся (слабо) к предельной инвариантной мере X, не зависящей от (го 2) динамическая система (Л, X, 5 ) обладает перемешиванием. [c.198]

Абсолютно непрерывная инвариантная мера существует для весьма широкого класса кусочно-растягиваюших отображений, хотя в общем случае невозможно указать явный вид её плотности. К упомянутому классу принадлежат, в частности, растягивающие отображения окружности. Отождествив окружность единичной длины с полуинтервалом [О, 1), можно задать такое отображение уже встречавшейся ф-лой 73с = Рг(/(л )), 0<л<1, Где /—достаточно гладкая ф-ция, определённая на отрезке [О, 1 ] и удовлетворяющая условиям /(0)=0, /(1)—целое число ч/ (х) Х>1 (первый из приведённых выше примеров именно таков). При этих условиях существует абсолютно непрерывная Г-инвариантная мера ц с положительной [c.634]

По-видимому, для типичного отображения окружности (или отрезка) в себя инвариантная мера, абсолютно непрерывная относительно лебеговской, может существовать только для нигде не плотного множества значений параметра. Представляет интерес вопрос о мере этого множества. В [58] показано, что оно имеет мощность континуума. [c.237]

Естеств. кандидат на роль инвариантной меры гиперболич. системы—это риманов объём (соответствующим образом нормированный). Однако он инвариантен лишь в нек-рых, весьма спец. ситуациях (напр., для автоморфизмов тора). Если же риманов объём р не инвариантен, а ДС представляет собой каскад Аносова, то она диссипативна относительно р существует множество, образы к-рого под действием Т при разных t попарно не пересекаются и по крывают всё фазовое пространство. Тем не менее из р можно получить инвариантную меру. Для этого нужно, качав с любой абсолютно непрерывной вероятностной меры ц (т.е. меры задаваемой плотностью относительно р), ввести последовательность мер где [c.632]

Пусть / IR" = .г —> IR — неотрицательная суммируемая функция. Мера dfi = f z)d z называется абсолютно непрерывной, если для каждой измеримой области D С IR" с положительной лебеговой мерой значение интеграла mes(D) = f f d z положительно. Пусть Z = v(z) — динамическая система ид — ее фазовый поток. Мера d i называется инвариантной мерой этой динамической системы, если mes g D)) = mes(D) для любой измеримой области D и для всех значений времени t. Если / — положительная функция класса то инвариантная мера называется интегральным инвариантом. [c.31]

Нетрудно показать, что если вектор а является собственным вектором оператора /, то фа.эовый поток уравнений (7.5) сохраняет стандартную меру в IR = о ,7 . Как отмечено в [90], если 1а ф Ха, то при 6=0 система (7.5) не имеет даже абсолютно непрерывной (по отношению к мере Лебега в IR = о , 7 ) инвариантной меры. Поэтому будем предполагать, что и в общем случае вектор а направлен вдоль одной из осей инерции тела без ограничения общности можно считать, что а имеет компоненты О, 0,1. [c.54]

Замечание. В случае У-потока (Л — М), обладающего инвариантной (вероятностной) мерой jx , абсолютно непрерывной по отношенню к мере Лебега m, из этой теоремы вытекает известный факт-. A = M ф(u). [c.163]

Докажите, что единственная мера, инвариантная относительно диффеоморфизма, построенного в этом параграфе, является абсолютно непрерывной, если мера Лебега множества Данжуа S U / положительна, и сингулярной в противном случае. [c.409]

Доказательство. Пусть ц = х , где мера д, абсолютно непрерывна, а мера х сингулярна. Так как каждый диффеоморфизм сохраняет совокупность множеств лебеговой меры нуль, - -1Х2 = р. = /,ц следовательно, обе меры м, и инвариантны и в силу строгой эргодичности одна из них нулевая. [c.415]

Предложение 12.4.4. Пусть/—транзитивный сохраняющий ориентацию диффеоморфизм окружности. Инвариантная мера диффеоморфизма / абсолютно непрерывна относительно лебеговой меры с плотностью класса С тогда и только тогда, когда / сопряжен с преобразованием поворота посредством С + -диффеоморфизма к. Ограниченность плотности сверху и отделенность ее от нуля эквивалентны тому, что сопряжение является С -диффеоморфизмом. [c.416]

Пусть а — гладкое векторное поле на т-мерном многообразии М, Т — отвечающая ему группа сдвигов вдоль траекторий векторного поля, и ц — абсолютно непрерывная мера, т. е. мера, которая в любой локальной системе координат задается плотностью d l = p(Xl,..., хт)йх1,..., 4хт. Известная теорема Лиувилля (J. Ь1оиу111е) утверждает, что мера ц инвариантна относительно группы Т , если плотность р удовлетворяет уравнению Лиувилля 1у(ра)=0. Эта мера называется мерой Лиувилля, или интегральным инвариантом динамической системы Г . Такая мера может быть бесконечной, но с помощью нее часто удается построить и конечные инвариантные меры. Перечислим некоторые случаи, где применима теорема Лиувилля. [c.10]

Обозначим через mes риманов объем в М. В том случае, когда mes (Л) > О (при этом mes может не быть инвариантной мерой), ЛУМ на множестве А, обладают важным свойством, называемым абсолютной непрерывностью. Пусть хбА. Фиксируем />0 и выберем малую окрестность U х) точки хбА (размер которой, вообще говоря, зависит от /). Рассмотрим ЛУМ V y), где yeAi lU (х). Выберем два гладких подмногообразия Wi и W2 в и (А ), трансверсальные этим ЛУМ. Положим Ai = z z = W у) для некоторого y . S.i U (j ) , =1, 2, и пусть p-.Ai A2 — такое отображение, что точка p z) лежит на том же ЛУМ V y), что и точка z р называется отображением последования). Обозначим меру на Wиндуциро- [c.141]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...