Отображение окружности на себя

Отображение окружности в окружность. Отображение окружности на окружность может рассматриваться как частный случай отображения прямой в прямую. Поэтому все сказанное ранее об отображении прямой в прямую применимо и к отображению окружности в окружность. Однако этот частный случай обладает особенностями, заслуживающими дополнительного изучения. Впервые отображение окружности на себя изучал А. Пуанкаре [471 в связи с качественным исследованием фазовых траекторий на двумерном торе. Это исследование было продол- [c.294]

В заключение рассмотрим диаграммы взаимно однозначных точечных отображений окружности на себя. [c.296]

Серии бифуркаций и вложенные структуры. Рассмотрение взаимно однозначного отображения окружности на себя привело к понятию числа вращения Пуанкаре и сериям бифуркаций, вызываемым особым характером зависимости числа вращения от параметра. Аналогично исследование гладкого однозначного, но не взаимно однозначного отображения прямой в прямую [c.172]

ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ [c.90]

Отображение окружности на себя Отображение или разностное уравнение, ставящее в соответствие точкам окружности точки той же окружности. В теории двух связанных осцилляторов некоторые траектории в фазовом пространстве можно рассматривать как движение по поверхности тора. Сечение Пуанкаре, проходящее по меридиану (меньшему диаметру) тока, порождает отображение окружности на себя. [c.270]

Точка, движущаяся по поверхности тора, может служить абстрактно-математической моделью динамики двух связанных осцилляторов. Амплитуды движения осцилляторов служат малым и большим радиусами тора и часто предполагаются фиксированными. Фазы осцилляторов соответствуют двум углам, задающим положение точки вдоль малой окружности (меридиана) и большой окружности (параллели) на поверхности тора. Сечение Пуанкаре вдоль малых окружностей тора порождает одномерное разностное уравнение, называемое отображением окружности на себя [c.283]

Теорема. Пусть Л — непрерывное отображение окружности на себя степени 1 (то есть такое, как в начале пункта). Тогда [c.51]

Важнейшей характеристикой такого точечного отображения является его число вращения р.. В случае, когда преобразование окружности на себя представляет собою вращение на угол а, число вращения р равно а/2я. В общем случае число вращения определяется как предел [c.295]

Из этих орбит по крайней мере одна устойчива по первому -приближению пусть это будет орбита, соответствующая неподвижной точке Д. Совершим еще одно топологическое отображение круга на себя такое, чтобы точка Pq перешла в центр круга, а точки окружности подверглись бы такому же преобразованию, что и прежде. В результате получим преобразование Т, которое оставляет центр круга неизменным, а границу его отображает на себя, причем все точки границы передвигаются против хода часовой стрелки на один и тот же угол. [c.624]

Фазовая кривая, начинающаяся на такой площадке, снова на нее возвращается, сделав оборот вокруг тора. В результате мы получаем новую точку на той же окружности, по которой тор пересекает площадку. Тем самым возникает отображение площадки на себя. [c.370]

Рассмотрим кольцевую область, ограниченную окружностями г = а ж г = Ь, где О С а < Ь. Определим топологическое отображение замкнутой области а г Ь на себя с помощью уравнений [c.620]

Предположим, что мы можем произвести конформное отображение площади А на окружность таким образом, чтобы точка М площади А соответствовала точке М окружности, а точка Яо площади А — центру окружности. Покажем, что можно найти другое отображение площади А на ту же окружность, такое, что другая точка Р площади А будет соответствовать центру окружности. Действительно, пусть Р — точка окружности, соответствующая точке Р в первом отображении. Отобразим конформно окружность саму на себя так, что точке М соответствует точка М", а точке Р соответствует центр окружности. Такое отображение всегда можно произвести (см. п. 88). [c.83]

Заметим еще, что соизмеримость соответствует резонансным торам, а несоизмеримость — нерезонансным. Заметим также, что из существования резонансных торов вытекает следующее обстоятельство. Рассмотрим некоторую степень отображения нашей площадки на себя, осуществляемого фазовыми кривыми. Пусть показатель степени является знаменателем дроби, выражающей отношение частот на одном из резонансных торов. Тогда возведенное в указанную степень отображение имеет целую окружность, сплошь состоящую из неподвижных точек (а именно, меридиан рассматриваемого резонансного тора). [c.371]

Если м = 1, то мы имеем дело с отображением обычной плоскости на себя, а инвариантные торы превращаются в окружности. Условие невырожденности означает, что для нормальной формы производная угла поворота окружности по площади, ограниченной этой окружностью, отлична от нуля (в неподвижной точке и, следовательно, в некоторой ее окрестности). [c.379]

Легко видеть, что Р — автоморфизм группы, который переводит решетку Я в себя. Таким образом, Р индуцирует отображение / на факторе Я Я. Это отображение /, однако, не обратимо, подобно растягивающим отображениям окружности. Кроме того, никакой автоморфизм группы Я, который взаимно однозначен на Я , не гиперболичен, поскольку такой автоморфизм А должен сохранять центр Е(Н) группы Я и, следовательно, пересечение [c.543]

Напомним еще понятие топологического индекса векторного поля. Рассмотрим векторное поле (ж) на плоскости р, д, которое обращается в нуль в изолированной точке (0) = 0. Оно определяет отображение окружности = 1 на себя В е) 5 , по формуле [c.215]

Глобальная задача классификации пар инволюций вдоль полного замкнутого подмногообразия неподвижных точек является безнадёжной задачей, даже на топологическом уровне. В самом деле, в простейшем случае, когда зто многообразие является окружностью, произведение соответствующих инволюций есть симплектическое отображение кольца, неподвижное на окружности. Топологическая классификация таких отображений включает в себя большинство трудностей, присутствующих в неинтегрируемых задачах гамильтоновой динамики (см. [93]). [c.203]

Следовательно, всякий малый вектор А при отображении можно получить из соответствующего малого вектора Az путем умножения длины последнего на некоторый коэффициент т (коэффициент растяжения) и поворота на угол Во- При этом коэффициентом растяжения служит модуль производной отображающей функции, а углом поворота — ее аргумент. Поскольку это справедливо для любого вектора Az, выходящего из точки Zo, то все такие векторы будут при отображении растянуты или сжаты в одно и то же число раз. Иными словами, рассматриваемое отображение является преобразованием подобия в бесконечно малом. Так, например, окружность малого радиуса с центром в точке Zq после отображения перейдет в окружность. Любая другая малая фигура перейдет в себе подобную. Однако это не значит, что останутся подобными и фигуры конечных размеров. Напротив, изменения их конфигураций могут быть весьма значительными. [c.237]

Примерами такого рода теоретических крыловых профилей могут служить профили Жуковского — Чаплыгина, образованные конформным отображением (63) окружностей К, проведенных во вспомогательной плоскости (рис. 77) через особую точку и содержащих внутри себя вторую особую точку Р . Особенностью этих профилей является нулевой угол на задней кромке. [c.188]

Упрощенный вариант отображения Заславского для двух связанных осщишяторов получается, когда затухание выбрано более сильным, Г > 1. В этом предельном случае можно пренебречь изменениями ш шту (отметим, что на рис. 3.11 Ау мало). Это приводит к одномерному отображению, известному как отображение окружности на себя [c.90]

Б.9. ОТОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА СЕБЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ЧИСЛА ВРАЩЕНИЙ И ДЕРЕВЬЯ ФЭРИ [c.283]

При еег диффеоморфизму соответствует функциональный инвариант — класс эквивалентных диффеоморфизмов окружности на себя. А именно, росток диффеоморфизма ft в каждой из двух его полуустойчивых неподвижных точек порождается ростком векторного поля росток диффеоморфизма является сдвигом за единичное время по фазовым кривым поля. Росток каждого из порождающих полей однозначно определен диффеоморфизмом /е- Оба поля разносятся с помощью ft на весь интервал между неподвижными точками диффеоморфизма, п на всём этом интервале порождают fe. Тем самым, построены два векторных поля на интервале, перестановочные с диффеоморфизмом интервала на себя без неподвижных точек. Такая пара полей порождает диффеоморфизм окружности на себя, определенный с точностью до сдвига в образе и в прообразе, как это описано в п. 5.8. Два диффеоморфизма окружности эквивалентны, если они имеют вид причем ф(<- -а) =ij5( )+fe для некоторых а и Ь. Семейство таких классов эквивалентных диффеоморфизмов окружности, построенных для отображений при ебГ, и образует функциональный инвариант деформации /e ee(R3, 0) . [c.78]

Здесь можно выделить подслучай М, замечательной особенностью которого является сжатие всего фазового трехмерного пространства ф, 0, и в очень малую окрестность некоторой двумерной поверхнбсти. На секущем цилицдре 0 = 0 эта поверхность оставляет след в виде кривой /, как показано на рис. 7.39. Тем самым рассмотрение поведения фазовых траекторий приближенно сводится к точечному отображению окружности в себя (топологически кривая I — окружность). [c.202]

Таковы выводы, которые непосредственно следуют из серии графиков рис. 7.41, полученных при численном счете на ЭВМ. Вместе с тем, ото описание все же несколько огрублено. Ему было бы легко придать точньи смысл, если бы у системы (4.10) имелся асимптотически устойчивый двумерный тор и кривая / была бы следом его пересечения с секущей 0 = 0. Но так дело обстоит не при всех значениях нараметра [х. С появлением двузначности обратного отображения окружности в себя кривая 1 не может быть следом пересечения интегрального двумерного тора с секущим цилиндром [c.205]

Это отображение плоскости на себя оставляет на месте концентрические меридианные окружности, по которым плоскость пересекают инвариантные торы. При этом каждая окружность поворачивается на некоторый угол, а именно на такую долю полного оборота, какую частота вдоль меридиана тора составляет от частоты вдоль экватора. Следовательно, если система изоэнергетически не вырождена, то угол поворота инвариантных окружностей на плоскости сечения будет меняться от одной окружности к другой. [c.370]

Преобразование моиодромии. Преобразованием моно-дромии (или функцией последования) для уравнения (1) называется отображение оси на себя сопоставляющее каждой точке (О, у) значение при х—2п решения с этим начальным условием, а также соответствующее отображение окружности Я/2я2. [c.46]

Всякому топологическому отображению плоскости в себя либо непосредственно соответствует некоторая такая деформация плоскости (без складок и разрывов), либо соответствует предварительное зеркальное отображенпе плоскости с последующей деформацией, обладающей указанными свойствами (в первом случае топологическое отображение сохраняет ориентацию , во втором — изменяет ориентацию ) (см. дополнение, 2). Очевидно, вид кривых и областей и вообще множеств на илоскости при тоиологпческом отображении может сильно измениться, одпако некоторые свойства остаются неизменными. Так, замкнутая кривая, например, окружность, после любого топологического отображения останется замкнутой, хотя вид ее может сильно отличаться от вида исходной кривой. Отрезок прямой после топологического отображения, вообще говоря, делается некоторой дугой ( простои дугой ), но эта дуга заведомо пе имеет самопересечений и т. д. [c.124]

Если п = 1, то получается сохраняющее площади отображение обычного кругового кольца на себя. Невозмущенное отображение представляет собой на каждой окружности I = onst поворот. Условие невырожденности означает в этом случае, что угол поворота от одной окружности к другой меняется. [c.377]

Теорема. Пусть дано сохраняющее площади гомеоморфное отображение плоского кругового кольца на себя. Предпо.южим, что граничные окружности ко.1Ъца сдвигаются отображением в разные стороны. Тогда это отображение имеет не менее двух неподвижных точек. [c.384]

При рассмотрении степени отображений окружности было установлено, что понятие степени может использоваться для доказательства существования (большого количества) периодических точек. По существу мы подсчитывали число точек пересечения графика нашего отображения со сдвинутой диагональю в произведении К х Й универсального накрывающего пространства на себя. Более сложный вариант того же соображения пригоден в большей общности и использует в качестве главного инструмента понятие индекса неподвижной точки. Мы имеем в виду формулу Лефшеца, связывающую действие отображения / на группах гомологий с суммой индексов неподвижных точек. Эта формула описывает глубокую связь между глобальным поведением отображения, проявляющимся при действиях на группы гомологий, и локальным поведением в неподвижных точках, представляемом их индексом. В частности, если известно, что индексы неподвижных точек не могут быть большими (например, благодаря теореме Шуба — Сулливана), мы, таким образом, получим нижнюю границу для числа неподвижных точек и, следовательно, для числа периодических точек итераций отображения /. [c.333]

Рассмотрим теперь топологическое отображение области А на внутренность круга и, применяя полярные координаты, отобразим кривую С на окружность г = Ь, вдоль которой 0 = х. Преобразование Т переводит окружность г = Ь в себя, и при этом каждая точка окружности перемещается на угол 2я/(и + т). Такое преобразование имеет нечетное число непо-двиншых точек, каждой из которых соответствует периодическая орбита. [c.623]

Отметим, что проведенное рассмотрение отображения двумерного кольца в себя непосредственно обобщается на отображение -мерной тороидальной области С (ИгИ Го, 0 ф<2я), являющейся топологическим произведением (ге — 1)-мерного шара 11г11 Го и одномерной окружности. Пример такого отображения для п = 2 был рассмотрен в 1 гл. 2. [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...