Координаты вектора частиц декартовы

Радиус-вектор частицы, движущейся в ньютоновом поле тяготения, может быть представлен в виде г( ) =J ( )el + + / ( )e2+0 eз, где единичный вектор ei направлен параллельно вектору Лапласа, e2=[Mei]/Ai, третий орт ез=М/Л1. Записать радиус-вектор в исходных декартовых координатах [24]. [c.55]

Если все связи конечны, то о виртуальных перемещениях системы можно составить себе понятие ещё иначе. Рассмотрим два одновременные возможные бесконечно близкие положения системы. Радиусы-векторы и декартовы координаты частиц в первом положений пусть будут [c.286]

Здесь мы ограничимся только декартовыми телесными координатными системами. Тогда разности координат двух частиц (независимо от того, соседние это частицы или нет) образуют компоненты контравариантно-го вектора. В частности, помещая одну частицу в начале отсчета О, мы найдем, что координаты любой другой частицы Р являются компонентами контравариантного [c.415]

Подходы Эйлера и Лагранжа к исследованию задач механики сплошных сред. Введем декартову систему координат и рассмотрим в сплошной среде частицу т с координатами it = 1, 2, 3) в начальный момент времени и с координатами Хг в текуш,ий момент времени. Пусть точки среды за время t получили перемещения, определяемые вектором смещения с проекциями щ. Считаем, что проекции Ui в каждый момент времени представляют собой непрерывно дифференцируемые функции координат Тогда координаты рассматриваемой частицы в момент времени t определяются в выбранной декартовой системе по формулам [c.7]

Например, при изучении процесса прядения и скручивания нити в прядильной машине в качестве системы отсчета можно выбрать пространство, неподвижное относительно стенок лаборатории. Таким образом, будут индивидуализированы скорость частицы и другие рассматриваемые векторы и тензоры. Для проведения определенных вычислений может оказаться удобным выбрать некую координатную систему, скажем декартову. Вследствие цилиндрической симметрии нити можно вместо этого выбрать цилиндрическую систему координат или из-за некоторых других причин можно выбрать какую-либо другую систему координат, но каждый такой выбор будет влиять только на компоненты векторов и тензоров, а не на сами векторы и тензоры. [c.37]

Найти явную зависимость от времени декартовых координат x t), y (t) частицы в плоскости, перпендикулярной вектору М [26]. [c.54]

Рассмотрим макроскопическую систему в объеме V из М одинаковых бесструктурных классических частиц. Состояние каждой частицы определяется ее положением и импульсом, т. е. векторами ч и р или декартовыми координатами [c.96]

Как видим, координат частиц системы следующим образом выражаются через пять координат хи Ух, гх, (р, ф [c.324]

Положения равновесия. Условия в отношении активных сил и связей систем, могущих быть в равновесии. Статикой называется тот отдел динамики, который рассматривает условия равновесия материальных систем. Под положением равновесия данной материальной системы, находящейся под действием данных сил, мы разумеем такое положение системы, в котором она может неопределённое время оставаться в покое относительно данной системы отсчёта. Разберём, какого характера должны быть связи системы, а также и силы, приложенные к ней, для того, чтобы система могла иметь положения равновесия. Примем, что система состоит из п материальных частиц и отнесена к декартовым осям координат Охуг. Тогда положение какой-либо частицы массы /и, определится радиусом-вектором [c.372]

Здесь — вектор скорости -той частицы, х ) — радиус-вектор ее центра масс относительно некоторой неподвижной декартовой системы координат. [c.438]

Пусть Xi, 2, Гз — декартовы координаты, связанные с частицей, и пусть ii, ig, is — единичные векторы, параллельные координатным осям. Трансляционный тензор можно тогда выразить в виде [c.192]

В декартовых координатах, определяемых единичными векторами е, %, произведение тензора напряжений на вектор скорости частиц представляется в виде [c.38]

Вектор угловой скорости частицы и вихревая трубка обладают некоторыми свойствами, аналогичными соответственным свойствам вектора линейной скорости и свойствам струйки. Оказывается, что вектор угловой скорости (о удовлетворяет своего рода уравнению неразрывности . В этом нетрудно убедиться, вычисляя div ш. В декартовой системе координат [c.234]

Метод Эйлера. Рассмотрим движение среды в любой момент времени t относительно фиксированной декартовой ортогональной системы координат и обозначим теперь через х радиус-вектор фиксированной точки этого пространства. В различные моменты времени в точке X находятся различные физические частицы среды — вещество протекает в этом пространстве. Вместо того чтобы по методу Лагранжа следить за параметрами движения фиксированной физической частицы, будем следить за тем, с какими параметрами различные физические частицы в разные моменты времени [c.64]

Состояние среды, в котором внутренние напряжения отсутствуют, назовём натуральным. Под действием внешнего нагружения или по другим причинам (например, вследствие изменения температуры) частицы среды, находившейся в натуральном состоянии, перемещаются из положения, которое они занимали в этом состоянии. Вектор перемещения частицы обозначим через к, а через и, г , — его проекции на оси X, у, г декартовой системы и, в дальнейшем называются просто перемещениями. Они являются непрерывными функциями X, у, г, имеющими внутри объёма тела частные производные по координатам по крайней мере до второго порядка включительно. В дальнейшем считаем, что как сами перемещения, так и их производные являются малыми величинами, и произведениями их будем пренебрегать. [c.15]

Для наглядности будем дальнейшие выкладки вести в декартовой прямоугольной системе координат. Тогда для проекции вектора и в произвольной точке М рассматриваемой частицы, проводя альтернирование и симметрирование тензора ди /дХ) , получаем [c.58]

Задавая фиксированные значения параметрам а, Ь, с, получим обычные, принятые в кинематике точки уравнения движения данной индивидуальной частицы жидкости, откуда уже нетрудно найти уравнения траектории частицы и выражения проекции вектора ее скорости V и ускорения V (точка, поставленная над буквой, будет в дальнейшем всегда обозначать производную по времени). Условимся в дальнейшем обозначать проекции скорости на оси прямоугольных декартовых координат через и, V, гю тогда будем иметь [c.55]

Если учесть, что вследствие сферической симметрии заданного силового поля в качестве полярной оси можно выбрать любую ось декартовой системы координат, то можно прийти к выводу при движении частицы в центрально-симметрическом поле U (г) сохраняются все три декартовы проекции момента импульса. Это означает, что сохраняется вектор L, а движение частицы является плоским. Если теперь за полярную ось принять какую-нибудь прямую, [c.175]

Вектор места г в отсчетной конфигурации здесь определен декартовыми координатами а в базисе С1, с , Сз представляющими здесь материальные координаты частицы [c.106]

Пусть система отнесена к декартовым координатам. Поскольку тх, ту, mz суть составляющие количества движения частицы т, то вектор 0V будет являться результирующей тх, ту, mz. С другой стороны, как и в п. 75, т yz — ху) есть момент количества движения той же самой частицы относительно оси х. Следовательно, ОН — результирующая трех моментов количеств движения [c.264]

Пусть в начальный момент времени тройка чисел (а, Ь, с) задает относительно неподвижной прямоугольной системы отсчета декартовы координаты радиуса-вектора типичной жидкой частицы. В момент времени / эта частица будет находиться в точке с декартовыми координатами г). Тогда отображения [c.15]

Уравнения сохранения двухфазной среды в односкоростном приближении в лагранжевых переменных. Выведем дифференциальные уравнения сохранения масс фаз, импульса и энергии двухфазной смеси в лагранжевых декартовых координатах г (/с = 1, 2, 3), так что г (г , г , г ) определяет положение частицы среды в начальный момент времени. Текущее положение частицы среды определяется ее эйлеровыми координатами х плп концом вектора х(.г , х ), для которг.тх имеется уравнение перемещения [c.141]

Пусть — радиус-вектор, отмечающий положение точки о в декартовой системе координат. Погиестим в эту точку вершину элементарного куба с ребрами 6х,, которые в начальный момент времени параллельны осям координат. Проследим движение этого жидкого элемента, состоящего из одних и тех же частиц жидкости. [c.10]

Положение системы будем определять лагранжевьши координатами тела qj(j = — 1, я s 6) и декартовыми координатами Х (/= 1, 2, 3) частиц жидкости. Векторы Vo и ш можно представить в виде линейных функций обобщенных скоростей ijf с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат qj. Подставив эти выражения в формулу (1), получим [c.283]

В трехмерном декартовом множестве координат дс, рассмотрим движение некоторого объема П сплошной среды М с поверхностью S, характеризуемой в просгрансгве х, единичной внешней нормалью п (рис. 25). Движение, рассматриваемое как механическое перемещение всего тепа М и как взаимное перемещение материальных частиц т внутри тела (теМ), есть результат некоторого внешнего воздействия на это тело и внутреннего взаимодействия его материальных частиц между собой. Мерой механического воздействия и взаимодействия является непрерывное силовое поле, определяемое как соответствие между вектором силы Р и радиусом-вектором х каждой материальной частицы тела Л/ Р = Р(х, t). [c.85]

В предыдущих подразделах приложения тензоры различного ранга рассматривались как некоторая математическая абстракщга, характеризуемая определенным количеством компонэтт, каждая из которых при повороте множества координат преобразуется по закону (П1.26). В основном тексте учебника параметры движения сплошных сред представляются как соответствующие физические аналоги тетзоров различного ранга. Так, плотность, масса, объем, температура, мощность не зависят от ориента1дш множества координат и дня их математического описания используются тензоры нулевого ранга или скаляры перемещение, скорость, ускорение, сила, напряжение описываются с помощью тензоров первого ранга или векторов параметры деформированного и напряженного состояний окрестности движущихся материальных частиц - с помощью тензоров второго ранга вычисление объема Q непрямоугольного параллелепипеда с ребрами а, Ь и с в декартовом множестве координат [c.250]

Рассмотрим два состояния тела недеформированное, которое служит как о/горное состояние, и деформированное — т. е. форму тела в данный момент t (рис. 2.13). Точки Р а Р обозначают соответственные положения одной материальной точки или частицы, тогда два множества Р и Р называются конфигурациями предмету. Для упрощения мы предполагаем, что у нас не происходит дислокаций. Пусть г есть радиус-вектор точки Р с декартовыми координатами л , у, г. Положения точёк Р и Р могут быть выражены как функции друг друга, т. е. с помощью взаимно однозначного ото-браже я Отображение г- [c.31]

Распространение ультразвуковых волн в различных средах, которые мы будем рассматривать как сплошные, сопровождается периодическим смещением частиц среды из положения равновесия под действием упругих сил При этом под частицей следует понимать сколь угодно малый элемент объема, в котором, однако, содержится достаточное количество молекул, чтобы среду внутри этого объема можно было считать сплошной. В нормальном, невозмущенном состоянии среды все ее частицы находятся в некоторых равновесных положениях, определяемых равновесием межмолекулярных сил. Равновесное полол ение частицы будем характеризовать радиус-вектором г (вектором положения), отсчитываемым от центра некоторой неподвижной относительно данной среды (лабораторной) системы координат. В качестве таковой чаще всего будем выбирать декартову прямоугольную систему координат л , у, г в ряде случаев удобнее использовать с(])ерическую систему координат г, e, tj), которая связана с прямоугольной с11стем0й координат соотношениями X = г sin i) os ij), у г sin O sin p, г -= г os O, или цилиндрическую систему г, ё, Z, в которой х = г os О, // = г sin Z Z. Перемещение частицы из положения равновесия будем описывать с помощью вектора и, называемого вектором смещения. Таким образом, новое положение частицы после ее перемещения будет определяться вектором г -f и Составляюн1,ие вектора смещения U по осям координат обозначим соответственно символами [c.9]

Предположим, что в начальный момент времени 1 = 1 частица сплошной среды находится в точке Ро пространства, определяемой радиусом-вектором а, который имеет проекции а/ (/ = 1, 2,3) на оси прямоугольной декартовой системы координат (рис. 2.1). Координаты ах, й2, з, определяющие положение частицы сплошной среды в начальный момент времени, называют материачьными. В деформированном состоянии частица сплошной среды, находившаяся в начальный момент времени в точке Лэ, займет положение Р, определяемое радиусом-вектором х с проекциями хи к = I, 2, 3) на оси другой прямоугольной декартовой системы координат. Координаты XI, Х2, жз, задающие положение частицы в актуальной конфигурации, называют пространственными (рис. 2.1). [c.39]

Для МСС имеют особое значение условные средние значения некоторых функций (р, д) в фиксированной точке х г физического пространства, включающие требование, чтобы радиус-вектор центра масс фиксированной k-й частицы системы X h равнялся x x hip, д)=х. Это условие накладывает ограничение на р, д, т. е. выделяет область Гл размерности 2/г—З фактическое вычисление dVk и границы области IV часто связано со сложными (хотя и не принципиальными) вычислениями. Поэтому, фиксируя внимание на принципиальной стороне статистического метода, в дальнейшем в этой главе рассматриваются только простые замкнутые системы Sn, т. е. такие, для которых n = 3N и криволинейные координаты д совпадают с декартовыми х. Обозначим [c.18]

Метод Лагранжа. Координаты x х (вектор х) называются лагранжевыми координатами точек тела. Это, вообще говоря, криволинейные координаты, хотя при t—to они выбраны нами как декартовы. Действительно, семейство физических плоскостей х =соп51 при /= 0, как видно из (3.23) и ясно из физических соображений, преобразуется в некоторое семейство поверхностей. Метод Лагранжа основывается на использовании лагранжевых координат и состоит в изучении движения частиц сплошной среды и всех необходимых параметров в виде функций х и Вместо радиуса вектора х=ф при этом часто используется вектор перемещения частицы и(х, ). Скорость и ускорение частицы выражаются формулами (3.24 ). [c.64]

В механике сплошной среды существенное значение имеет тензор мгновенных истинных напряжений, определенный в точке х пространства наблюдателя компонентами — в декартовых координатах (л ). В объеме йУ=(1х йх2йхъ (или дх йх йх" ) в момент t находится физическая частица — параллелепипед с координатными гранями, определяемыми вектор-нормалями е при / = /о эта частица была некоторым косоугольным параллелепипедом с направлениями и размерами основных ребер ( ) , удовлетворяющими соотношения (4.9) — (4.10), в которых надо заменить р- (р)а = аеа следовнтельно, волокну (р) соответствует [c.100]

Компоненты v i x, t), или Vi x, t), вектора скорости частицы V в эР1леровом пространстве в декартовых координатах х и компоненты Vij тензора скорости деформаций V ( 5) имеют выражения [c.113]

В Э рассматриваются различные скалярные z(x, t), векторные z(x, t), тензорные z(x, t) функции поля, которые все преобразуются к Л на основании (9.1). Декартовы в момент t = to вмороженные в вещество координаты (л г) образуют криволинейную пространственную систему координатных линий и поверхностей с непрерывно меняющейся во времени t>to геометрией. Вещество не может сходить с линий и проникать сквозь эти поверхности. Три вектора репера Эг (х, t) при х = onst в Э показывают всю кинематику защемленной в нем физической частицы, а метрический тензор gij 9i9j — относительные смещения по t непроницаемых граней косоугольного параллелепипеда, заключающего частицу. [c.126]

Перейдем к выводу лагранжевых уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости. Будем пользоваться декартовыми компонентами векторов X и X, которые обозначим (Хь Хг, Хз) и (xi, л 2, Хз). Как указывалось выше, переход от эйлеровых уравнений гидродинамики к лагранжевым заключается прежде всего в замене независимых переменных (Хь Хг, Хз, t) на (хь хг, Хз, t). При этой замене переменных мы переходим от декартовых координат к нестационарным криволинейным и неортогональным координатам, сопутствующим движению жидкости. Действительно, каждая координатная поверхность Xi = onst во все моменты времени состоит из одних и тех же жидких частиц в начальный момент времени такие поверхности суть плоскости, но с течением времени они, перемещаясь вместе с жидкостью, искривляются. [c.485]

Пример 7.2. Рассмотрим поведение той же частицы в однородном магнитном поле с индукцией В = Bk, где k — единичный вектор оси Ог декартовой системы координат и В = onst. [c.60]

Предположим, что сплошная среда в момент времени /о занимает область евклидового пространства Е состоит из материального объема Во и его границы дВо. Положение одной выделенной материальной точки Р (Р означает parti le — частица) может быть определено ее координатами Х, Х2, Хз в декартовой системе координат или просто вектором X с компо нентами Хк, /С= 1, 2, 3 (рис. 2.2.1). После перемещения и деформации сплошной среды в момент времени / > /о материальные точки из Во и дВо займут область Bt в Е , состоящую из пространственного объема Bt и его границы dBt, которые для краткости обозначаются через В и дВ. Выделенная материальная точка, или частица Р, теперь находится в пространственной точке р, положение которой можно определить в другой системе [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...