Уравнения в вывод из принципа Гамильтон

В качестве примера приведем вывод из принципа Гамильтона уравнений Эйлера для движения несжимаемой жидкости. Подвергнем массу жидкости виртуальному смещению которое, однако, не нарушает условия несжимаемости (р = ——- = О, где Ау — первоначальный, а Ау — измененный объем элемента жидкости. Так как (р = то должно быть [c.842]

Так как величины е могут быть выбраны совершенно произвольно при одном лишь условии, чтобы они обращались в нуль на пределах интегрирования, то из этого следует (из рассуждения, аналогичного примененному при выводе принципа Даламбера из принципа Гамильтона), что коэффициенты при каждом Е должны обращаться в нуль, и таким образом дифференциальными уравнениями движения будут уравнения [c.29]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. В 3.7 мы [c.90]

Мы увидим, что уравнение (6.3.4) приводит непосредственно к уравнениям Лагранжа. В самом деле, как уже отмечалось ранее, принцип Гамильтона по существу представляет собой интегральную форму основного уравнения. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона осуществляется тем же путем, что и вывод этих уравнений непосредственно из основного уравнения. [c.91]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Вывод канонических уравнений Гамильтона из принципа Гамильтона — Остроградского. Из принципа Гамильтона—Остроградского можно получить и другую форму дифференциальных уравнений движения голономной механической системы — канонические уравнения Гамильтона. Будем предполагать, что на рассматриваемую систему наложены идеальные голономные связи, а действующие на точки системы активные силы обладают силовой функцией и. Принцип Гамильтона для такой системы запишется в виде равенства [c.465]

Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре. При выводе уравнений движения из принципа Гамильтона предполагалось, что независимыми являются только координаты ди д2,. .., ди- Обобщенные скорости и импульсы предполагались зависимыми. Относительно вариаций координат предполагалось а) вариации б9i обращаются в нуль на концах интервала времени (при t=to и t = il) , б) вариации б , произвольны и независимы внутри интервала ( 0, ). Французский математик и механик А. Пуанкаре [c.466]

Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Мы получили уравнения Лагранжа путем формального преобразования системы (2). Но те же уравнения можно получить другим, более простым и общим способом при помощи так называемого принципа Гамильтона, объединяющего в простой и изящной форме все основные законы динамики. [c.384]

ТОТ же самый символ вариации (заметим, что этот же символ применялся и при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона в теории поля). [c.114]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Это — формулировка принципа Гамильтона. В нащем изложении этот результат является в конечном счете следствием законов Ньютона. Другая точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать его как исходный принцип, и в этом случае уравнения движения Лагранжа и остальные законы механики выводятся из него. [c.74]

Открытие Гамильтона, согласно которому интегрирование дифференциальных уравнений динамики стоит в связи с интегрированием некоторого уравнения в частных производных первого порядка, основывалось на выводе результатов геометрической оптики, известных в корпускулярной теории, с точки зрения волновой теории, что имело большое значение в развитии физики своего времени. Теория Гамильтона интегрирования дифференциальных уравнений динамики есть прежде всего не что иное, как всеобщая аналитическая формулировка хорощо известного в физической форме соотнощения между световым лучом и световой волной. В силу изложенного здесь исходного положения делается понятной и та ненужно частная форма, в которой Гамильтон опубликовал свою теорию и из которой исходил Якоби. Гамильтон первоначально исходил в своих исследованиях систем лучей из практических запросов оптического приборостроения. В силу этого он рассматривал только такие световые волны, которые выходят из отдельных точек. Обобщение Якоби, вытекавшее отсюда, состояло в том, что для определения луча должны точно так же применяться и другие произвольные световые волны. Как известно, в оптике посредством так называемого принципа Гюйгенса из специальных волн строят общие [c.513]

Принцип Гамильтона охватывает и механические и целый ряд немеханических явлений. Выводя принцип Гамильтона из уравнений динамики, мы выводим его как механический принцип. В той же математической форме он выступает и как закон немеханических явлений. На основании этого часто делалось такое заключение раз принцип Гамильтона есть механический принцип (и притом выводимый из уравнений динамики), то из факта его применимости к немеханическим явлениям следует механическая природа этих явлений. Ошибочность этого заключения очевидна. [c.865]

Ниже рассматривается вывод уравнений движения из вариационного принципа Гамильтона в общем виде. [c.38]

I есть функция тех же координат и их производных по времени, естественно, что подынтегральное выражение в принципе Гамильтона (уравнения (1.26) и (1.27)) есть 1сИ, в то время как в принципе Ферма — Кёд . Поскольку оба принципа выражают одно и то же и их- структура идентична, к уравнению (5.2) можно применить ту же процедуру, что использовалась при выводе уравнений Лагранжа (1.35) из (1.27). Заменяя в них лагранжиан L вариационной функцией К и время — координатой дз, получим уравнения Эйлера [c.249]

Кратко изложим основы оптико-механической аналогии Гамильтона и рассмотрим нестрогий вывод канонических уравнений в оптике. Будем исходить из принципа Гюйгенса (1690 г.), который заключается в следующем. [c.278]

В настоящей статье излагается теория расчета пластин, гп-ставленных из жестких и мягких слоев в произвольной последовательности. Для вывода уравнений используются вариационные принципы, что позволяет также получить естественные граничные условия и установить, таким образом, систему внутренних усилий, не противоречащих введенным гипотезам. Уравнения равновесия выводятся из принципа Лагранжа, уравнения колебаний — из принципа Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия для задачи об устойчивости безмоментного состояния — из принципа Треффца. Обсуждаются частные и предельные случаи. [c.32]

Принцип Гамильтона можно распространить и на неголо-номные системы. При выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа Даламбера мы использовали требование голономности связей только на последнем этапе, когда считали вариации 6qj независимыми. В случае неголономной системы ее обобщенные координаты не являются независимыми и не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида f(q,, q2,. .., qn, t) — Q. Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если уравнения их связей можно представить в виде [c.53]

Именно такой метод мы применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Этот метод мы применим и сейчас, но только вариации величин и р будем считать теперь н,езависимыми, так как в методе Гамильтона координаты и импульсы р рассматриваются как равноправные координаты, описывающие состояние системы. [c.251]

Теорема Ливенса. В этом параграфе мы будем рассматривать только голономные системы. В 6.3 мы вывели уравнения Лагранжа из принципа Гамильтона. Естественно попытаться вывести аналогичным путем уравнения Гамильтона такая попытка приводит к весьма интересным результатам. Однако при таком выводе требуется известная осторожность, поскольку вариации величин g и w нельзя считать независимыми. В самом деле, если вариация bq задана в каждый момент времени, то вариация о) определяется уравнениями [c.531]

Замена независимой переменной. Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмеча1лось нами ранее (в 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением [c.537]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

Общая форма уравнений небесной мехтники (377) — 2. Обобщ нные координаты (378) — 3. Уравнения Лагранжа (379) — 4. Выражение для живой силы в обобщенных координатах (383) — 5. Случай, когда силы имеют силовую фунлпию (384) — 6. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона (384) —7. Преобразование уравнений движения к полярным координатам (385). [c.15]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Принцип Гамильтона. Выводя в предыдущей главе уравнения Лагранжа, мы рассматривали мгновенное состояние системы и небольшие виртуальные изменения этого состояния Таким образом, мы исходили из дифференциального принципа каким является принцип Даламбера. Однако уравнения Лаг ранжа можно получить и из другого принципа, в котором рас сматривается движение системы за конечный промежуток вре мени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как интегральные принципы . [c.42]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Горак выводит для склерономной и реономной неголономных систем в голономных и неголономных координатах, а также в склерономных параметрах обобщенные уравнения Ньютона, Лагранжа — Эйлера и Аппеля — Гиббса. Из этих уравнений получаются как частные случаи уравнения Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова и др. Из уравнений Горака можно получить также обобщенный принцип Гамильтона — Остроградского и обобщенные уравнения неголономной динамики в канонической и естественной формах. С целью упрощения установленных им уравнений 3. Горак строит неголономное многообразие со специальной метрикой — вселенную системы. Во вселенной системы, как оказывается, уравнения Лагранжа—Эйлера и Аппеля — Гиббса получают весьма простой вид. Во вселенной обобщаются также вариационные принципы механики — принципы Гаусса — Герца наименьшей кривизны и Гамильтона — Остроградского наименьшего действия. 3. Горак показывает, что принцип Гамильтона — Остроградского эквивалентен уравнениям линии вселенной . Рассматривая время как временной параметр и вводя понятие пространственно-временной силы , 3. Го-раку удалось значительно упростить выражения дифференциальных урав- 105 нений движения неголономной системы. [c.105]

Полученный результат позволяет сделать вывод о том, что интегральное равенство (14) на фиксированном промежутке [гьгг] является некоторым расширением принципа Гамильтона-Остроградского. Расширение обеспечивается за счёт введения неопределённых множителей, которые позволяют рассматривать как независимые обе группы вариаций асинхронные (и At) и изохронные. Если на какие-либо из них наложены ограничения в виде уравнений, то они также могут быть учтены с неопределёнными множителями. [c.116]

Уравнение (3.3) и граничное условие (3.6), полученные здесь из элементарных физических соображений, выводятся в [12] с П0]у10щью принципа Гамильтона — Остроградского. Решение этого уравнения и следующий пример заимствованы нами из [12], но излагаются здесь с несколько большими подробностями. [c.217]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...