Координаты обобщенные (криволинейные)

Возвратимся к соотношениям, рассмотренным в 46 т. I, Обозначим обобщенные (криволинейные) координаты материальной точки q Предположим сначала, что точка движется по некоторой поверхности, являющейся для точки стационарной связью. Тогда — криволинейные координаты Гаусса на этой поверхности. Радиус-вектор г точки — функция дК Следовательно, имеем [c.152]

Кусок гибкой и нерастяжимой нити длиной I скользит без трения внутри трубки (т. е., схематически, вдоль некоторой заданной кривой, как в упражнении 6). Такую материальную систему, очевидно, можно рассматривать как голономную с одной степенью свободы, принимая, например, за обобщенную координату q криволинейную абсциссу положения, занимаемого внутри трубки одним из концов нити. [c.348]

Сначала, исходя из тензорного представления пограничного слоя, с помощью тензоров составляются уравнения импульсов в обобщенных криволинейных координатах, для которых поверхность тела является координатной поверхностью. В качестве специальных координат поверхности тела выбираются координатные линии, являющиеся линиями тока и их ортогональными траекториями. [c.360]

Эта глава посвящена задачам теории упругости, представленным в обобщенных криволинейных координатах [1—61. Предположим, что положение точек недеформированного тела определяется пространственными координатами (а , а , а ). Точнее говоря, введем тройку величин (а , а , а ), которая задает положение произвольной точки тела до деформации. Этим набором чисел мы будем характеризовать материальную точку тела Р и в процессе деформации. Введем радиус-вектор точки до- деформации [c.103]

Пусть положение механической системы (тела переменной массы) определяется 5 независимыми параметрами <7ь <72, . , <75, которые выберем за обобщенные (криволинейные) координаты тела. [c.114]

Дивергенция и ротор векторного поля V в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат определяются как [c.11]

Можно также представить лагранжиан как функцию обобщенных криволинейных координат ч, - и их производных по времени t (обобщенных скоростей [c.16]

В этой главе кратко суммированы основные понятия, необходимые для изучения книги. Начав с введения о содержании, мы затем привели уравнения Максвелла (1.1) — (1.4), описывающие поведение электрических и магнитных полей. Введена обобщенная криволинейная ортогональная система координат как удобный способ записи уравнений в любых координатах, подходящих для решения поставленной задачи. Уравнение (1.14) [c.21]

Подставляя теперь в уравнение (5.4) t=l и t=2 и используя (2,74), после ряда алгебраических преобразований получим релятивистские траекторные уравнения в обобщенных криволинейных координатах. [c.249]

Уравнение diw = 0 в обобщенных криволинейных координатах [c.110]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

Вследствие основной роли, которую играет уравнение Лапласа при изучении течения однородных жидкостей в пористой среде, дадим вывод этого уравнения в обобщенных криволинейных координатах. Более точные выводы этого уравнения можно получить на основании процедуры прямого преобразо-, д д д [c.599]

В механике применяются не только декартовы координаты — часто применяют так называемые обобщенные криволинейные) координаты. Обобщенные координаты представляют со- u(t)Jfs м [c.15]

Обобщенные (криволинейные) координаты 15, 64 181, 339, 378, 379 [c.492]

Радиус-вектор г является функцией обобщенных (криволинейных) координат 2 Яъ 21) [c.13]

Метод обобщенных координат. Для определения положения равновесия, кроме метода неопределенных множителей Лагранжа, можно пользоваться методом независимых параметров (обобщенных или криволинейных координат). [c.290]

Таким образом, кинетическая энергия в криволинейных координатах выражается в виде полинома второй степени от обобщенных скоростей qi- [c.456]

Видим, что обобщенные силы суть коэффициенты при дифференциалах криволинейных координат в выражении для элементарной работы. [c.182]

Для определения положения точки в пространстве пользуются также криволинейными координатами ( 47) положение твердых тел можно задавать не только эйлеровыми углами, но и другими параметрами, играющими аналогичную роль. Таким образом, для определения положения материальной системы в пространстве применяют самые разнообразные приемы. Любая совокупность параметров, достаточная для определения положения системы в пространстве, называется обобщенными координатами системы. При этом не предрешается вопрос о том, все ли координаты необходимы для указанной цели, нельзя ли определить положение системы при помощи только части этих параметров или вообще меньшего числа параметров. [c.301]

Многие задачи механики, теоретической физики и других наук приводят к понятию тензора. Это понятие имеет более сложный характер, нежели понятие вектора. Определение вектора как направленного отрезка не дает возможности естественным обобщением перейти к понятию тензора. Поэтому постараемся дать такое определение вектора, эквивалентное прежнему, чтобы обобщение его привело к понятию тензора, которое нельзя пояснить при помощи простого геометрического образа. Для этого нам понадобится ввести в рассмотрение произвольные криволинейные координаты. По отношению к этим координатам и будет дано определение вектора, а впоследствии тензора, как некоторого объекта, не меняющегося при изменении системы координат. [c.6]

Положение механической системы, состоящей из п материальных точек, определяется Зп декартовыми координатами. Но если на систему наложено s голономных стационарных удерживающих связей, то уравнения связей можно разрешить относительно s произвольных декартовых координат и выразить эти координаты через остальные Зп — s. Тогда число независимых координат, определяющих положение системы, будет равно Зи — s. При решении некоторых задач для определения положения системы вместо декартовых координат точек могут использоваться другие геометрические параметры криволинейные координаты, углы, площади, объемы и т. д. Любые независимые параметры, однозначно определяющие положение механической системы, называются обобщенными координатами этой системы и обозначаются через 5,, да,. .Чт- Их число совпадает с числом независимых декартовых координат, т. е. [c.295]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Производную по t от какой-либо криволинейной координаты q называют скоростью обобщенной. Если какой-либо угол, например, сферическая координата ф, изменяется во времени, то производная от этого угла по t называется иногда угловой скоростью. [c.61]

При применении обобщенных цилиндрических координат v, и, t уравнение резной линейчатой поверхности Монжа (развертывающегося геликоида) имеет вид (1.163). В этом случае соотношения (4.3) и (4.13) с учетом формул (1.141) дают для криволинейных координат и, t [61] [c.105]

Вначале рассмотрим лагранжеву задачу о выводе уравнений гипердвижения тела переменной массы в обобщенных (независимых) координатах. Лля этого будем положение тела переменной массы (механической системы) определять к обобщенными криволинейными координатами 1, 2, , к — число степеней свободы тела переменной массы. [c.221]

Легко видеть, что оба уравнения имеют одинаковую аналитическую структуру, причем натяжению Т, направленному по касательной к кривой равновесия, в первом уравнении отвечает скоросты , направленная по касательной к траектории точки, во втором уравнении, силе Р, отнесенной к единице длины нити, уравнения (7.1) отвечает сила — Р/гп, отнесенная к единице массы точки, уравнения (7.2). Этой аналогией объясняется сходство между другими формами уравнений равновесия нити и уравнений движения материальной точки. Так, например, уравнениям равновесия нити в естественных осях, в обобщенных (криволинейных) координатах, в канонической форме Гамильтона отвечают соответствующие уравнения движения материальной точки. Можно привести ег другие формы уравнений равновесия нити, имеющие соответствующие аналоги в динамике, например уравнение в частных производных в форме Гамильтона — Остроградского (впервые оно было получено акад. В. Г. Ишменецким [c.39]

Преобразуем уравнение (ЗЛ.22 ), используя понятие обобщенных криволинейных координат ( , рассмотренных в 2.4. Это позволит срапнительно просто осуществить переход к уравнениям движения, содержащим конкретную форму криволинейных ортогональных координат, подобно точу, как это было сделано с уравнением неразрывности. [c.107]

Известно, что вектор grad F q-2, =0 — уравнение обтекаемой поверхности q, < 2, 93 —обобщенные криволинейные координаты] совпадает по направлению с нормалью к поверхности. Тогда при соблюдении условия безотрывного обтекания скалярное произведение этого вектора и вектора скорости V будет равно нулю. Следовательно, в математической форме условие безотрывного обтекания можно представить таким образом [c.126]

Несравненно удобнее, однако, вводить новые переменные, переходя от декартовых координат к друшм — обобщенным (криволинейным) координатам, с помощью которых проще и выразительнее можно описать движение рассматриваемой системы. Новые координаты называются обобщенными, так как они представляют собой некоторые функции декартовых координат размерность обобщенных координат может отличаться от размерности декартовых. Формулы преобразования должны быть конечными (не дифференциальными), а само преобразование должно быть взаимно однозначным (может быть, в некоторых пределах) ). Если же окажется, что по какой-либо причине формулы преобразования будут дифференциальными, то они должны быть интегрируемы—новые координаты должны быть голономными. Числоновых координат равно числу независимых декартовых координат, а для систем свободных точек —числу всех декартовых координат. Обычное обозначение обобщенной координаты — буква <7 , где 5—номер координаты ). [c.181]

Методика расчетов. Решение задачи осуществляется с помощью неявного нефакторизованного метода [8], использующего для аппроксимации пространственных производных разностные схемы четвертого порядка [9]. При этом производится переход к обобщенной криволинейной системе координат с сохранением дивергентной формы исходных уравнений. Это позволяет описывать течение минимально необходимым количеством узлов сетки за счет их сгущения в направлении твердой поверхности, а сами границы обтекаемого тела задавать с помощью координатных линий. [c.82]

Скороаь точки в криволинейных координатах. При движении гочки ее радиус-век юр через обобщенные координаты зависит 01 времени. i, е, [c.130]

Обобщенные координаты qu, определяющие положение свя,зной механической системы, можно рассматривать как криволинейные коорд1И1аты точки в s-мерном пространстве — подпространстве конфигураций. [c.81]

От декартовых координат в уравнениях (185.63) можно иерейти к криволинейным координатам, если каждое из уравнений (185.63) умножить соответственно па dx-jdq, , dy.jdq , dz.Jdq , сложить их и преобразовать, используя леммы об обобщенных скоростях. В результате 1и0лучи м уравнения [c.300]

КОВАРИАНТНАЯ производная — обобщение градиента в случае криволинейных координат и неевк.пи- [c.390]

Уравнения (4.36) суть не что иное, как естественное обобщение на случай криволинейных координат определений (3.14). Величины fxii определяют деформированное состояние в криволинейном бесконечно малом параллелепипеде, который до деформации ограничен шестью поверхностями = onst, + da = onst. [c.108]

Обсуждение обобщенных краевых эффектов мы начнем со случая, когда кривизна срединной поверхности отрицательна, и выберем криволинейные координаты так, чтобы то семейство асимптотических линий, к которому принадлежит интересующий нас контур, совпало с линиями o j = onst. [c.149]

Если условие (1.7) соблюдено для всех точек среды и для любого момента времени, то деформации считаются малыми. В этом случае пространственные координаты х частицы отличаются от материальных координат X на бесконечно малые величины. Не оговаривая особо, мы будем обычно подразумевать, что система координат Xi является прямоугольной декартовой, а запятая перед индексом означает частное дифференцирование по соответствующей координате. Разумеется, нетрудно дать обобщение на произвольную криволинейную систему координат. Мы будем широко пользоваться и безындексной инвариантной формой записи. Так как система координат считается всюду фиксированной, то мы будем иногда называть тензором а и систему его компонент Oij. [c.9]

Использование полярной системы координат (0, г) (MODE = 3) является примером применения криволинейной ортогональной системы координат. В этом случае различные длины, площади и объемы являются простыми функциями от радиуса г. Она и должна быть расширена до обобщенной ортогональной системы координат. [c.284]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...