Гюйгенса система уравнений

Полученные Пуассоном и Остроградским результаты содержат математическое обоснование положения, обобщающего схему и выводы Гюйгенса, изложенные в первой главе Трактата о свете (см. выше, стр. 256—260). Первоначальное возмущение (источник) может быть не точечным, оно может захватывать трехмерную область, но оно остается, условно говоря, импульсивным — оно относится к определенному моменту времени. Если поведение среды описывается дифференциальными уравнениями типа волнового (волновое уравнение, которое рассматривал Пуассон в работе 1819 г., соответствует одномерному — скалярному случаю, система уравнений теории упругости, изучавшаяся Остроградским и Пуассоном, соответствует трехмерному — векторному случаю), то при отсутствии границ существует решение этих уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям и описывающее процесс распространения начального возмущения в среде. Этот процесс происходит с определенной скоростью, и в каждый данный момент в возмущенном состоянии находится только вполне определенная область среды. Любая точка среды находится в таком состоянии в течение вполне определенного конечного промежутка времени At, и в течение этого времени она является [c.275]

Это уравнение выражает теорему Гюйгенса — Штейнера момент инерции системы материальных точек относительно какой-либо оси равен ее моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс системы, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями. [c.168]

Доказательство. Теорема кинетической энергии применялась впервые Гюйгенсом в общем виде она была высказана Иваном и Даниилом Бернулли. Чтобы ее доказать, будем снова исходить из уравнений движений одной точки М системы [c.43]

Лучевая оптика является механикой световых частиц их траектории (в оптически неоднородных средах они ни в коем случае не будут прямолинейными) определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями Гамильтона или эквивалентным им принципом наименьшего действия. Напротив, с точки зрения волновой теории световые лучи получаются как ортогональные траектории системы волновых поверхностей. Последние, согласно принципу Гюйгенса, являются параллельными поверхностями. Гамильтон описывал семейство волновых поверхностей с помощью дифференциального уравнения (по необходимости — в частных производных) и распространил этот метод на мно- [c.301]

А это ие что иное, как принцип Якоби (см. гл. V, п. 6), который снова оказался эквивалентным принципу наименьшего действия. Параллелизм между механическими и оптическими явлениями можно усмотреть уже из сравнения принципа Якоби с принципом Ферма, Принцип Якоби допускает оптическую интерпретацию, если консервативной механической системе поставить в соответствие оптическую среду с коэффициентом преломления, меняющимся пропорционально Ye— V. Эта аналогия может быть использована обеими науками. С одной стороны, канонические уравнения Гамиль-тона становятся применимыми в оптических задачах. С другой стороны, из оптики в область механики могут быть перенесены методы построения волновых фронтов Гюйгенса, [c.311]

Если существует эта зависимость, то к системе (1) можно присоединить какое-нибудь новое уравнение с п неизвестными функциями q t) как увидим далее (ср. упражнение 13), представляет интерес, в частности, случай, когда в виде добавочного уравнения принимается соотношение Й= 1. Если бы мы приняли функцию 8 равной какой-нибудь постоянной, не равной нулю, то можно было бы эту постоянную принять за единицу, деля уравнения (1) и, следовательно, й на 8q. Назовем системой Гюйгенса (оправдание такого названия отложим до упомянутого упражнения 13) систему [c.367]

Рассмотрим теперь оптические системы, включающие в себя все те элементы, свойства которых в дифракционном приближении нам уже известны. При этом мы не станем, как это нередко делается [138, 33], переходить к дифференциальным уравнениям для комплексной амплитуды и анализировать их, а воспользуемся более наглядным подходом, развитым автором в [16, 17] и основанным на непосредственном использовании принципа Гюйгенса — Френеля. Начнем с того, что установим способ вычисления функции отклика сложной оптической системы по известным функциям отклика ее составных частей. [c.19]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Аналогия между механикой и волновой теорией света Гюйгенса основана на представлении процесса движения с помощью канонических уравнений Гамильтона. В общем случае при ударе преобразование переменных состояния не является каноническим. При этом и разрывное движение (включающее, кроме участков непрерывного движения, также импульсивное движение) исходной системы не имеет указанной аналогии. [c.139]

Покажем, что оптико-механическая аналогия распространяется на системы, в которых кроме переменных р , г= 1,...,п), удовлетворяющих уравнениям (20), (23), введены дополнительно две группы переменных — и Г11, г = 1,...,п, сопряжённые соответственно с дг и Рг- Систему, движение которой описывается 4п переменными — дг, Рг, г, Г г, далее будем называть расширенной. Для того чтобы имела место аналогия с волновой теорией света Гюйгенса, импульсивное движение расширенной системы должно быть каноническим преобразованием. Построение расширенной системы проведём на основе метода Лиувилля приведения уравнений к канонической форме [1]. Кроме уравнений (20), (23), которым должны удовлетворять переменные дг, [c.139]

Основные законы распространения взаимной когерентности были выведены из принципа Гюйгенса — Френеля, но интересно было бы исследовать задачу о ее распространении на более общей основе. В данном пункте мы начнем со скалярного волнового уравнения, описывающего распространение полей, и покажем, что функция взаимной когерентности удовлетворяет системе двух волновых уравнений (это впервые было установлено Вольфом). [c.192]

Решение различных задач о распространении С. может быть осуществлено при помощи уравнения (3) при соответственном задании граничных и начальных условий. В частности из уравнения (3) выводятся вспомогательные принципы оптики, принцип Гюйгенса, принцип Ферма, принцип прямолинейного распространения С. для однородной среды и различные другие положения геометрической оптики (см. Гюйгенса принцип, Ферма принцип). Явления, наблюдаемые при отражении, рассеянии, распространении С. в анизотропных средах, доказывают для всей шкалы светового спектра поперечность световых возмущений (см. Поляризация света). Световые колебания в изотропной среде происходят в плоскости, перпендикулярной к линии распространения. Свойства электромагнитных волн, излучаемых искусственными электрическими системами—радиостанциями (см.), вибраторами Герца (см.),— вполне совпадают с перечисленными свойствами С., т. е. распространяются с той же скоростью, поперечны и описываются ур-ием (3). На этом основании и по косвенным подтверждениям, получаемым из явлений взаимодействия С. и вещества, можно утверждать, что природа любых световых волн электромагнитная. При этом световой вектор, определяющий действия С. на вещество, есть вектор электрический, что доказано опытами со стоячими световыми волнами при фотохимическом действии (Винер) и при возбуждении флуоресценции (Друде и Нернст). [c.146]

Мы ограничимся представлением о плоских волновых полях (монохроматических или немонохроматических). Предположим, что плоская волна распространяется в положительном направлении оси 2 выбранной нами пространственной системы координат (фиг. 9.1). Несколько оптических (поляризующих) приборов, соединенных последовательно (показанных на фиг. 9.1 в виде черного квадрата), воздействуют па приходящую плоскую волну, создавая затем выходящую плоскую волну. Прежде всего нам нужно найти такое представление плоской волны, которое было бы однозначно связано с ней. Тогда действие черного квадрата может быть охарактеризовано неким математическим оператором . Мы потребуем, чтобы оператор был линейным. Это согласуется с линейностью уравнений Максвелла, описывающих поле (и функцию взаимной когерентности Г1 ), распространяющееся в соответствии с принципом Гюйгенса. В современных методах исследования частичной поляризации, о которых мы собираемся говорить, рассматриваются в основном линейные задачи, а векторная природа света учитывается с помощью матриц. [c.197]

XIX столетие, в особенности его вторая половина, было эпохой замечательных успехов математической физики, Пуассон, Коши, Грин, Кирхгоф и особенно Стокс и Релей — вот очень неполный перечень имен, если его можно считать достаточным. Однако, за исключением обсуждения Стоксом вопроса о природе естественного и частично поляризованного света как суперпозиции многих поляризованных волн (разд. 5.13 этой книги), основные проблемы оптики не были решены. Поиски направлялись скорее на умение математически формулировать сложные явления, чем на проникновение в физическую сущность простых явлений. Были найдены координатные системы, в которых волновое уравнение допускает разделение переменных. Толкование Френелем принципа Гюйгенса было математически обосновано Кирхгофом. Бесселевы и родственные им функции стали могущественным оружием. Проблемой, типичной для той эпохи, было рассеяние света однородным шаром, что является одной из главных тем этой книги. Она оказалась одной из весьма трудных проблем, и, хотя многие частные случаи были рассмотрены ранее, ее полное решение было сформулировано Ми только в 1908 г. [c.17]

Если положим с = 0 и исключим возможные состояния равновесия в точках поверхности, расположенных на оси z (р = 0), то получим 6 = onst. Такое движение осуществляется в математическом маятнике (гл. I, пп. 33—41) и циклоидальном маятнике Гюйгенса (там же, п. 43). Движение будет определяться первым уравнением системы (87), которое здесь примет вид [c.149]

Поскольку все же известное истолкование этой микроструктуры, конечно, при дополнительных весьма искусственных предположениях, может быть получено с помощью классической механики (причем имеются значительные практические достижения), то мне кажется особенно знаменательным, что подобное истолкование (я имею в виду квантовую теорию в форме, предложенной Зоммерфельдом, Шварцшильдом, Эпштейном и некоторыми другими) находится в теснейшей связи с уравнением Гамильтона и теорией Гамильтона—Якоби, т. е. с той формой классической механики, которая уже содержит отчетливое указание на истинный волновой характер движения. Уравнение Гамильтона соответствует как раз принципу Гюйгенса (в его старой наивной, а не в строгой, приданной ему 1 рхгофом форме). И подобно тому, как последний принцип, дополненный совершенно непонятными с точки зрения геометрической оптики правилами (правило зон Френеля) уже в значительной мере разъясняет явления дифракции, можно в некоторой мере уяснить, исходя из теории функции действия, происходящие в атоме процессы. Напротив, можно запутаться в неразрешимых противоречиях, если пытаться, как это кажется естественным, полностью удержать и для атомных процессов понятие траектории системы подобно этому бессмысленно, как известно, подробно изучать в области дифракционных явлений движение светового луча. [c.690]

Канонические уравнения оказывались, по существу говоря, математическим выражением принципа Гюйгенса, рассматриваемого в его первоначальном геометрическом виде. Механическое движение с этой точки зрения рассматривается как непрерывное саморазвертывание касательного преобразования. Глубокая аналогия между идеями гамильтоновой механики, не зависящей от выбора системы координат, и геометрией многомерных пространств привела к геометризации механики. Было выяснено, что разыскание движения голономных систем со связями, независимыми от времени под действием сил, имеющих потенциал, может быть сведено к задаче геодезических линий. Механика Герца, основанная на его принципе прямейшего пути, была геометризована в н-мерном пространстве однако она, несмотря на последовательность построения, оказалась малоплодотворной в силу сложной замены сил связями со скрытыми, вообще говоря, системами. [c.841]

Основное в динамике Гамильтона— Якоби— вариационный принцип, связанный с оптико-механической аналогией, теория интегрирования канонических уравнений Гамильтона и уравнение в частвсых производных Гамильтона — Якоби в связи с касательным преобразованием. Внутренний смысл всей этой математической схемы заключен в ее связи с принципом Гюйгенса, в возможности представлять механическое движение не только в виде перемещения тела (системы точек), но и в виде развертывания касательного преобразования поверхностей равного действия, в глубокой связи траектории луча с некоторой поверхностью (волновой или действия ), выражающей взаимосвязанность корпускулярного и волнового аспектов движения в механике и физике. [c.216]

Вполне традиционным по тематике был трактат Антуана Парана Элементы механики и физики, где геометрически выводятся принципы удара и равновесия для любых типов тел с естественными приложениями к основным машинам [263], изданный в Париже в 1700 г. В докладе, зачитанном Параном 24 июля 1700 года в Парижской академии, он впервые использовал систему трех ортогональных координат в пространстве для записи уравнения сферы. По иронии судьбы Академия отказала автору в праве публикации этого доклада. По в 1702 г. он опубликовал другую работу, посвященную гиперболоиду вращения, где также использовалась пространственная система координат. А в 1703-1705 гг. в Париже был издан трактат Исследования по физике и математике " [264], в котором вновь используются три пространственные координаты . Здесь же Паран пытается показать ошибочность доказательства Гюйгенса, касающегося траектории изохронного движения маятника . Сорен, а позднее Лувиль и И. Бернулли, вы- [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...