Устойчивость равновесия момент устойчивости

Отсюда видно, что при малом отклонении ф>0 возникает составляющая реакции Ry>0, стремящаяся вернуть центр масс цилиндра к положению устойчивого равновесия момент всей реакции R относительно центра масс стремится повернуть цилиндр почасовой стрелке, т. е. опять-таки к положению устойчивого равновесия. [c.367]

В вибрографе для записи горизонтальных колебаний фундаментов машин маятник ОА, состоящий из рычага с грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси О, удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести маятника относительно его оси вращения равен Mgh, момент инерции относительно той же оси равен /г, коэффициент жесткости пружины, сопротивление которой пропорционально углу закручивания, равен с при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротивлениями пренебречь. [c.287]

В вибрографе для записи горизонтальных колебаний маятник ОА, состоящий из рычага и груза, может качаться вокруг горизонтальной оси О около вертикального положения устойчивого равновесия, удерживаясь в этом положении собственным весом и спиральной пружиной. Зная максимальный статический момент силы тяжести маятника Qa = 45 Н-см, момент инерции относительно оси О У = 0,3 кг-см и жесткость при кручении [c.408]

Малая по модулю вынуждающая непериодическая сила, представимая интегралом Фурье. Рассмотрим теперь движение стационарной системы, возникающее под действием вынуждающей силы при следующих условиях. Будем предполагать, что вынуждающая сила была равна нулю до некоторого момента времени, принятого нами за нуль отсчета времени, т. е. что до этого момента система находилась в положении устойчивого равновесия и что, начиная с момента / = 0, на систему действует вынуждающая сила, зависящая от времени, но малая по модулю, так что движения, вызванные этой силой, могут быть описаны соответствующими уравнениями линейного приближения. Иначе говоря, предполагается, что все qj = qj = 0 при <0 и что движение возникает лишь благодаря тому, что Q O при />0. Таким [c.252]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Мы определили работу восстанавливающего момента, вызванного силой тяжести и стремящегося восстановить устойчивое равновесие массива. Работа на опрокидывание массива вращением вокруг ребра D равна ей по величине и противоположна по знаку. [c.373]

Несвободное тело, имеющее одну точку опоры или линию опоры, может находиться в равновесии лишь в тот момент, когда центр тяжести и точка (ось) опоры находятся на одной вертикали. При этом различают три вида равновесия устойчивое, неустойчивое и безразличное. Примером тела, находящегося в состоянии устойчивого равновесия, является линейка, подвешенная в точке А (рис. 1.110, а). [c.76]

Необходимо заметить, что увеличение веса тела не всегда сопровождается возрастанием устойчивости. При наклонном положении тела (рис. 1.114, а) сила тяжести создает опрокидывающий момент. Для устойчивого равновесия тела необходимее, чтобы равнодействующая всех сил, действующих на него, включая вес, не выходила за пределы площади опоры (рис. 1.114,6). [c.79]

Для того чтобы определить поведение шарика, нужно не только найти состояние равновесия, но и решить вопрос об устойчивости. Аналогично тому, что было сказано об устойчивости равновесия в 29, если момент сил, возникающих при отклонении от положения равновесия, возвращает шарик к положению равновесия, то состояние равновесия устойчиво в противном случае состояние равновесия неустойчиво. Иначе говоря, для устойчивости состояния равновесия необходимо, чтобы результирующий момент обеих сил был по знаку противоположен отклонению от положения равновесия. Из выражения [c.367]

Рассмотрим условия устойчивости для плавающего на поверхности жидкости прямоугольного параллелепипеда. Из условий равновесия следует, что целиком погруженная грань параллелепипеда должна быть горизонтальна. При отклонении параллелепипеда от положения равновесия центр тяжести вытесненного объема перемещается в ту же сторону, куда наклонился параллелепипед. Вследствие того, что точка приложения силы тяжести О и точка приложения подъемной силы С не лежат на одной вертикали, возникают моменты силы тяжести и подъемной силы. Если полностью погруженная в жидкость грань EF параллелепипеда больше, чем частично погруженные DE и GF (рис. 283), то возникший момент будет возвращать тело к положению равновесия — равновесие будет устойчиво. В противном случае (рис. 284), когда полностью погруженная в жидкость грань EF меньше, чем частично погруженные грани BE и GF, возникший момент будет еще больше наклонять тело — равновесие будет неустойчиво. Условие устойчивости равновесия, как легко видеть, сводится к тому, чтобы [c.509]

Пусть в начальный момент времени система имеет наибольшее смещение из положения устойчивого равновесия, равное а, т. е. х = а при i = 0. В этом положении полная энергия Е системы состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения [c.167]

Таким образом, кривая Гриффитса (12.34) определяет момент возникновения неустойчивости в равновесии трещины, когда любая случайная вариация напряжений или длины трещины вызывает прогрессирующий рост трещины. Отсюда и название — критический коэффициент интенсивности напряжений, поскольку достижение значения Kj = знаменует потерю устойчивости равновесия системы (аналогично термину критическая сила для сжатого стержня, теряющего устойчивость). [c.386]

Возможность использования такого метода исследования траектории основана на слабой чувствительности перемещения центра масс к вращательному движению аппарата вокруг этого центра вплоть до того момента, когда аппарат примет положение статически устойчивого равновесия. Изучение этого движения при отклонении органов управления или в результате действия каких-либо случайных возмущений может осуществ- [c.25]

Пусть система (например, какой-либо газ) не находится в термодинамическом равновесии с окружающей средой. В некоторый момент времени полностью изолируем систему от внешней среды. Как известно, под действием внутренних процессов такая система через тот или иной промежуток времени неизбежно придет в состояние равновесия — произойдет затухание механических движений, выравнивание температур, плотностей и т. щ Все процессы, приводящие систему в равновесное состояние, являются необратимыми, и тем самым протекание их обусловливает увеличение энтропии системы. Следовательно, переход системы из неравновесного, а значит в термодинамическом смысле неустойчивого, состояния в равновесное устойчивое состояние сопровождается ростом энтропии. Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия энтропия системы имеет наибольшее значение. [c.122]

За меру статической неуравновешенности, или статического дисбаланса, принимают статический момент масс звена относительно оси вращения А = тгз- Эту неуравновешенность называют статической, так как ее можно обнаружить статическим испытанием. С этой целью звено цилиндрической формы устанавливают на два горизонтальных ножа (бруска). Если центр масс расположен на оси цилиндра, то звено будет находиться в равновесии при любом положении, в противном случае оно будет двигаться, пока не займет положения устойчивого равновесия, при котором центр масс имеет наинизшее расположение. [c.124]

Легко видеть, что если в начальный момент скорость (о выше (о , то она будет уменьшаться, пока не достигнет о),.. Таким образом, установившееся движение или состояние покоя представляют собой те состояния, к которым стремится каждое неустановившееся движение. В этом смысле они подобны состояниям устойчивого равновесия, поэтому скорость 0) называют также равновесной. [c.61]

Таким образом, существовало бы движение системы, в котором величины q и их производные, будучи сколь угодно малыми в начальный момент, становились бы с течением времени сколь угодно большими, что противоречит условию устойчивости равновесия. [c.303]

С помощью винтов V и v, винтов и н и и противовеса р, скользящего с сильным трением по игле, которая служит продолжением оси vv тора, можно добиться того, что центр тяжести u подвижной системы расположится на оси vv тора немного ниже точки О. Если тор не вращается, то получится при этом физический маятник, подвешенный на оси АА. Этот маятник находится в положении устойчивого равновесия, когда игла v p, т. е. ось тора, вертикальна. Теперь, сообщив тору при помощи какого-либо механизма очень быстрое вращение вокруг его оси, надо опять положить рамку на ее опору, управляя вилками F к F так, чтобы лезвия ножей А п А в точности заняли предназначенные им горизонтальные положения. С этого момента и начнут развиваться слабые, но вполне заметные явления, обнаруживающие вращение Земли. Система примет новое кажущееся положение устойчивого равновесия, при котором ось тора не будет уже вертикальной, а будет образовывать с вертикалью малый угол Е, который будет тем больше при одной и той же скорости, чем ближе будет вертикальная плоскость, в которой движется ось тора, к плоскости меридиана. При наиболее благоприятных условиях, когда вертикальная плоскость, в которой движется ось тора, установлена в плоскости меридиана, угол отклонения Е оси тора от вертикали заметен очень отчетливо. Он будет тем больше, чем больше собственное вращение тора и чем меньше расстояние OG от центра тяжести до оси АА. Отклонение Е будет происходить к северу или к югу в зависимости от направления вращения тора. Это легко объяснить, применяя к рассматриваемому случаю установленные выше общие формулы. [c.321]

Если Гд достаточно велико или ю достаточно мало, то это соотношение делается невозможным, так как правая часть будет по величине больше единицы. В этом случае Gx все время имеет знак —sin к (так как ю, os а и Гд предполагаются положительными на основании введенных ранее условий). Отсюда следует, что момент О х действует в отрицательную сторону, если X заключено между О и д, и в положительную сторону, если X заключено между О и — тт. В обоих случаях этот момент стремится уменьшить абсолютное значение угла X, т. е. стремится привести ось Oz тела к совпадению с осью OZ и, следовательно, к положению, где взаимное отклонение двух осей вращения Oz и ON наименьшее. Это положение является поэтому единственным возможным положением устойчивого равновесия. [c.184]

Если в начальный момент времени положение склерономной системы выбрано достаточно близким к положению устойчивого равновесия и начальные скорости по абсолютной величине достаточно малы, то на протяжении всего движения будут малыми по абсолютной величине как сами отклонения от положения равновесия, так и обобщенные скорости. Это обстоятельство позволяет сохранить в дифференциальных уравнениях движения только линейные члены относительно отклонений и скоростей, а члены более высокого порядка малости отбросить. Тогда дифференциальные уравнения движения становятся линейными, т. е. задача линеаризуется . В этом параграфе рассматривается линеаризация уравнений движения для случая консервативной системы. [c.230]

Из соотношения (7) следует, что равновесие твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость, может быть нарушено только такими активными силами, результирующий момент которых относительно этой оси (ориентированной так, как мы условились выше) положителен. Поэтому можно сказать, что заданное состояние равновесия будет тем далее от этого опасного случая, чем больше абсолютная величина момента (самого по себе отрицательного) активных сил естественно поэтому принять число I I за меру устойчивости рассматриваемого состояния равновесия. Число l-M I определяет наибольшее значение, которого может достичь без нарушения равновесия момент относительно оси случайных сил, т. е. сил, не причисляемых заранее к активным силам. [c.125]

Это число I I называется моментом устойчивости равновесия твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость. [c.125]

Предположим теперь, что наряду с потенциальными силами упругости, стремящимися вернуть систему, отклоненную от системы устойчивого равновесия, обратно в это положение, на систему действуют возмущающие силы, зависящие от времени. Обозначая, как и выше, через Г и Я кинетическую и потенциальную энергии системы, а через t) я ( ) обобщенные силы, соответствующие возмущающим моментам, причем первая приложена к системе звездочки с приведенным моментом инерции а вторая — к системе обоймы с приведенным моментом инерции /а. имеем уравнения движения [c.52]

Таким образом, процесс конденсации пара затруднен до тех пор, пока в среде будет достаточно большое количество ПАВ. Это приведет к дальнейшему росту переохлаждения, а зона интенсивной спонтанной конденсации сместится по потоку в сечение, где оставшееся в паровой фазе количество ПАВ будет незначительным. Главным моментом рассматриваемой модели является экранирующее действие ПАВ, приводящее к тому, что зона интенсивных фазовых превращений смещается по потоку переход системы из метастабильного состояния в положение устойчивого равновесия произойдет при большей степени метастабильности. Предполагается, что процессы конденсации ОДА и водяного пара начинаются практически одновременно [130]. [c.299]

Аккреция на белые карлики и нейтронные звёзды приводит к формированию на их поверхности водородного или гелиевого слоя, Тепловое равновесие слоя определяется в осн. нагревом при сжатии вследствие аккреции и охлаждением вследствие лучистого теплоотвода. Слой эволюционирует устойчиво до момента, когда скорость генерации ядерной энергии при сгорании водорода или гелия начинает превышать скорость теплоотвода ,у. Величина б зависит от темп-ры сильнее, чем е ,у, поэтому происходят перегрев слоя и термоядерный взрыв. Взрыв может сопровождаться выбросом вещества из системы. Подобная неустойчивость проявляется как вспышки новых [c.109]

Первая глава. В первой главе описан анализ существующих методов расчета устойчивости откосов, их достоинства и недостатки. Подробно рассмотрены графо-аналитические методы расчета (так как они разрешены и указаны в действующих нормативных документах), приведена условная классификация по двум основным позициям 1) используемые уравнения равновесия расчетной схемы и 2) обоснование и выбор предполагаемой поверхности потери устойчивости. Это сделано в связи с тем, что применимость той или иной методики обусловлена геологическим сложением откоса и классом проектируемого сооружения. В соответствии с принятым разделением по уравнениям равновесия расчетной схемы можно выделить 1 - методы общего равновесия моментов 2 - методы равновесия сил 3 - методы равновесия моментов и сил. По формам поверхностей скольжения выделяются 1) плоская, 2) круглоцилиндрическая, 3) ломаная, 4) произвольная. Выбор той или иной поверхности скольжения основан на следующих фактах свойства грунтов, слагающих склон визуальные наблюдения за подвижками грунта на склоне и результаты геодезических замеров опыт проектировщика класс ответственности проектируемых объектов и возможный ущерб от разрушения склона. Из новых методов расчета устойчивости откосов можно выделить метод, предлагаемый Богомоловым А.П. [c.7]

Рассмотрим влияние непостоянства момента силы тяжести дебаланса относительно оси вращения в простейшем случае, когда корпус / вибровозбудителя (рис. 9, а) н связанное с ним наружное кольцо подшипника 2 дебаланса 3 неподвижны, а ось вращения О дебаланса горизонтальна. В положении устойчивого равновесия центр массы А дебаланса лежит на вертикали Ох ниже оси вращения. Текущее положение дебаланса будем определять углом ф отклонения радиус-вектора г = ОА центра массы дебаланса от положения устойчивого равновесия. Система имеет одну степень свободы и может быть описана дифференциальным уравнением [c.250]

На рис. 1.100, а изображены три тела у тел 1 и 2 центры тяжести расположены на одной высоте от опорной плоскости, но у тела 2 опорная плоскость шире, чем у 7 опорная плоскость у тела 3 по форме и размерам такая же, как у тела 7, но центр тяжести расположен ниже — ближе к опорной плоскости. Все три тела на.ходятся в устойчивом равновесии, так как если любое из них немного наклонить (рис. 1.100, б), то их центры тяжести С поднимаются, а после прекрахцения действия поворачивающих сил каждое тело возвращается в первоначальное положение под действием момента силы тяжести О относительно оси поворота. [c.79]

Пример. Асимптотическая устойчивость равновесия твердого тела, имеющего неподвижную точку в среде с сопротивлением. Пусть тело вращается iioiqiyr иоподимжпой точки О и среде, создающей момент сопротивления [c.375]

Условия (13.26) необ.чодимы, но не достаточны для того, чтобы тело находилось в состоянии равновесия. Для этого необходимо также, чтобы скорости всех точек тела в положении равновесия были равны нулю (так как в противном случае тело уйдет из положения равновесия). Но и этого условия не достаточно, чтобы тело длительное время находилось в состоянии равновесия. В реальных условиях на всякое тело действуют случайные внешние толчки, которые немного отклоняют тело от положения равновесия, В этом новом положении условия (13.26) нарушаются, т. е. суммы внешних сил и их моментов оказываются не равными нулю. Дальнейшее поведение тела, как мы уже видели ( 29), зависит от того, в каком направлении действуют силы и моменты сил, возникшие при отклонении тела от положения равновесия если эти силы и моменты сил направлены так, что они возвращают тело к положению равновесия, то, несмотря на случайные толчки, тело будет все время находиться вблизи положения равновесия и никогда не уйдет от него далеко, если случайные внешние толчки достаточно малы — состояние равновесия будет устойчивым. Если же возникшие силы и-моменты сил направлены так, что они уводят тело еш,е дальше от положения равновесия, то тело может уйти как угодно далеко от положения равновесия — состояние равновесия будет неустойчивым, Ясно, что длительное время тело может находиться только в устойчивом состоянии равновесия. [c.415]

Рассмотрим равновесие в точке 1. Если отклонить летательный аппарат на угол, меньший или больший аюал, и предоставить его самому себе, то возникший соответственно положительный или отрицательный момент вызовет увеличение (уменьшение) этого угла до прежней величины ах б ал т. е. эти моменты окажутся стабилизирующими. Таким образом, положение равновесия в точке I устойчиво (летательный аппарат статически устойчив). Аналогично можно показать, что такое положение устойчивого равновесия будет соответствовать и точке 3. В первом случае свободное вращение летательного аппарата будет продолжаться до тех пор, пока он не займет положение равновесия в точке Л а во втором случае—в точке 3. [c.32]

Моменты от дополнительных подъемных сил ДР и от сил веса залитой воды ДО, нозникаюЙ1ие вследствие наклона сосуда, одинаковы по величине, но противоположны по знаку и поэтому не влияют на условия равновесия. Отсюда, для устойчивого равновесия необходимо [c.73]

Если, наоборот, равнодействующая проходит внутри опорного многоугольника, то момент ее относительно любой из сторон опорного многоугольника не равен нулю. В таком случае он имеет наименьшее значение относительно одной (или нескольких) из этих прямых, например, А А". Пусть М есть этот нанменьший момент. Чтобы вызвать нарушение равновесия введением новой силы, действующей нормально к плоскости, необходимо сделать так, чтобы точка пересечения равнодействующей с плоскостью была выведена за пределы опорного многоугольника. Для этого достаточно приложить новую силу, момент которой относительно А А" был бы больше М и противоположен ему по знаку. В этом случае говорят, что равновесие устойчиво, наименьший момент М (момент устойчивости) измеряет, в некотором смысле, степень устойчивости равновесия. [c.245]

Пример. В задаче Кеплера исключение О приводит к появлению фиктивной потенциальной энергии вида Это означает наличие фиктивной отталкивающей силы, пропорциональной 1//- , в то время как сила притяжения пропорциональна 1 /г . Эти две силы уравновешивают друг друга в некоторой точке, являющейся точкой устойчивого равновесия. Осцилляциями г вблизи SToii точки объясняются пульсации радиуса-вектора между перигелием и афелием. Если бы сила притяжеиия уменьшалась как 1/г или быстрее, то устойчивого равновесия между этими двумя силами не существовало бы и радиус-вектор не мог бы колебаться между конечными пределами. Траектории движения планет были бы либо гиперболического типа, либо типа спиралей, приближающихся к Солнцу — в зависимости от величины константы углового момента. (Кинетическое взаимодействие здесь равно нулю.) [c.156]

Твердое тело, притягиваемое отдаленной точкцй Р, может вращаться вокруг неподвижной точки О. Доказать, что, если главные моменты инерции относительно О не равны, то единственным положением устойчивого равновесия будет то, при котором ось с наименьшим моментом инерции направлена вдоль ОР. [c.62]

Теорема Лагранжа остается справедливой и д.ля системы, ко--торая получается из консервативной путем добавления диссипативных сил. При движении такой системы полная энергия Е во всяком случае не возрастает (см. гл. XVII, 17.5, раздел 2), и если в начальный момент а , то в дальнейшем это неравенство не нарушится. Отсюда следует, что диссипативные силы не могут дестабилизировать устойчивое равновесие системы, находящейся под действием потенциальных сил. [c.377]

УСТОЙЧИВОСТЬ (движения — стабильность какой-либо характеристики движения во все время движения по отношению к малым возмущениям движения в его начале равновесия — малость отклонения механической системы от положения равновесия в моменты времени, последующие за малыми возмущениями равновесия системы системы—свойство системы возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений из этого состояния термодинамическая — устойчивость равновесия термодинамической системы относительно малых вариаций ее термодинамических параметров) УШИРЕНИЕ (доплеровское — увеличение ширины спектральных линий, вызванное движением источника света относительно его наблюдателя спектральных линий — увеличение ширины спектральных линий по отношению к естественной ширине ударное — уширение спектральньгх линий, вызванное взаимодействиями атомов и молекул с окружающими их частицами) [c.291]

В этот момент величина потенциальной энергии системы W будет минимальна, что характерно для устойчивого равновесия (рис. 22.1, б). Стремление системы к минимуму свободной энергии соответствует второму закону термодинамики, а минимум потенциальной энергии — энергии ван-дер-ваальсовой связи. Если энергию поверхности монокристалла принять за то после соединения монокристаллов между ними устанавливается одна поверхность раздела с энергией И . Эта энергия меньше суммарной энергии двух поверхностей, т. е. 2Wa. [c.446]

Для статической балансировки с повышенной точностью применяют балансировочные весы (рис. 9). Весы (рис. 9, а) имеют две стойки I с калеными клиновидными опорами, в которых установлена опорная призма коромысла 2. На коромысле укреплены шкала 3 и стрелка 4, а также могут передвигаться гири 5 н 6. Для обеспечения устойчивого равновесия центр масс коромысла с балансируемым ротором расположен ниже центра колебаний. Подъемом груза 7 эти центры можно сближать, повышая чувствительность весов. Коромысло уравновешивают гирей 5 при нулевом положении гирц 6. При установке ротора под влиянием момента от неуравновешенности коромысло наклонится. Поворотом ротора добиваются нулевого положения стрелки 4, при котором центр масс ротора и опора коромысла находятся иа одной Вертикали. Отметив положение плоскости дисбаланса, ротор поворачивают на 90 , так что неуравновешенность действует па наибольшем плече, уравновешивают весы гирей 6 и по шкале 3 определяют необходимою корректирующою массу. [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...