Ось наименьших моментов

Если эллипсоид инерции для точки О построен, то момент инерции относительно какой-нибудь оси 03 равен 10Р , где Р обозначает точку пересечения оси 08 с эллипсоидом. Из всех осей, проведенных через точку О, наименьший момент инерции получится для той, которая совпадает с большой осью эллипсоида. [c.21]

Следовательно, ось, проходящая через центр тяжести, есть ось наименьшего момента инерции среди всех параллельных осей. [c.55]

Это является необходимым условием для того, чтобы конус полодии заключал внутри себя ось наименьшего момента инерции. [c.124]

Двутавровая балка нагружена моментами М, приложенными но торцам и действующими в плоскости наибольшей жесткости (чистый изгиб). Концы двутавра закреплены так, что оба торцевых сечения не могут поворачиваться вокруг продольной оси балки. Вместе с тем оба торцевых сечения могут свободно поворачиваться около своих главных центральных осей jr (ось наименьшего момента инерции) и у (ось наибольшего момента инерции). [c.329]

В. В. Белецкий, 1965). Ф. Л. Черноусько (1963) рассмотрел асимптотические решения уравнения (6.3) как при малых е, так и при любых е, но малых п . В последнем случае обнаружена, в частности, смена устойчивости 2я-периодического решения при е > 0,682, когда становится устойчивым решение, отвечающее < 0 при этом в перигее ось наи-(меньшего момента инерции направлена по касательной к орбите. Если же е < 0,682, то устойчиво периодическое решение, при котором в перигее ось наименьшего момента инерции направлена по радиусу-вектору (тг2>0). [c.290]

Рассмотрим нагружение полосы двумя моментами Ж, приложенными к торцовым сечениям и изгибающими полосу в плоскости наибольшей жесткости (фиг. 655). Концы полосы закреплены таким образом, что оба торцовых сечения не могут поворачиваться вокруг продольной оси го полосы (цилиндрические шарнирные опоры). Торцовое сечение полосы может свободно поворачиваться около своих главных центральных осей г/о (ось наибольшего момента инерции) и Хо (ось наименьшего момента инерции). [c.918]

При решении задачи о том, как изменяются напряжения в стыке под действием момента М, необходимо выяснить, вокруг какой оси поворачивается кронштейн. Применяя принцип наименьшего сопротивления, можно полагать, что поворот происходит вокруг оси симметрии стыка, так как относительно этой оси возникает наименьший момент сопротивления повороту (меньше момент инерции площади стыка). Это условие соблюдается только при достаточно большой затяжке болтов, обеспечивающей нераскрытие стыка. При раскрытии стыка ось поворота смещается от оси симметрии к кромке стыка. Если затяжка отсутствует, то осью поворота будет кромка стыка. Следовательно, затяжка соединения проявляет себя как пайка или склейка деталей по всему стыку. До тех пор, пока она не разрушена, кронштейн и основание можно рассматривать как единое целое. Испытания подтверждают это положение. [c.41]

Если для данной системы сил R= 0, Мо =0 н при этом вектор Л o параллелен R (рис. 92, а), то это означает, что система сил приводится к совокупности силы R и пары R, Р, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе (рис. 92, б). Такая совокупность силы и пары называется динамическим винтом, прямая, вдоль которой направлен вектор R, осью винта. Дальнейшее упрощение этой системы сил невозможно. В самом деле, если за центр приведения принять лю ую другую точку С (рис. 92, а), то вектор М о можно перенести в точку С как свободный, а при переносе силы R в точку С (см. 11) добавится еще одна пара с моментом M =tn (R), перпендикулярным вектору R a следовательно, и Мо- В итоге момент результирующей пары Мс=Мо+М с. численно будет больше Мо, таким образом, момент результирующей пары имеет в данном случае при приведении к центру О наименьшее значение. К одной силе (равнодействующей) или к одной паре данную систему сил привести нельзя. [c.78]

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек М, а следовательно, геометрическое место этих точек есть поверхность второго порядка. Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид не имеет бесконечно удаленных точек, следовательно, концы отложенных отрезков лежат на поверхности эллипсоида. Его называют эллипсоидом инерции . Заметим, что при построении этого эллипсоида мы взяли начало координат в произвольной точке О. Следовательно, для каждого тела в каждой точке пространства можно построить свой эллипсоид инерции с центром в этой точке. Момент инерции тела относительно любой оси, проходящей через эту точку, обратно пропорционален квадрату отрезка оси, лежащей внутри эллипсоида инерции. Ясно, что наибольшей оси эллипсоида соответствует наименьший момент инерции и, наоборот, наименьшей оси эллипсоида — максимальный момент инерции. Напомним, что в эллипсоиде имеются обычно три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными. Можно совместить координатные оси с главными осями эллипсоида инерции. Из математики известно, что уравнение эллипсоида, отнесенного к главным осям, не содержит членов с произведениями координат. Следовательно, центробежные моменты инерции относительно этих осей равны нулю. Их называют главными осями инерции в данной точке О, а моменты инерции тела относительно этих осей называют главными моментами инерции. Формула (204) принимает. вид [c.341]

Как отмечалось выше, это есть момент инерции относительно оси ез. Следовательно, ось с наименьшим моментом инерции должна быть направлена вдоль вектора 63. Аналогично в положении абсолютного минимума потенциальной энергии должно быть максимально выражение [c.508]

Наименьший момент может быть равен нулю. Пусть главный вектор R ие равен нулю. Тогда для равенства нулю наименьшего главного момента необходимо и достаточно, чтобы главный момент С был перпендикулярен к главному вектору R для какой-нибудь точки, например, для начала координат О. Значит, скалярное произведение векторов / и С должно быть равно нулю, что выражается уравнением [c.23]

Рор (х — х) в упрощенной форме находят как прямую, проходящую так, чтобы сумма квадратов расстояний от точек х,, У профиля до этой прямой была минимальной. Пользуясь распространенной механической аналогией, точкам Х , у1 приписывают единичные массы и ищут ось вращения, дающую данной механической системе наименьший момент инерции. Из механики известно, что такая ось проходит через центр тяжести системы, имеющий координаты х, у, где х я у те же, что в формуле (2). [c.14]

Далее, если конус полодии заключает внутри себя ось ОС с наименьшим моментом инерции, то скорость г не может быть равна нулю. [c.123]

Если /4 > В > С, то наибольшее значение ш есть э наименьшее ш, или шд, смотря по тому, какую из двух осей инерции, ось наименьшего или ось наибольшего моментов инерции, заключает внутри себя конус полодии. [c.128]

Отсюда следует, что из всех осей, проведенных через О, та, которой соответствует наименьший момент инерции, является большой осью, а та, которой соответствует наибольший момент инерции, — малой осью эллипсоида инерции. [c.46]

Наименьший момент первого вывинчивания для шпилек при повадке о натягом, равным 60 мкм, не превышал 8,5 Н-м. [c.213]

Если стержень имеет одинаковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях инерции, то при определении критической силы и критического напряжения необходимо брать наименьшие значения момента инерции и радиуса инерции поперечного сечения. В этом случае стержень при потере устойчивости изгибается в главной плоскости, проходящей через ось наибольшего момента инерции. [c.267]

Если спутник стабилизируется с помощью системы гравитационной стабилизации, то ось спутника с наименьшим моментом инерции из соображения устойчивости движения должна быть направлена в течение всего времени полета по местной вертикали. При таком выборе опорной системы координат упрощается запись уравнений движения, а гравитационный момент, появляющийся при отклонении спутника от местной гравитационной вертикали, является полезным восстанавливающим моментом. [c.12]

Центральная ось. Наименьший момент. Дана система векторов, главный вектор которой отличен от нуля разыщем геометрическое место точек Р х,у,з), по отношению к которым главный момент системы параллелен ее главному вектору R или, в частности, равен нулю. Задачу эту можно было бы решить геометрически, основываясь на соотношении (30). Но гораздо проще это сделать, пользуясь аналитическим ее выражением. Выберем надлежащим образом оси координат, именно, возьмем ось 6з параллельной главному вектору / и обращенной в ту же сторону тогда компоненты X я У результирующего вектора обратятся в нуль, а компонента У совпадет с длиной В главного вектора, которая, по условию, больше нуля. В соответствип с этим формулы (39) примут вид [c.48]

Годограф вектора а вписывается в окрз жность с центром а = о + + В С и радиусом г= Л + 5 + С, Типовая траектория движения конца оси ОХ (годограф вектора а) приведена на рис. 4i3. Если осью вращения является ось наименьшего момента инерции, то угловые отклонения для прочих равных условий будут больше, чем при вращении спутника вокруг оси наибольшего момента инерции. [c.93]

Интересно заметить, что неравенртво (16) будет удовлетворено, если I) ось собственного вращения основного тела спутника служит осью наибольшего момента инерции, а маховик а) вращается В положительном направлении, б) не вращается вовсе или в) вращается очень медленно в отрицательном направлении (положительным направлением считается направление вращения, совпадающее с направлением вращения основного тела) 2) ось собственного вращения основного тела есть ось наименьшего момента инерции, а маховик вращается в положительном направлении со скоростью, большей по сравнению с номинальной угловой скоростью й основного тела. Если расстопорен только один маятник, то неравенство (17) принимает вид [c.65]

Возьмем теперь случай, когда первоначально вращение происходило около оси наименьшего момента инерции. В этом случае имеем следовательно, в уравнении (91) члены ЗзЦх—Л) Л (Л—Л) оба отрицательные. А так как их сумма равна бесконечно малой величине а — р, то каждый из этих двух членов должен быть бесконечно мал отсюда следует, что д п г бесконечно малы. Одним словом, мы можем буквально повторить все предыдущие рассуждения и убедимся, что ось наименьшего момента инерции также устойчива. [c.272]

Чередование интенсивностей, обусловленное ядерным спином, можно, как и прежде, определить при помощи схемы на фиг. 154 или подобной ей схемы. Мы рассмотрим только молекулы, близкие к симметричному волчку. Если для молекул с симметрией ось наименьшего момента инерции (ось а) совпадает с осью симметрии второго порядка и является, кроме того, осью волчка (как, например, в случае молекулы НзСО), то легко видеть, что в основном состоя- [c.509]

Пример 5. Тело, которое может вращаться вокруг закрепленного центра тяжести под действием притяжения удаленной неподвижной частицы, находится в состоянии устойчивого равновесия. Показать, что ось наименьшего момента инерцин будет направлена к частице. Показать также, что периоды главных колебаний вблизи положения равновесия соответственно равны [c.401]

Если < О, то характер решения (3) изменится. При q <0 выражение для ф содержало бы экспоненты. Если бы начальные условия были бы так удачно подобраны, что коэффициент члена, содержащего экснонеиту с положительным показателем, был бы равен нулю, то величина ф оставалась бы всегда малой. По это движение было бы неустойчивым, так как нри малейших возмущениях изменялись бы величииы произвольных постоянных, и тогда величина ф становилась бы со временем неограниченно большой. Если будем исследовать решение при q О, то легко обнаружим, что ф не может оставаться малым. Решение однородного уравнения имеет в этом случае вид Ht - - К, и, как и прежде, некоторые малые возмущения могут привести к тому, что величина ф станет большой. Таким образом, приходим к заключению, что ось наименьшего момента инерции Луны поворачивается к Земле и что два ее главных момента инерции не равны друг другу. [c.417]

Из первого уравнення (4) видим, что величина фо постоянной части угла, который ось наименьшего момента инерции, лежащая в плоскости лунного экватора, образует с радиусом-вектором, проведенным к Земле, зависит от отношения Величина Р [c.418]

Следовательно, если предположить, что в произвольный момент времени Луна движется так, что ее ось наименьшего момента инерции направлена к Земле, а угловая скорость относительно ее оси вращения почти равна С1)еднему движению Луны вокруг Земли, то направление оси наименьшего момента инерции будет всегда близким к направлению на Землю. Средняя же угловая скорость вращения Луны вокруг своей оси непременно станет равной угловой скорости o6paiiieHHH Лупы вокруг Земли и будет обладать всеми ее вековыми из.менениями. В этом состоит теорема Лапласа. Она скорее свидетельствует о том, что данное состояние движения Луны устойчиво, чем объясняет, каким образом угловая скорость вращения Луны вокруг ее оси становится почти равной угловой скорости обращения вокруг Земли. [c.418]

Можно доказать, что оно будет устойчивым при условии а > О, т. е. если начальное вращение задано вокруг оси наибольшего или наименьшего момента инерции. В этом случае уравнения (8) реи1 ются в тригонометрических функциях, т. е. решения остаются ограниченными ири любом i. До появления работы А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движений (1892) принимали, что это служит доказательством наличия устойчивости однако вопрос этот не столь прост ). [c.598]

Итак, если тело вращается вокруг свободной оси, то вращение не оказывает никакого действия на опоры, удерживающие эту ось. Поэтому если ось освободить от оиор, то вращение вокруг свободной оси в отсутствие внешних сил будет продолжаться и положение оси в пространстве не изменится. Для тел, которые имеют ось симметрии, эта ось, очевидно, и будет свободной осью. Можно доказать, что во всяком теле существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через его центр масс оси, которые могут служить свободными осями их называют главными осями инерции тела. Из трех главных осей инерции по отношению к двум из них тело имеет наибольший и наименьший моменты инерции. Ось с наименьшим моментом инерции имеет то преимущество, что относительно нее легче всего Рис. 50 создать вращение. Самую большую инерцию, а потому [c.68]

Берем больший из моментов инерции J ц н откладываем его на оси OJo . что дает положение точки а. Пусть это Оа = J . Тогда Oflx = Jn- Отложим из точки а по Е ертикали отрезок аА = J r I, что определит положение точки А и, следовательно, радиус с А круга Мора. Описав этим радиусом окружность, найдем положение точек С и D, т. е. Ух = 0D, J. = ОС — наибольший и наименьший моменты инерции. Условимся угол а отсчитывать против хода часовой стрелки от главной оси инерции 01 к оси 0 . Тогда из формул (10.21) [c.218]

Опыт показывает, что при продольном изгибе нейтральной линией будет главная центральная ось поперечного сечения с наименьшим моментом инерции, поэтому для потерявшего устойчивость стержня збсолютная всличина изгибающего момента в его текущем сечении (рис. ХП.4, а) = 1 У 1 [c.356]

Центральная ось. Наименьший главный момент.— Так как проекция главного момента на главный вектор R (предполагаемый отличным от нуля) одна и та же для всех центров моментов, то главный момент будет наименьшим, если он параллелен R. Найдем геометрическое jif TO точек пространства, для которых это условие выполняется. [c.22]

Твердое тело, притягиваемое отдаленной точкцй Р, может вращаться вокруг неподвижной точки О. Доказать, что, если главные моменты инерции относительно О не равны, то единственным положением устойчивого равновесия будет то, при котором ось с наименьшим моментом инерции направлена вдоль ОР. [c.62]

Следовательно, стационарные вращения твердого тела в случае Эйлера вокруг оси наименьшего или наибольшего из моментов инерции устойчивы в смысле Ляпунова по отношению к возмущениям величин р, г. Этот факт хорошо иллюстрируется картиной расположения полодий на эллипсоиде инерции (см. рис. 99) вблизи осей Ох и Oz эллипсоида инерции, отвечающих наибольшему и наименьшему моментам инерции, полодии являются замкнутыми кривыми, охватывающими соответствующие оси. Напротив, вблизи оси Оу, отвечающей среднему по величине моменту инерцищ полодии не охватывают этой оси, и при малом возмущении стационарного вращения вокруг оси Оу вектор угловой скорости с течением времени покидает окрестность этой оси. Ниже в п. 235 мы строго докажем неустойчивость стационарного вращения вокруг оси среднего по величине момента инерции тела. [c.520]

В последующем обсуждении будет предполагаться, что ось z направлена в сторону самого слабого сопротивления — выпучивание при осевом сжатии обычно будет йроисходить именно в этом направлении. Если взять оси у ж z (рис. 2.1, г) в качестве главных осей поперечного сечения (т. е. осей, относительно которых центробежный момент инерции поперечного сечения, как говорилось в 2.3, равен нулю), то наименьшим момент инерции относительно произвольной оси, проходящей через центр тяжести, будет относительно одной из таких осей, скажем оси у. Если имеющиеся на концах закрепления одинаковы относительно изгиба в любом направлении, то выпучивание произойдет при наи-низшей нагрузке путем изгибания относительно этой оси, т. е. в направлении оси z. Если не очевидно, какое из направлений является слабейшим, то следует исследовать выпучивание в обоих направлениях. [c.77]

Здесь Мгб изгибающий момент при наибольших значениях констант кривой упрочнения (А нлн а о и 77) и наименьших размерах сечения заготовки, дающих наименьший момент инерции Угм Мгм — изгибающий момент при наименьших значениях констант кривой упрочиеиия и иаиболь-шкх размерах сечения, дающих наибольший момент инерции У б- Влияние на б (ДХр) разброса значений и в формуле (122) не учитывается. [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...