Фазовая симметрия траектория

Расс.матривая движение в положительном направлении оси времени и учитывая симметрию семейства фазовых траектории относительно оси X, получим при заданной амплитуде колебаний выра-жение для периода колебаний вида [c.20]

Состояние Д. с, описывают набором переменных, выбираемых иа соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т. н. Множество состояний Д. с. образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нём, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определить близость состояний, в фазовом пространстве Д- с. вводят понятие расстояния. Совокупность состояний в фиксиров. момент времени характеризуется фазовым объёмом. [c.626]

Группа, удовлетворяющая условию [А,и] = ХА, также называется группой симметрий. Она переводит фазовые траектории в фазовые траектории. [c.234]

С их помощью удалось строго показать отсутствие нетривиальных интегралов и групп симметрий в ряде классических задач динамики в ограниченной задаче трех тел, при вращении тяжелого несимметричного тела с неподвижной точкой, при движении твердого тела в идеальной жидкости, в задаче четырех точечных вихрей на плоскости и многих других. В каждой из этих задач результат о неинтегрируемости основывается на анализе особенностей качественного поведения фазовых траекторий. В итоге, на мой взгляд, сложилась самостоятельная часть теории гамильтоновых систем со своими характерными задачами, методами и результатами. Цель книги — дать систематическое изложение современных идей и результатов этой теории. [c.18]

Топологические препятствия к существованию нетривиальных групп симметрий обратимых систем впервые получены автором в [106] (теорема 2). Там же сформулирована в виде гипотезы теорема 1. Эта теорема доказана С. В. Болотиным с помощью детального анализа семейства траекторий, двоякоасимптотических к периодическим траекториям из различных гомотопических классов. Более точно, доказано, что в предположениях теоремы 1 3 найдется замкнутая гиперболическая траектория с трансверсально пересекающимися асимптотическими поверхностями. Из этого результата вытекает, в частности, стохастизация фазового потока и, как следствие, отсутствие дополнительных интегралов и групп симметрий (см. по этому поводу гл. V). [c.156]

Укажем также на третий аспект рассмотрения указанной проблемы, а именно, на качественный анализ систем дифференциальных уравнений, описывающих данное движение (расслоения фазового пространства, качественное расположение фазовых траекторий, симметрии и т.д.). И хотя перечисленные проблемы тесно связаны с интегрируемостью, их разрешение носит самостоятельный характер. Более того, данный аспект и стимулирует развитие качественного аппарата. [c.14]

Обсуждаются общие свойства пространства решений симметрии, различные расслоения фазового пространства, его разделение на колебательную и вращательную области. Изучаются свойства рещений, соответствующих колебательной области свойства асимптот при движении твердого тела, различные отношения эквивалентности на пространстве траекторий, качественные аналогии, механические интерпретации асимптотических движений. Изучаются свойства решений, соответствующих вращательной области существование семейства периодических траекторий, всюду плотно заполняющих некоторые области, вопросы плотности незамкнутых траекторий в ограниченных множествах. [c.169]

Показано, что траектория центра пластины на плоскости обладает осевой симметрией, а при некоторых начальных условиях и сферической. Фазовое пространство задачи обладает рядом свойств, характеризующих наличие расслоений. Ключевые сепаратрисы делят плоскость квазискоростей на две области - колебательную (финитную) и вращательную. [c.187]

Расслоения фазового пространства и его симметрии. Фазовые траектории системы (1.23)—(1.25) лежат на поверхностях, расслаивающих трехмерное фазовое пространство и являющихся двумерными цилиндрами. В частности, если существует во всем фазовом пространстве дополнительный первый интеграл системы (1.23)—(1.25), то он является функцией переменных (а, со), а поэтому задает семейство цилиндров в Rl v xR a,(o). [c.195]

В 4 при помощи метода топографической системы Пуанкаре (ТСП) показано отсутствие замкнутых кривых из траекторий как в полосе П, так и в полосе П (лемма 2.7). Таким образом, вокруг точек , замкнутые кривые из траекторий отсутствуют. В силу 2тс-периодичности фазового портрета, а также центральной его симметрии, замкнутые кривые из траекторий могут существовать одновременно лишь вокруг [c.201]

Расслоения фазового пространства и его симметрии. В силу отделения от системы четвертого порядка независимой подсистемы третьего порядка, фазовые траектории в К у у К лежат на поверхностях, являющихся трехмерными цилиндрами. В частности, если существует во всем фазовом пространстве дополнительный первый интеграл системы (7.11)—(7.14), то он является функцией переменных (а, 21,22), а поэтому задает семейство цилиндров в [c.273]

На фазовом цилиндре существует одна прямая (с точностью до центральной симметрии относительно начала координат), являющаяся асимптотой для траекторий, уходящих на бесконечность. [c.296]

Допустим, что система (8.21) имеет несимметричный предельный цикл Г1 (он обязательно должен охватывать состояние равновесия). Тогда в -силу симметрии фазовых траекторий друг другу (относительно начала координат) система (8,21) будет иметь другой предельный цикл Гг, симметричный с Г1 и, следовательно, пересекающийся с ним. Последнее невозможно. Таким образом, рассматриваемая система может иметь только симметричные предельные циклы. [c.523]

Таким образом, если начальное состояние системы (при / = 0) принадлежало множеству К , то в дальнейшем (при 0) система при своем движении будет проходить только через состояния, которые принадлежат множеству К = K i K i и которым (взаимно однозначно и непрерывно) соответствуют точки двулистной фазовой поверхности К, изображенной на рис. 417. Каждому такому движению системы (также взаимно однозначно и непрерывно) соответствует фазовая траектория на фазовой поверхности К ). Ясно, что в силу симметрии уравнений (8.55) и (8.55а), определяющих движения системы соответственно на листах (/) и (II), разбиения листов (I) и (II) на фазовые траектории также будут симметричными друг другу (относительно начала координат). Поэтому задача изучения динамики системы судно- -авторулевой с временным запаздыванием , если ограничиваться рассмотрением только тех движений, которые начинаются из состояний типа К , сводится к исследованию точечного преобразования линии 5 в линию S, осуществляемого траекториями (8.58) на листе (1) ). [c.594]

В силу симметрии фазовых траекторий достаточно рассмотреть лишь один квадрант фазовой плоскости, например первый квадрант. [c.174]

Если же при этом существует центр симметрии х векторного поля системы (11) такой, что ни одна нетривиальная фазовая характеристика не продолжается через х , то у системы (11) не существует даже одной замкнутой кривой из траекторий системы (11). [c.196]

Еще в начале 20 века было установлено, что классическая мехарика Ньютона, развитая для макромира, описывет движение тел по вполне определенной траектории. Квантовая механика связана с поведением квантового физического поля, определяемого существованием универсальной постоянной Планка. Она названа квантом действия. Возникновение противоречия между классической и квантовой механикой были сняты И. Пригожиным [5] (см. раздел 2.3.). В соответствии с теорией необратимых процессов И. Пригожина, эволюция любой динамической системы включает переход устойчивость - неустойчивость - устойчивость . Если такие переходы отсутствуют, то система погибает , так как не способна к своему развитию [5]. Точки перехода являются критическими (точками бифуркаций), при достижении которых возникает высокая чувствительность системы флуктуациям в связи с нарушением ее симметрии. Это определяет неравновесный фазовый переход, в процессе которого происходит самоорганизация новой структуры, более адаптивной к нарушениям симметрии [5]. Как было показано в 1 главе, отношение критических управляющих параметров для предыдущей точки бифуркаций () к последующей (Xn+i ) является мерой адаптивности системы к нарушению симметрии, связанной с функцией F еамоподбного перехода от предыдущей к последующей точке бифуркаций [c.85]

С геометрической точки зрения понижение порядка системы с группой симметрии д о.эначает факторизацию ее фазового пространства по орбитам этой группы. Правда, конструктивное понижение порядка упирается в задачу отыскания траекторий системы [c.74]

Предположим теперь, что имеется аналитическое поле симметрий и. Пусть ди — фазовый поток системы дифференциальных уравнений, порождаемой полем и. Преобразования из группы ди переводят периодические траектории 71 и 72 в себя, поскольку эти траектории невырождены. Следовательно, преобразования из ди переводят двоякоасимптотические траектории в двоякоасимптотические траектории. Па этих траекториях поля и и v линейно зависимы. В противном случае Aj и Aj пересекались бы по двумерным аналитическим площадкам и поэтому совпадали бы по свойствам регулярности и аналитичности. Отсюда вытекает, в частности, что и и v линейно зависимы во всех точках Aj и Aj Выше было показано, что в предположениях теоремы 1 объединение Aj и Aj—ключевое множество в М. Следовательно, векторы и х) и v x) зависимы при всех х G М. Так как г О, то и = Аг , и функция А — интеграл уравнений (2.1). Поскольку А — аналитическая функция на М, то А = onst, что и требовалось доказать. [c.262]

Общие утверждения об отсутствии замкнутых траекторий, охватывающга цилиндр, для систем, обладающих центральной симметрией. В предыдущем разделе рассматривались замкнутые траектории систем дифференциальных уравнений, стягиваемых в точку по двумерной фазовой поверхности. Такие траектории представляют часть тривиальной компоненты фундаментальной группы. В отличие от траекторий, рассматриваемых в предыдущем параграфе, замкнутые кривые, которые не стягиваются по фазовому многообразию в точку, могут не существовать. Последнее связано с тем, что топология фазового многообразия может препятствовать существованию нетривиальной компоненты у фундаментальной группы данного многообразия. [c.84]

С целью обойти трудности, связанные с большой размерностью фазового пространства, А. Н. Колмогоров предложил в 1954 г. изучить один частный случай задачи трех тел, в котором соображения симметрии позволяют свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Подробнее мы рассмотрим эту систему в одной из следующих частей, а сейчас ограничимся лишь упоминанием о результатах, которые удалось на этом пути получить. Во-первых, К.А.Ситников [29] в 1959 г. доказал для этого примера (а, следовательно, и для общей задачи трех тел) существование осциллирующих движений (0S). которые были введены Шази как чисто логическая возможность, которую приходится терпеть, коль скоро не удается ее отвергнуть. Строго говоря, рассуждения К. А. Ситникова относятся лишь к одностороннему поведению решений, но соображения симметрии позволяют показать существование решений типа 08 П 05+, что и отражено в табл. 2. А. Н. Колмогоров показал, что в основе рассуждений Ситникова лежит весьма простая геометрическая конструкция и высказал в связи с этим гипотезу о строении границы областей НЕ ,, упомянутую выше. Затем автору удалось показать, что в рассматриваемом примере применимы методы символической динамики это позволило доказать непустоту классов НЕ П В+, НЕ П 08+, В П 08 , 08 П В+. К сожалению, в все построенные примеры лежат на подмногообразии высокой коразмерности, что не позволяет судить о мере соответствующих подмножеств. Все же каждое из них содержит континуум (в смысле мощности) траекторий. [c.51]

Пусть шз = О (предположе-иис 1 тг > О ПС вносит ничего принципиально нового). Тогда рг и р2 описывают в ХОУ симметричные кеплеровские орбиты около О, которые в случае к < О будут эллипсами. В момент, когда рз проходит через О, состояние системы определяется скоростью этого тела и фазой г (истинной или средней аномалией) эллиптического движения тел рх и р2- Примем (г , г) за полярные координаты в некоторой плоскости Ф (ввиду симметрии относительно ХОУ знаком V можно пренебречь). Сдвиг вдоль траектории в фазовом пространстве от одного попадания рз в О к следующему определяет локальный диффеоморфизм 3 Д+ К С Ф. Оказывается, что можно указать такое открытое множество Г С Ф, что максимальное инвариантное множество А, содержащееся в Г, является марковским и допускает описание в терминах символической динамики. [c.152]

Приведенная система и ее фазовый портрет в частном случае описаны в [130]. Ее более подробный анализ содержится в работе [74], в которой также указаны условия, при которых система имеет периодическую и ква-зипериодическую симметрии, а также изучены особые точки и построено несколько траекторий абсолютного движения. [c.164]

С этой точки зрения идея использования гамильтоновского подхода для создания эффективных асимптотических методов представляется весьма привлекательной. Эта идея исходит из того, что любая гамильтоновская формулировка уравнений движения предполагает задание двух непременных атрибутов скобки Пуассона и гамильтониана системы. Причем, если гамильтониан системы фиксирует в фазовом пространстве гиперповерхность, на которой лежит динамическая траектория системы, то скобка Пуассона определяет в качестве своих аннуляторов все остальные инварианты движения. По существу, это означает, что в скобках Пуассона содержится вся информация относительно внутренних свойств симметрии, ответственных за динамическую индивидуальность системы. Поэтому, если мы хотим избежать потери этих свойств, мы должны использовать только такие приближения, которые не затрагивают скобки Пуассона. Таким образом, объектом приближений может быть только одна величина — гамильтониан системы. [c.180]

Таким образом, фазовые траектории на листе (/) ставят точки полупрямых (и) и (и ) в некоторое однозначное и непрерывное соответствие или, другими словами, осуществляют некоторое точечное преобразование полупрямой (г ) в полупрямую (г ), выражаемое функцией последования (3.43а) и (3.436) (мы получили функцию последо-нания, записанную в параметрическом виде параметром является — наибольшее отклонение балансира )). В дальнейшем изображающая точка перейдет на лист II) и, двигаясь по соответствующей фазовой траектории (для которой есть симметричная на листе (/)), выйдет снова на полупрямую V) в некоторой точке (— 1, —г/ ). При этом в силу отмеченной выше симметрии фазовых траекторий на листах (/) и II) г)з определяется по VI той же функцией последования, выражаемой соотношениями (3.43а) и (3.436). Иначе говоря, точечное преобразование полупрямой (г/ ) в полупрямую (г>) тождественно с точечным преобразованием полупрямой (г ) в полупрямую (г ) поэтому ниже мы будем говорить о едином точечном преобразовании полупрямых (г>) и (г ) друг в друга. [c.220]

Соотношения (3.51 а) и (3.51 б) являются функцией последования для рассматриваемого точечного преобразования, записанной опять в параметрической форме функция последования для точечного преобразования полупрямой (г ) в полупрямую (г>), осуществляемого фазовыми траекториями на листе (II), имеет тот же вид в силу указанной выше симметрии фазовых траекторий на листах (/) и (11). Эта функция последования определяет в последовательности точек пересечения любой выбранной фазовой траектории с полупрямыми (г ) и (г ) (в последовательности V, , г 2,. ..) каждую последующую точку по предыдущей. Неподвижная точка преобразования г (для нее г = г , = ) Соответствует симметричному предельному циклу (рис. 151). [c.225]

Нетрудно видеть, что в силу симметрии фазовых траекторий в областях (/) и (//) относительно начала координат каждая последующая точка получается из предыдущей 8 тем же преобразованием, что и точка 51 из точки 5о, т. е. преобразованием с функцией последования [c.571]

Сразу же отметим симме1рию фазовых траекторий друг другу относительно начала координат, что является следствием симметрии характеристики релейного звена н = м( ). [c.605]

Н-теорел1а. Как уже упоминалось в отступлении 3, Больцман ввел некоторую if-функцию, которая, как было показано, не возрастает при соударениях молекул газа. Против этого утверждения были выдвинуты два серьезных возражения. Лошмпдт указывал, нто основное свойство if-функции находится в противоречии с обратимостью законов механики, т. е. их симметрией по отношению к прошлому и будуш ему. Цермело отмечал, что утверждение Больцмана противоречит известной теореме возврата Пуанкаре. Согласно этой теореме, траектория в фазовом пространстве по истечении достаточно дли- [c.236]

С предельными линиями тока на поверхности, представляющими векторное поле, можно связать фазовый портрет вектора вязких напряжений. Если отображение одного фазового портрета на другой сохраняет траектории, то фазовые портреты имеют одну и ту же топологическую структуру. Топологические свойства не меняются при отображениях, которые сохраняют траектории. Под топологическими свойствами понимают число и тип особенностей, траектории, соединяющие особые точки. Топологические свойства образуют структуру. Фазовый портрет является структурно устойчивым, если при изменении некоторого параметра (например, числа Рейнольдса) топологическая картина не меняется. Если небольшие возмущения при изменении параметра стремятся к нулю при /- оо, то течение асимптотически устойчиво. Асимптотическая не-З стойчивость приводит к бифуркации топологической картины, нарушению симметрии, диссипативным структурам. [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...