Системы вырожденности степень

Системы вырожденности степень 68 [c.154]

С двумя вырожденными степенями свободы генерировал колебания, близкие к гармоническим, необходимо выполнение условия S > R- - r- - R . Если положить в этой системе 5--= 5(,, а ограничение амплитуды возложить на термистор, заменяющий резисторы с сопротивлениями R и (или) г, то ожидаемой стабилизации амплитуды автоколебаний не получится. Дело в том, что обычные термисторы увеличивают свое сопротивление с ростом амплитуды тока, и поэтому в рассмотренной схеме применение термисторов вместо постоянных резисторов с сопротивлениями R и г вызовет лишь улучшение условия возбуждения системы и дальнейшее увеличение амплитуды автоколебаний с обязательным ее выходом за пределы линейного участка падающей вольт-ампер-ной характеристики. [c.214]

Рис. 2.22. Двухуровневая система со степенями вырождения каждого уровня и 2.

Если в результате деформации системы или введения в нее некоторого потенциала ее симметрия понижается, то число операций симметрии, переводящих систему в себя, уменьшается. Получающаяся при этом меньшая совокупность операций симметрии называется подгруппой исходной группы. Матрицы любого неприводимого представления группы определяют также некоторое представление подгруппы (для этого, конечно, достаточно оставить лишь матрицы, соответствующие элементам подгруппы), но это представление подгруппы может оказаться приводимым. В этом случае деформация системы уменьшает степень вырождения, связанного с симметрией. Разлагая представление на неприводимые, мы можем выяснить природу соответствующего расщепления уровней. [c.44]

Систему первого порядка можно рассматривать с точки зрения динамики как вырожденную систему второго порядка. В самом деле, уравнение динамики автономной системы с одной степенью свободы, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид [c.23]

Его степень равна 2т. Корни этого уравнения есть собственные значения задачи. Каждому собственному значению Р соответствует по крайней мере один ненулевой собственный фазовый вектор Г] = (и,/3ц), где и ненулевое решение полученной вырожденной системы линейных уравнений. [c.594]

Простейшим случаем вырождения является такой, когда несколько частот равны. Пусть, например, мы имеем гармонический осциллятор с тремя степенями свободы. Если у него будут два одинаковых коэффициента восстанавливающей силы, то соответствующие частоты также будут одинаковыми, и эта система будет иметь одну степень вырождения. В случае колебания в изотропной упругой среде коэффициенты восстанавливающей силы одинаковы по всем направлениям, и поэтому будут равны все частоты колебания. Такая система является полностью вырождающейся. [c.326]

Эти формулы раз навсегда определяют отношения частот друг к другу, и эти отношения нельзя изменить никаким выбором начальных условий. Тем самым устанавливается определенная степень вырождения системы. В частном случае, когда отношение двух любых коэффициентов к есть число рациональное, движение всегда является периодическим при этом между коэффициентами к существуют п — i линейных соотношений [c.342]

Если коэффициенты k s рациональны, то коэффициенты также рациональны и мон(но считать их целыми числами. Тем самым устанавливается степень вырождения системы независимо от начальных условий. [c.343]

Отметим, что расчетная схема машинного агрегата на рис. 38, в, хотя и представляет собой вырожденный случай по отношению к схеме рис. 38, б, но не может быть получена из последней уменьшением до нуля массы нелинейного звена. При принятой схематизации исходной системы предельный переход привел бы к появлению в вырожденной системе лишней 1/2 степени свободы [5 ]. Искусственное усложнение расчетной схемы, связанное с таким предельным переходом, нельзя считать оправданным. [c.101]

Решение уравнения (5.129) дает два значения частоты р ( . Как показывает анализ, остальные Н — 2 корня формального частотного уравнения в рассмотренном вырожденном случае равны (р = а), причем этот корень при Я > 3 оказывается многократным Хотя при этом число различных корней в рабочем диапазоне частот и сокращается, рассмотренный случай с инженерной точки зрения, по-видимому, нельзя расценивать как желательный. Дело в том, что, как уже отмечалось в п. 21, близость парциальных частот обычно приводит к интенсивной перекачке энергии из одного колебательного контура в другой. При этом резко сокращается фильтрующая способность колебательной системы, возникают биения, повышенный уровень колебаний и т. д. В данной схеме эти эффекты усиливаются по мере приближения приведенного момента инерции механизма к моменту инерции распределительного вала и, наоборот, проявляются в меньшей степени при /о > [c.218]

Так как модифицированные матрицы степень экспоненты не увеличивают, то суммирование будет производиться только по показателям pj, немодифицированных участков. При большом количестве участков в системе модифицирование необходимо начинать при сравнительно малых значениях чтобы ограничить 2Р. Это вносит определенную погрешность в расчет, но не вызывает вырождения матриц. Погрешность вычислений связана с заменой гиперболических функций экспонентами, что аналогично изменению показателя степени рд, на pij. да р , + [c.111]

Интегрируемые консервативные системы удобно классифицировать по степени их вырождения т, равной разности между числом степеней свободы и числом быстрых фаз (т = п — k). Рассмотренная выше общая линейная система является невырожденной (т = 0) вследствие несоизмеримости частот. [c.149]

Наличие вырожденных мод в колебательных системах в общем случае значительно усложняет задачу экспериментального исследования таких мод [268]. Ниже подробно анализируется структура спектра в окрестности точек трехкратного вырождения в зависимости от степени связи между отдельными типами движений (разные значения v). [c.216]

Основным критерием сильно возбужденных состояний является изменение числа степеней свободы кристалла, в результате чего указанные состояния оказываются вырожденными относительно возможных атомных конфигураций. Движение различных элементов системы становится менее детерминированным, возникает возможность волнового поведения ионной подсистемы. [c.6]

Проведена классификация множества параметров системы по отношению к определенному типу ее фазового портрета. При этом перестройки топологического типа фазового портрета носят вырожденный (по причине бесконечной степени негрубости) характер [260, 262]. [c.36]

Здесь предполагается, что все собственные частоты ш, > 0. Нулевые частоты возможны лишь при вырожденности матрицы С, когда система допускает жесткие смещения. При этом характеристическое уравнение де1(С — аРА) = О имеет нулевой корень кратности, равной числу степеней свободы без деформации. Свободная система, допускающая произвольные трансляции и поворот, имеет шесть нулевых частот . [c.45]

Действительно, для первой модели характерна локализация частиц в окрестности моды rs и быстрое убывание значений s rs,S,r) вправо и влево от этой точки. При использовании этой модели в схеме обращения искомому решению мы как бы навязываем искусственно подобное аналитическое свойство. Вторая модель, т. е. ступенчатое распределение, свободна от подобного недостатка, и поэтому ей в этом отношении можно доверять в большей мере. В частности, как следует из а( ), распределение So r) монотонно убывает в области размеров [0,1 0,6 мкм], и поэтому его можно в принципе удовлетворительно аппроксимировать степенной функцией с отрицательным показателем, т. е. моделью типа (1.96а). Конечно, следует иметь в виду, что в данном примере явно недостаточно трех измерений Ряа( ), чтобы получить достоверные оценки для пяти компонент опорного вектора s из решения вырожденной системы (1.101). Поэтому и нет особых оснований подробно обсуждать локальное поведение действительного распределения so r) по решению а( ). Для нас было важно проиллюстрировать влияние аналитических свойств модельных распределений, выбираемых в качестве возможных решений обратных задач, на характер получаемой информации о спектре размеров полидисперсной системы частиц. [c.61]

Состояние магнитного иона может быть найдено с помощью уравнения Шредпнгера Жф = 1>,где Ш—гамильтониан. Для свободного иона уровни могут быть вырождены если же ион находится в поле кристалла, то степень вырождения в общем случае уменьшается но-разному для различной симметрии поля. При повороте координат на заданный угол (например, тс/2 вокруг оси четвертого порядка я/3 вокруг гексагональной осп) или отран<е-нии в плоскости и т. д. результирующее состояние системы должно совпадать с исходным. Этим свойством должны обладать и собственные функции уравнения Шредингера. Решения уравнений Шредиигера образуют группы с помощью теории групп можно выяснить некоторые особенности решений в кристаллическом поле, даже не зная точно формы потенциальной функции и ее величины. Так, например, состояние с /= /2, которое для свободного иона шестикратно вырождено в кристаллическом поле с кубической симметрией, расщепляетсм на один дублет и один четырехкратно вырожденный уровень. Взаимное расположение уровней и расстояние между ними нельзя определить, ие зная подробно функции V. [c.386]

Показатель степени указывает число электронов, находящихся на энергетическом уровне. Согласно периодической системе Д. И. Менделеева при переходе от одного химического элемента к другому — с большим порядковым номером и большим числом электронов — происходит постепенное заполнение электронной подгруппы, затем заполняется следующая подгруппа той же группы в новую группу электроны попадают лишь после полной достройки предыдущей. Однако в некоторых случаях такой порядок нарушается (табл. 1). Например, при переходе от аргона (порядковый номер 18) к калию (порядковый номер 19) после заполнения в аргоне 3s и Зр подгрупп у калия девятнадцатый электрон попадает в подгруппу 4s, а не 3d. То, что четвертая группа начинает заполняться при незаполненной до конца 3d подгруппе, объясняется энергетическими различиями между 4s и 3d-op6HTaMH в атоме. Энергетические уровни внутри атома считаются вырожденными, если при переходе электрона на ранее [c.6]

Все функции А (е), соответствующие уткам, имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням г. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через производные функций / и g в критической точке. Аналогичное утверждение справедливо для самих решений-уток на участке медленного движения они экспоненциально близки. Более того, пусть имеются две простые вырожденные утки, две (возможно совпадающие) функции i(e) и Лг(е) и два семейства решений системы (12е.д е)), i = l,2, фазовые кривые которйх сходятся к соответствующим вырожденным уткам. Возьмем отрезки этих фазовых кривых, сходящиеся к дуге медленной кривой, которая образована пересечением медленных дуг двух вырожденных уток, с последующим удалением фиксированных окрестностей концов этого пересечения. Тогда найдется такое с>0, что один из отрезков фазовой кривой лежит в — окрестности другого для всех достаточно малых е. Все медленные участки всех решений-уток имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням е. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через функции / и g и их производные. [c.203]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

В работах школы советских ученых Л. И. Мандельштама и Н. Д. Па-палекси [10—12], А. А. Андронова и М. А. Леонтовича [13],Т. С. Горелика [14], С. М. Рытова [15], Э. М. Рубчинского [16], В. А. Лазарева [17] и других изучались вопросы как линейной, так и нелинейной теории параметрически возбуждаемых колебаний в системах с одной и несколькими степенями свободы. Исследовались также вынужденные колебания в контуре с переменной Индуктивностью вида L — Lo i. + q sin 2м/), находящегося под действием э.д.с. Е — Eq sin (-ог -f ili), т. е. случай, когда частота М0ДУЛЯ1ЩИ параметра кратна частоте сигнала,— так называемый вырожденный или синхронный режим. [c.6]

Поскольку г > о, если хотя бы одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, то квадратичная форма (3) и соответствующая ей инерционная матрица А будут положительно определенными. Исключение составляют некоторые вырожденные случаи, например, системы с полуцелым числом степеней свободы, для которых квадратичная форма кинетической энергии может оказаться неотрицательной. Из положительной определенности квадратичной формы (3) вытекает положительность определителя инерциопнот матрицы А и ее главных миноров, а также существование обратной матрицы A . [c.56]

Вырожденная квазилинейная неавтономная система с одной степенью свободы (вибрационное поддержание враи ения физического маятника). Уравнение дпиженин маятника, горизонтальная ось которого совершает вертикальные колебания с частотой <о и амплитудой А, имеет вид [c.63]

Если стенень вырождения системы равна п — 1, то движение характеризуется единственными фазой, частотой и постоянной действия. В этом случае, независимо от общего числа степеней свободы системы п, энергия однозначно определяется постоянной действия, причем со = dhldJ. Соответственно можно говорить о скелетной кривой (16) и скалярном коэффициенте крутизны (20). [c.149]

И при Т Тг, 1 = 2 составляет около 0,9-10" . Следовательно, враща-т ьные степени свободы молекулы ведут себя при Т Тг подобно двухуровневой системе. Отношение кратностей вырождения второго (/ = 0) и первого (/ = 0) уровней равно 3, и хотя оно и не очень велико, но достаточно для появления максимума на кривой температурной зависимости теплоемкости. [c.224]

С данной задачей тесно связана еще одна. Как известно, глобальная матрица жесткости является вырожденной чтобы устранить ее особенность, необходимо учесть кинематические граничные условия, которые физически означают невозможность перемещения исследуемой сонечно-элементной системы как жесткого целого. При наличии связей, совпадающих по направлению с глобальными осями, общепринятым приемом является обнуление строк и столбцов матрицы, которые соответствуют степеням свободы с наложенными связями. При этом диагональному элементу матрицы присваивается значение любого положительного числа (например, единицы), а в вектор правых частей вносится ноль [4, 9]. Таким образом, стоит задача удалить из связного списка элементы строк и столбцов, которые соответствуют однородным кинематическим граничным условиям. [c.44]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318]

Каждый из дискретных уровней двухмерной системы в высокой степени вырожден. Это вырождение может быть оценено следующим способом. Параметр ку в уравненни (138.8) аналогичен составпяющей по оси у волнового векгора, так что в допустимой области [c.613]

Следует напомнить, что приближение Гайтлера-Лондона можно использовать для описания нормальных и более низких возбуждённых состояний изоляторов. В таком случае самый нижний уровень совсем ие вырожден, а возбуждённые уровни имеют высокую степень вырождения. Если имеются N атомов н первое возбуждённое одиоэлектрон-ное состояние g -кратно вырождено, то первый возбуждённый уровень вырожден Л -кратно. При вычислении матричных элементов гамильтониана, связанных с этими Л/ -состояниями, и при днагоналнзаиин матрицы может быть получена более точная система функций. Эта задача, решённая в 96 для простого случая, в котором меж-дуатомная энергия мала, приводит к следующим результатам. Волно- [c.647]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...