Вырождение степеней свободы

С двумя вырожденными степенями свободы генерировал колебания, близкие к гармоническим, необходимо выполнение условия S > R- - r- - R . Если положить в этой системе 5--= 5(,, а ограничение амплитуды возложить на термистор, заменяющий резисторы с сопротивлениями R и (или) г, то ожидаемой стабилизации амплитуды автоколебаний не получится. Дело в том, что обычные термисторы увеличивают свое сопротивление с ростом амплитуды тока, и поэтому в рассмотренной схеме применение термисторов вместо постоянных резисторов с сопротивлениями R и г вызовет лишь улучшение условия возбуждения системы и дальнейшее увеличение амплитуды автоколебаний с обязательным ее выходом за пределы линейного участка падающей вольт-ампер-ной характеристики. [c.214]

Систему первого порядка можно рассматривать с точки зрения динамики как вырожденную систему второго порядка. В самом деле, уравнение динамики автономной системы с одной степенью свободы, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид [c.23]

Под равномерной конфигурацией молекулы понимается такое расположение ее ядер, которое соответствует минимуму энергии молекулы для данного электронного состояния. Для теории колебательных спектров особую роль играет основное (невозбужденное) электронное состояние молекул, так как молекулы в обычных условиях находятся в этом состоянии. Поэтому равновесная конфигурация молекул обычно рассматривается для основного электронного состояния. От равновесной конфигурации молекулы существенным образом зависит ее колебательный спектр, в связи с тем, что колебания ядер совершаются около равновесных положений. С повышением симметрии равновесной конфигурации молекул возрастает степень вырождения колебаний. Это приводит к уменьшению наблюдаемых в спектре частот по сравнению с числом колебательных степеней свободы. [c.91]

Линейная трехатомная молекула СО2 относится к одной из точечных групп средней симметрии, а именно к группе D h, которая содержит одну ось симметрии бесконечного порядка Соо,. проходящую через все три атома, оси второго порядка Сг и плоскости симметрии о. Эта молекула имеет 3N—5=4 внутренние степени свободы и, следовательно, 4 нормальных колебания (рис. 37). Первое колебание v(s) является валентным и симметричным, при котором атомы кислорода одновременно приближаются к атому углерода или удаляются от него вдоль валентных связей. Второе колебание v as) — валентное антисимметричное. Наконец, колебание 8 (as) является антисимметричным деформационным и дважды вырожденным. Вырождение этого колебания связано с наличием оси симметрии Соо. Его можно представить н виде двух независимых колебаний, происходящих в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, которые проходят через ось Ссо. [c.93]

Простейшим случаем вырождения является такой, когда несколько частот равны. Пусть, например, мы имеем гармонический осциллятор с тремя степенями свободы. Если у него будут два одинаковых коэффициента восстанавливающей силы, то соответствующие частоты также будут одинаковыми, и эта система будет иметь одну степень вырождения. В случае колебания в изотропной упругой среде коэффициенты восстанавливающей силы одинаковы по всем направлениям, и поэтому будут равны все частоты колебания. Такая система является полностью вырождающейся. [c.326]

Отметим, что расчетная схема машинного агрегата на рис. 38, в, хотя и представляет собой вырожденный случай по отношению к схеме рис. 38, б, но не может быть получена из последней уменьшением до нуля массы нелинейного звена. При принятой схематизации исходной системы предельный переход привел бы к появлению в вырожденной системе лишней 1/2 степени свободы [5 ]. Искусственное усложнение расчетной схемы, связанное с таким предельным переходом, нельзя считать оправданным. [c.101]

Типичным представителем ОКГ, работаюш,их на молекулярных переходах, является лазер на основе СО . Молекула СО линейно-симметрична в центре между двумя атомами кислорода располагается атом углерода (рис. 27). Число степеней свободы для нее равняется четырем, но двум степеням свободы соответствуют одни и те же частоты колебаний (вырождение) таким образом, возможны три вида колебательных движений симметричные, дважды вырожденные деформационные и антисимметричные. [c.44]

На рис. 7.13 приведены типы пересечений элемента контуром. Узлы, перемещения которых приняты в качестве степеней свободы, обозначены цифрами 1—4 в кружочках. Расположение точки 4 для треугольного элемента пригодно только при решении плоской задачи, в случае оболочки точку 4 надо сместить с линии контура АВ. В противном случае матрица будет вырожденной. [c.244]

Интегрируемые консервативные системы удобно классифицировать по степени их вырождения т, равной разности между числом степеней свободы и числом быстрых фаз (т = п — k). Рассмотренная выше общая линейная система является невырожденной (т = 0) вследствие несоизмеримости частот. [c.149]

Так как при высоких температурах допустимо пренебречь квантованием энергии, это выражение должно совпадать со статистическим интегралом, деленным на объем ячейки а, так как g при переходе к интегрированию переходит в /Г / а, а не в с1Г. Сравнивая (45.3) с Z /a из формулы (40.4), находим а = Мы обращаем внимание читателя на то, что в этом параграфе мы впервые решили поставленную в 33 задачу — нашли объем элементарной ячейки а для шестимерного / -пространства трех поступательных степеней свободы. Этот объем оказался равным В следующем параграфе и в 48 мы убедимся в том, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении вращательных и колебательных степеней свободы каждая степень свободы вносит в объем ячейки а множитель к. Подчеркнем, что этот результат мы получаем в рамках распределения Максвелла - Больцмана для невырожденного газа, но с учетом квантования энергии. В главе V мы убедимся в том, что объем ячейки а может быть найден экспериментально и без учета квантования энергии, но на объектах, подчиняющихся распределениям Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а именно — сильно вырожденных газах. Заметим в заключение этого параграфа, что поскольку характеристическая температура поступательного движения Т1 должна считаться равной нулю, квантование поступательного движения фактически не вносит никаких изменений в полученные в 40 формулы для внутренней энергии, теплоемкости, энтропии, химического потенциала. [c.219]

Для вывода уравнения состояния неидеального газа достаточно рассматривать поступательное движение его атомов, игнорируя все внутренние степени свободы. Поэтому квантование энергетических уровней несущественно, и мы перейдем к классическому описанию, заменяя кратность вырождения g (г, Ы) выражением [c.329]

Вращательные степени свободы I 177 Вырождение (квантовое) I 190 Вязкости объемной коэффициент II 70, 105 [c.392]

Теория излучения абсолютно черного тела, предложенная Планком, существенна для нас тем, что позволяет весьма конкретно предсказать параметр вырождения для теплового излучения в разных частях электромагнитного спектра. Чтобы использовать результаты теории Планка, мы должны рассматривать каждую степень свободы падающего излучения как ана- [c.458]

Основным критерием сильно возбужденных состояний является изменение числа степеней свободы кристалла, в результате чего указанные состояния оказываются вырожденными относительно возможных атомных конфигураций. Движение различных элементов системы становится менее детерминированным, возникает возможность волнового поведения ионной подсистемы. [c.6]

Указание. Каждой степени свободы колебательного движения отвечает своя частота <о и своя характеристическая температура в (см. задачу 4.13). Если молекула симметрична, то две или более частоты могут совпадать. Соответствующие им колебания называются вырожденными. В формулу для теплоемкости они входят с соответствующим множителем. Молекула двуокиси углерода линейна, поэтому имеет четыре степени свободы колебательного движения и, следовательно, четыре характеристических частоты колебаний. По данным спектроскопического анализа, эти частоты таковы (01 = = 1,355 см , (1)2=673 см- (2 частоты) и (Пз=2396 см . Две частоты (<й2) совпадают, иначе говоря частота 0)2 дважды вырождена. [c.23]

Здесь предполагается, что все собственные частоты ш, > 0. Нулевые частоты возможны лишь при вырожденности матрицы С, когда система допускает жесткие смещения. При этом характеристическое уравнение де1(С — аРА) = О имеет нулевой корень кратности, равной числу степеней свободы без деформации. Свободная система, допускающая произвольные трансляции и поворот, имеет шесть нулевых частот . [c.45]

Таким обрааом, как видно из (2,27), квантовая статистика устанавливает не только зависимость теплоемкости- от температуры, но и предсказывает принципиально новое явление неравномерность распределения энергии по степеням свободы При приближении температуры тела к абсолютному нулю наступает так называемое вырождение степеней свободы> (постепенно исчезают колебательные движения атомов в молекуле, затормаживаются вращательные движения молекул, а при абсолютном нуле прекращаются и поступав тельные движения молекул. [c.51]

Наконец, атому, лежащему на оси симметрии, могут соответствовать вырожденные степени свободы только при условии, если он движется перпендикулярно оси. Тогда для этого атома получается две степени свободы, т. е. одно вырожденное колебание. Таким образом, общее число вырожденных колебаний (типа симметрии Е) точечной группы Сзд равно включая и ненастоящие колебания (/и — число атомов, лежащих на оси). В данном случае мы имеем два ненастоящих вырожденных колебания (см. табл. 15), и поэтому число настоящих вырожденных колебаний равно 6/я -[-Зот + о — 2-Например, для неплоской молекулы типа ХУд (подобной молекуле 1ЧНз)/л = 0, = 1, /Ид = 1, и поэтому мы имеем два вырожденных колебания (см. фиг. 45). [c.154]

Следует ожидать, что в металлах могут существовать дополнительные степени свободы, связанные с движением свободных электронов поэтому здесь можно говорить об электронных возбуждениях. В некоторых телах вырожденные электронные уровнн могут расщепляться под действием локальных электрических и магнитных полей на ряд дискретных подуровней, с переходами между которыми (называемыми переходами Шоттки) также связан новый тип тепловых возбуждений. К этому типу принадлежит, кроме того, переход между основным и возбужденным электронными состояниями при малой разности энергий, что, по-видимому, имеет место у редкоземельных элементов. [c.316]

Мы только что акцентировали внимание на том, что каноническая теория возмущений для случая, когда степеней свободы больше, чем одна, ведет к расходящимся рядам. Иногда удобно для решения уравнений движения (мы приведем пример в следующем параграфе) использовать старые переменные wi и которые, конечно, остаются канонически сопряженными переменными и для возмущенной системы, поскольку они получаются из и С1к каноническими преобразованиями. Это особенно удобно, когда мы имеем дело с вырожденной системой. Простейший случай вырождения мы встретили в гл. 6, где некоторые v/ оказались просто одинаковыми. В задаче Кеплера оказалось даже, что Vj=V2=V3. В этом случае можно вместо величин J, определяемых соотношениями (6.224) — (6.226), использовать любую их линейную комбинацию и, в частности, умноженные на 2л величины а , и а , введенные нами в 6.1. Если обозначить умноженные на 2л величины а , и з через J , Ji и Уз", а канонически сопряженные переменные — через W , inii и w i , то мы придем к невозмущенной системе, для которой [c.197]

В работах школы советских ученых Л. И. Мандельштама и Н. Д. Па-палекси [10—12], А. А. Андронова и М. А. Леонтовича [13],Т. С. Горелика [14], С. М. Рытова [15], Э. М. Рубчинского [16], В. А. Лазарева [17] и других изучались вопросы как линейной, так и нелинейной теории параметрически возбуждаемых колебаний в системах с одной и несколькими степенями свободы. Исследовались также вынужденные колебания в контуре с переменной Индуктивностью вида L — Lo i. + q sin 2м/), находящегося под действием э.д.с. Е — Eq sin (-ог -f ili), т. е. случай, когда частота М0ДУЛЯ1ЩИ параметра кратна частоте сигнала,— так называемый вырожденный или синхронный режим. [c.6]

В сверхтекучем Не, где нарушены одновременно разные непрерывные симметрии, существует неск. Г. м. Так, в Не- А параметр вырождения нмеет 5 степеней свободы. В результате существуют 5 Г. м. четвёртый звук, как в Не, две спиновые волны, как в антиферромагнетике с нарушенной группой 50(3) спиновых поворотов, и две моды диффузионного типа, как в нематич. жидком кристалле. Последние становятся распространяющимися волнами при понижении температуры Т, когда диссипация мала это так называемые орбиталь-ные волны. [c.502]

Поскольку г > о, если хотя бы одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, то квадратичная форма (3) и соответствующая ей инерционная матрица А будут положительно определенными. Исключение составляют некоторые вырожденные случаи, например, системы с полуцелым числом степеней свободы, для которых квадратичная форма кинетической энергии может оказаться неотрицательной. Из положительной определенности квадратичной формы (3) вытекает положительность определителя инерциопнот матрицы А и ее главных миноров, а также существование обратной матрицы A . [c.56]

Вырожденная квазилинейная неавтономная система с одной степенью свободы (вибрационное поддержание враи ения физического маятника). Уравнение дпиженин маятника, горизонтальная ось которого совершает вертикальные колебания с частотой <о и амплитудой А, имеет вид [c.63]

Если стенень вырождения системы равна п — 1, то движение характеризуется единственными фазой, частотой и постоянной действия. В этом случае, независимо от общего числа степеней свободы системы п, энергия однозначно определяется постоянной действия, причем со = dhldJ. Соответственно можно говорить о скелетной кривой (16) и скалярном коэффициенте крутизны (20). [c.149]

И при Т Тг, 1 = 2 составляет около 0,9-10" . Следовательно, враща-т ьные степени свободы молекулы ведут себя при Т Тг подобно двухуровневой системе. Отношение кратностей вырождения второго (/ = 0) и первого (/ = 0) уровней равно 3, и хотя оно и не очень велико, но достаточно для появления максимума на кривой температурной зависимости теплоемкости. [c.224]

С данной задачей тесно связана еще одна. Как известно, глобальная матрица жесткости является вырожденной чтобы устранить ее особенность, необходимо учесть кинематические граничные условия, которые физически означают невозможность перемещения исследуемой сонечно-элементной системы как жесткого целого. При наличии связей, совпадающих по направлению с глобальными осями, общепринятым приемом является обнуление строк и столбцов матрицы, которые соответствуют степеням свободы с наложенными связями. При этом диагональному элементу матрицы присваивается значение любого положительного числа (например, единицы), а в вектор правых частей вносится ноль [4, 9]. Таким образом, стоит задача удалить из связного списка элементы строк и столбцов, которые соответствуют однородным кинематическим граничным условиям. [c.44]

Колебательная релаксация в многоатомных газах и смесях газов рассмотрена в ряде работ [2, 6, 7] при условии, что возбуждаются только две колебательные степени свободы. Таким многоатомным газом, в частности, является углекислый газ СО2. При температурах Г<5000°К симметричная валентная степень свободы (частота колебаний з=7134Х ХЮ сек ) не возбуждена несимметричная валентная (vi = = 3855-10 ° сек ) и деформационная (v2 = 2000-10 ° се/с ) колебательные степени свободы случайно вырождены (vi 2v2). В связи с этим вырождением в СО2 наблюдаются два процесса простой обмен энергией между колебаниями V2 и поступательными степенями свободы и резонансный обмен энергией между колебаниями 2 и vj. Соответственно этому выведены [7] два уравнения релаксации колебательных энергий i и 2 и формулы для продолжительности релаксации тг (возбуждение 2-колебаний) и ti,2 (обмен энергией между V2- и vi-колебаниями), выражающие сложную зависимость продолжительности релаксации от поступательной температуры Т и колебательной температуры Т . [c.372]

Физически параметр вырождения можно интерпретировать как среднее число фотоотсчетов за один интервал когерентности падающего излучения. Его можно также рассматривать как среднее число фотоотсчетов на степень свободы пли на моду падающей волны. Если бс <С 1, то с большой вероятностью число фотоотсчетов за один интервал когерентности волны будет не более единицы. Это означает, что дробовой шум преобладает над классическим шумом. Если же бс 1, то в каждом интервале когерентности волны будет много фотособытий. Происходит сгущение фотособытий из-за классических флуктуаций интенсивности и увеличение дисперсии числа фотоотсчетов до такой степени, что классические флуктуации становятся значительно более сильными, чем флуктуации типа дробового шума. [c.455]

Если мы имеем совокупность атомов, занимающих общие положения (ни один из привэденных выше примеров не соответствует этому случаю), то получается двенадцать (а не шесть) степеней свободы, т. е. шесть вырожденных колебаний. Это происходит прежде всего потому, что каждому смещению атома совокупности соответствует два различных смещения каждого из атомов совокупности, получающегося из исходного атома при повороте вокруг оси С . Таким способом объясняется появление шести степеней свободы. Но три атома, получаемые путем поворота, представляют только половину совокупности атомов, так как каждому из них соответствуёт другой атом, расположенный симметрично относительно плоскости о . Отражение в плоскости о , вообще говоря, будет преобразовывать данное колебание в иное колебание, однако при надлежащем выборе линейной комбинации вырожденных колебаний одно из колебаний по отношению к этой плоскости будет симметричным, другое — антисимметричным, т. е. соответствующее число степеней свободы будет удваиваться. Итак, для рассматриваемой совокупности атомов, занимающих общие положения, для вырожденного типа симметрии получается двенадцать степеней свободы, иначе говоря, шесть вырожденных колебаний. При наличии т таких совокупностей получится 6/ге вырожденных колебаний. Это справедливо не только для типа симметрии Е точечной группы Сз , но также для дважды вырожденных типов симметрии всех точечных групп, за исключением точечных групп Ср, Ср,1 и Т. Для последних групп отсутствуют плоскости о , проходящие через ось Ср или оси С , перпендикулярные оси Ср, а поэтому нет причин для удвоения числа степеней свободы. Для этих точечных групп т совокупностям атомов, занимающих общие положения, соответствует только 3/ге дважды вырожденных колебаний. [c.154]

Степени свободы колебательные 488 Степень вырождения 23 гибридизации 315 перекрывания 389 Стерический множнтель 489 [c.749]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...