Фурье в конечной среде

Генерацией сдвиговых гармоник в кристаллах объясняется и возможный в них особый тип нелинейного искажения формы упругой волны [35] ). Как известно, в изотропных твердых телах распространение волны в нелинейной среде сопровождается укру-чением ее фронта и в конечном итоге превращением волны в пилообразную. На языке фурье-представлений это означает, что ее спектр обогащается высшими гармониками. В кристаллах наряду с [c.293]

Кристалл, в смысле его поведения в электромагнитном поле, во многом аналогичен уже упомянутой модели диэлектрических щариков. Под действием длинноволнового электрического поля Е (длина волны а, где а — размер щариков) в такой среде , как это сразу ясно, возникает не только длинноволновая индукция О, но и коротковолновая поляризация (и индукция), порождающая коротковолновое электрическое поле. Но коротковолновое поле Е в неоднородной среде в свою очередь может вызывать длинноволновую поляризацию (именно это и отражено в (4.4) и (4.16) ). Поэтому уравнения поля в общем случае как раз и не распадаются на уравнения для отдельных фурье-компонент. Если составляющие среду шарики (атомы) распределены в среднем (в среднем по ансамблю или в среднем за длительное время) равномерным в пространстве образом, то при рассмотрении средних величин коротковолновые составляющие исчезают. Это и отвечает однородной в пространстве среде, причем однородность понимается в статистическом смысле. Данная однородная в среднем среда в определенный момент времени всегда, конечно, пространственно неоднородна, но соответствующие отклонения от среднего считаются флуктуациями. При учете флуктуаций длинноволновое поле порождает коротковолновое поле и в однородной (в среднем) среде. [c.134]

Название групповая скорость подчеркивает то обстоятельство, что эта скорость проявляется при распространении группы волн , т. е. импульса конечной длительности, содержащего несколько полных периодов колебаний. Согласно теореме о двойном интеграле Фурье, такую группу можно представить в виде бесконечной суммы гармонических составляющих, заполняющих непрерывный спектр частот от О до оо. Если группа распространяется в недиспергирующей среде, то все гармонические составляющие, независимо от своей частоты, распространяются с одинаковыми скоростями, проходят одинаковые пути и при сложении элементарных колебаний в месте приема воссоздают импульс первоначальной формы. Группа волн в этих условиях распространяется, не претерпевая искажений. В диспергирующей среде, наоборот, гармонические составляющие распространяются с различными скоростями и при сложении в месте приема образуют импульс, форма которого отлична от первоначальной, т. е. возникают искажения формы передаваемого сигнала. [c.216]

Пусть в газе распространяется плоска ударная волна, причем все величины за и перед волной постоянны. Нас интересует взаимодействие этой волны со слабыми возмущениями (акустическими волнами неоднородностями плотности, покоящимися относительно газа). Поставленная задача представляет практический интерес, поскольку в среде, по которой распространяются ударные волны, всегда существуют слабые (или конечные) неоднородности. Кроме того, данный вопрос тесно связан с проблемой устойчивости ударных волн. Отметим еще одно обстоятельство. Ударная волна — возмущение сугубо нелинейное. Для слабых (линейных) возмущений справедлив принцип суперпозиции. Естественным является вопрос, что произойдет в результате взаимодействия линейного и нелинейного возмущений Вначале ограничимся слабыми возмущениями в виде плоских волн. В самом деле, любое слабое возмущение можно представить в виде суперпозиции плоских волн с помощью преобразования Фурье. Затем будет рассмотрено взаимодействие пространственных возмущений с ударной волной. [c.50]

Если предположить, что опорное изображение может содержать N = 10 разрешенных элементов и иметь динамический диапазон 60 дБ, то в Фурье-плоскости изменения интенсивности света могут достигнуть 160 дБ. Совершенно ясно, что такого динамического диапазона светочувствительная среда иметь не может. Приведенный пример является, конечно, предельным случаем, с которым трудно столкнуться на практике. Вместе с тем он показывает, что среды для записи согласованных фильтров должны превосходить по динамическому диапазону устройства ввода изображений. Более того, можно утверждать, что из-за ограничений, связанных с динамическим диапазоном, согласованный фильтр в его строгом определении может быть записан далеко не для любого изображения. [c.252]

До сих пор рассматривалась бесконечная среда. Предположим теперь, что вещество не заполняет всего пространства и имеет одну или две плоские границы, т. е. имеет форму полупространства или бесконечно длинной пластины конечной толщины. И в этом случае точное решение уравнения переноса может быть получено либо разделением переменных, либо с помощью преобразования Фурье. Поскольку решение должно удовлетворять граничным условиям только для половины всего диапазона изменения угла, а именно Ф (л , х) = О для х > О или х < О в зависимости от того, каков знак для входящих нейтронов, математически эта задача оказывается более сложной. [c.71]

Заметим, что для определения состояния конечного объема сплошной среды нужно, вообще говоря, всегда задавать функции (а не числа) — распределение деформаций, температуры и т. д. Задание функции равносильно заданию бесконечного числа параметров (например, коэффициентов Фурье для этой функции). Поэтому число определяющих параметров для конечного объема в общем случае для любых моделей сплошных сред всегда бесконечно. [c.196]

Уравнение распространения (2.3.35)-нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, которое, вообще говоря, нельзя решить аналитически, за исключением некоторых частных случаев, когда для решения применим метод обратной задачи рассеяния [27]. Поэтому часто для изучения нелинейных эффектов в световодах необходимо численное моделирование. Для этой цели можно использовать множество численных методов [31-38], которые можно отнести к одному из двух классов 1) разностные методы и 2) псевдоспектральные методы. Вообще говоря, псевдоспектральные методы на порядок или даже более быстрее при той же точности счета [39]. Одним из наиболее широко используемых методов решения задачи распространения импульсов в нелинейной среде с дисперсией является фурье-метод расщепления по физическим факторам (SSFM) [33, 34]. Относительно большая скорость счета этим методом по сравнению с большинством методов конечных разностей достигается благодаря использованию алгоритма быстрого фурье-преобра-зования [40]. В этом разделе кратко описывается фурье-метод с расщеплением по физическим факторам, а также его применение для задачи распространения импульсов в волоконном световоде. [c.49]

Полупрозрачными называют материалы, обладающие конечным пропусканием и поглощением радиации. Перенос энергии в них осуществляется двул1я путями — теплопроводностью и излучением. Феноменологическое описание явления сводится к уравнению сложного лучисто-кондуктив-пого теплообмена (ЛКТ). Изучение свойств материалов указанного класса об.ладает существенными особенностями, причиной которых является невозможность использования классических методов исследования, базирующихся на уравнении Фурье. Развивающаяся теория ЛКТ одновременно с разработкой методов расчета температурных полей в полупрозрачных средах рассматривает способы исключения лучистой составляющей тенлопереноса и выделения истинных значений теплофизических свойств этих веществ. Некоторые аспекты этой большой проблемы рассмотрены в настоящей работе. [c.97]

Дальнейшее развитие теории вихрей в плазме было связано с учетом влияния дисперсии волн, что наряду с учетом конечности дрейфовой скорости приводит к появлению качественно новых эффектов. В частности, уединенные вихри альфвеновского типа, для которых существенны эффекты дисперсии, могут самопроизвольно усиливаться под влиянием диссипации на электронах. Свободная энергия при этом черпается из неоднородности плазмы [0.13]. Существенно, что хотя в линейном приближении наличие шира магнитного поля стабилизирует диссипативные неустойчивости, уединенные альфвеновские вихри не чувствительны к ширу из-за локализации на малых размерах. Они имеют свойства солитонов в диспергирующих средах, где фурье-гармоники, составляющие волновой пакет, в линейном приближении имеют разные частоты, зависящие от волнового вектора нелинейным образом. В результате со временем линейный волновой пакет в координатном пространстве [c.6]

Известно [25, 57, 197], что для среды с поглощением (Im е > 0) условия 1—5 обеспечивают единственность решения исходной электродинамической задачи. При исследовании задач дифракции на структурах, находящихся в среде без поглощения (Im е = 0), под их решением понимаем предел решений в среде с поглощением, когда Im е ->- 0. Единственность решения задач дифракции обеспечивается введением условия 5. Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасенной в любом конечном объеме. Если искомое поле представлено в виде Фурье, то это условие определяет пространство числовых последовательностей, которому должны принадлежать неизвестные амплитудные коэффициенты. В таком виде это условие удобно использовать при доказательстве разрешимости полученных тем или иным путем бесконечных систем уравнений относительно этих коэффициентов. Если граничные поверхности имеют геометрические сингулярности, например острые ребра, то из условия 5 следует условие на ребре в форме Мейкснера [54, 121]. Последнее обычно применяют при рассмотрении различных математических особенностей полученного решения и анализа рассеянного поля вблизи ребер структуры. Из условия 5 следует, что в окрестности ребра ни [c.15]

В приведенном выше анализе предполагалось, что регистрирующая среда способна разрешить весь представляюш,ий интерес спектр пространственных частот, за исключением, пожалуй, лишь частоты отсечки, обусловленной конечными размерами голограммы или линзы, используемой в процессе записи. Разумеется, в любом практическом случае регистрируюш,ая среда (например, фотопластинка) обладает конечной разрешаюш,ей способностью и ЧКХ ре- гистрирующей среды оказывается полезной мерой диапазона пространственных частот, в пределах которого можно получить заметный отклик. Для голограммы Фурье влияние ограниченной ЧКХ регистрируюш,ей среды на восстановленное изображение выражается не в ухудшении разрешения в изображении, а в ограничении поля зрения около опорной точки. Изучением таких эффектов в обш,ем виде занимался ван Лигтен [11]. [c.191]

Широкое распространение в технике получили детали, представляющие собой тела вращения со сложной геометрией меридионального сечения, нагруженные неосесимметрично. Для определения НДС такого класса объектов необходимо решение пространственной задачи механики сплошной среды. Применение МКЭ с трехмерной дискретизацией в декартовой системе координат не очень удобно в отношении аплроксимации геометрии в окружном направлении и решения, которое значительно сложнее, чем в цилиндрической системе координат. При использовании удобной для этих целей цилиндрической системы координат возникают проблемы, связанные с описанием смещений как твердого целого в направлении, перпендикулярном к оси вращения, при полиномиальной аппроксимации перемещений в МКЭ в окружном направлении. При этом необходимо применять специальные меры [70, 134], чтобы избежать фиктивных напряжений в конструкции. Эти проблемы не возникают при решении задачи с использованием так называемого ПМКЭ [62], в котором решение в окружном направлении описывается отрезком ряда Фурье, а в меридиональном направлении производится дискретизация конечными элементами. Для точного учета смещений как твердого целого в этом случае достаточно нулевой и первой гармоники. [c.156]

Одними из первых исследований в этом направлении были работы Д. Г. Натрошвили [16, 17], где изучены свойства фундаментальных решений в виде кратных интегралов Фурье и обобщенных потенциалов. Однако, возможно построение интегральных представлений в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости или по конечному отрезку [9]. Они могут быть эффективно использованы при численной реализации этих интегральных уравнений на основе метода граничных элементов [5]. Так, например, для ортотропной среды в плоской задаче представление фундаментальных решений имеет вид [c.305]

Таким образом, расхождения закона Максвелла (5.10) или (5.11) с опытом происходят за счет нарушения материальных уравнений (5.2). Такие уравнения справедливы не всегда, а только для монохроматических полей, причем г и 1 являются функциями частоты электромагнитного поля, различными для различных веществ. Чтобы отметить это обстоятельство, величины 8 (со) и (со) часто называют динамическими диэлектрической и магнитной проницаемостями, в отличие от статических проницаемостей, в которые они переходят при со = 0. Лишь в области сравнительно длинных электромагнитных волн (превышающих примерно 1 см) функции е (со) и (со) становятся постоянными для всех веществ. Поэтому в оптике электромагнитное поле приходится разлагал на монохроматические составляющие, что всегда возможно, согласно математической теореме Фурье (см. т. III, 128). Предполагая, что выполняется принцип суперпозиции, эти монохроматические составляющие можно рассмагривать независимо друг от друга. Таким путем можно исследовать распространение электромагнитных волн любого спектрального состава. Функции можно разлагать не только по синусам и косинусам, но и по бесконечному множеству других, полных систем функций. Однако выполнение материальных уравнений (5.2) для монохроматических полей, а также многие другие причины делают в оптике разложение полей на монохроматические составляющие физически выделенным среди множества других математически возможных разложений. Изложенные соображения, как и соображения, излагаемые в следующем пункте, имеют, конечно, общее значение, а не только для плоских электромагнитных волн. [c.39]

Из классической гидродинамики следует, что свободный линейный канал с шириной W (в сантиметрах) имеет эффективную проницаемость 10 1V /12 дарси. Распространяя метод интегралов Фурье или рядов Фурье, развитый в главе IV для математической обработки однородных систем, можно получить вывод для распределения давления внутри системы, бесконечных или конечных размеров, состоящей из однородной двухразмерной пористой среды (сам известняк), рассеченной линейной голосой отличной проницаемости (трещина), которая вскрыта эксплоатационной скважиной. Изменение давления вдоль полосы вблизи скважины линейно и меняется логарифмически на больших расстояниях от скважины. Однако линейное изменение продолжает сохраняться на далеких расстояниях от скважины, по мере того как возрастает проницаемость полосы (трещины) относительно той величины ее, которой обладает остальная часть системы (см. фиг. 152). Для фиксированной проницаемости линейной полосы (фиксированной ширины и проницаемости трещины) сопротивление сложной системы возрастает с уменьшением проницаемости основной массы известняка. Однако, если проницаемость известняка сохраняется фиксированной, то результирующее сопротивление уменьшается с увеличением щирины трещины. При изменении ширины больше О 5 мм сопротивление системы обратно пропорционально кубу ширины трещины. [c.371]

Другой частный случай, когда а =Х > позволяет сопоставить (3.22) с уравнением диффузии д и - Ад,и, представление которого в Фурье-пространстве приводит к закону дисперсии к = Ат. Напомним, что при выполнении условий (3.15), выражение для фазовых скоростей волн (Фурье-составляющих), подчиняющихся закону дисперсии (3.22) расходится при бесконечном возрастании частоты. С з етом того, что в реальных физических фрактальных средах применимость этого закона ограничена масштабами самоподобия фрактальных кластеров (в области высоких частот - характерным масштабом наименьших структурообразующих элементов фрактальной системы), никаких физических затруднений принципиального характера это не вызывает. С точки же зрения математики это свойство совпадает со свойством уравнения диффузии, в отличии от обычного волнового уравнения, для которого, как известно, скорость распространения волн имеет конечный предел (а при отсутствии потерь - просто постоянна во всем частотном диапазоне). [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...