Топологический индекс

Напомним еще понятие топологического индекса векторного поля. Рассмотрим векторное поле (ж) на плоскости р, д, которое обращается в нуль в изолированной точке (0) = 0. Оно определяет отображение окружности = 1 на себя В е) 5 , по формуле [c.215]

Другую категорию составляют дисклинации с полуцелыми индексами. Эти дисклинации неустранимы, они топологически устойчивы. [c.206]

Следует отметить эффективность использованного в программе типа конечного элемента и метода дискретизации. С помощью произвольных четырехугольников, топологически регулярных сеток можно описывать довольно сложные объекты, что позволяет обойтись без матрицы индексов и существенно упростить реализацию алгоритма МКЭ на ЭВМ. Полуавтоматическая дискретизация дает возможность исследователю легко управлять сгущением сетки в местах ожидаемых градиентов напряженного состояния при незначительной трудоемкости составления исходной информации. [c.46]

В работах [155, 156] указаны также топологические препятствия к интегрируемости в терминах фундаментальной группы многообразия М" она не должна содержать коммутативных подгрупп конечного индекса. [c.137]

Двухпараметрическое семейство, построенное выше, не содержит предельных циклов, в отличие от только что построенного семейства. Но эти два семейства объединяет тот факт, при котором каждой независимой паре безразмерных параметров (Л, соответствует пара независимых индексов (в данном случае к , к ), кодирующих топологический тип фазового портрета. В последнем случае надо сделать оговорку на имеющиеся в семействе портреты с предельными циклами. Такие портреты могут иметь топологические типы, отличные от портретов с теми же индексами к, но без предельных циклов. В последнем случае можно как-то метить индексы к и [c.232]

Видно, что седловые точки из НПР вносят в образующийся топологический тип трехмерного фазового портрета свои изменения, которые не влияют на тип портрета, описанный в определении. В нашем понимании топологические типы трехмерных фазовых портретов кодирует лишь индекс , [c.280]

Следствие. Если изолированные состояния равновесия и Og динамических систем, соответственно, (А ) и (А2) имеют одинаковые топологические структуры, то их индексы Пуанкаре равны. [c.562]

Линия S. Рассмотрим далее линию S. Из табл. 34 мы устанавливаем, что в направлениях, перпендикулярных S, все ветви имеют нулевой наклон. Хотя приведен только случай S = = (л, я, 0)1/а, результат остается в силе для всех точек на линии S. Изучая далее поведение дисперсионных кривых вдоль S, мы можем установить наличие дополнительных критических точек в кал<дой ветви. Другое дело — определение индексов этих точек для этого требуется детальная топологическая информация, которую можно получить только численными расчетами. [c.172]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

С топологической энтропией (теорема 8.3.1) и весьма элементарным образом — с числом периодических орбит в сл ае отображений окружности. Во-вторых, степень отображения сферы — главный ингредиент в определении индекса неподвижной точки (определение 8.4.2). [c.317]

В определенных случаях анализ индексов неподвижных точек с необходимостью приводит к заключению об экспоненциальной скорости роста числа периодических точек. В наиболее общей постановке этот вопрос является предметом теории Нильсена, которая объединяет гомотопии и гомологии, рассматривая индексы неподвижных точек различных поднятий данного отображения на универсальное накрытие. Среди ограниченного набора многообразий, которым уделяется специальное внимание в этой книге, эта теория дает нетривиальные результаты для отображений торов произвольных размерностей и поверхностей более высокого рода. Здесь мы сосредоточим внимание на отображениях торов, для которых основные идеи теории Нильсена могут быть представлены очень наглядно и без больших топологических затруднений. [c.338]

При достаточно малом е топологическая степень этого отображения не зависит от и называется индексом поля в точке О, или индексом точки О. [c.216]

Сводка топологических результатов о неподвижных точках. С индексом Кронекера—Пуанкаре связано несколько полезных утверждений, доказываемых в топологии. [c.183]

Более точно можно определить Мт как геометрическое место тех точек допустимой области (I, i,..., Рз, рз), в которых функция (33) 394 принимает постоянное значение А, причем слово допустимой означает, что структура этой области отвечает некоторым требованиям. Например, наклонность i должна рассматриваться как угловая переменная (mod л), а еслп требуется (как и в 394), чтобы треугольник Д был невырожденным, то подпространство трех расстояний р,- должно определяться неравенствами О С pi < Pj + Pit. Фактически полное многообразие всех возможных состояний движения в задаче трех тел получим лишь в том случае, если также включим, с одной стороны, предельные случаи сизигий и коллинеарных решений, когда, АI = О С pi = Рз -f- рй для одной какой-либо системы индексов I, /, к и, с другой стороны, предельные случаи парных и одно-1 ременных столкновений, когда по крайней мере одно pi = 0. Действительно, в 498—500 мы увидим на сравнительно простом примере, насколько существенными являются столкновения для понимания топологической структуры. Конечно, лишь детальный анализ позволит решить, какова допустимая область (I, I, Pl, Рг, Рз) в случае, когда (pi, рз, рз) соответствует какому-либо из предельных случаев. [c.422]

Постоянство индексов U и I, при непрерывной деформации контура следует из общей топологической теоремы о гомологической инвариантности индекса пересечения, о чем речь пойдет в конце этого параграфа [c.76]

Каустический индекс /с(Г), как непосредственно следует из его определения, является индексом пересечения (Кронекера — Пуанкаре) одномерного ориентированного цикла Г и двусторонне лежащей в многообразии каустики. Из хорошо известной топологической теоремы о гомологической инвариантности индекса пересечения следует равенство [c.78]

Следует подчеркнуть, однако, что указанное сходство не означает, что мы вывели из первых принципов общую теорию конденсации топологически неупорядоченной среды. Уравнение Ван-дер-Ваальса само по себе откровенно феноменологическое. В сущности, если бы оно так хорошо не описывало поведение реальных жидкостей, то у нас не было бы оснований им пользоваться. Из уравнения Ван-дер-Ваальса можно в духе классической теории Ландау ( 5.11) вывести правдоподобные значения критических индексов, однако они не согласуются с точными экспериментальными данными. Мон ет быть, в будущем докажут, что гипотезе универсальности ( 5.12) можно доверять и что точные результаты, полученные, скажем, для критического поведения конденсата решеточного газа на больших расстояниях, можно применять также и для настоящих жидкостей. Пока же соответствующие теоремы не доказаны и даже применимость указанной гипотезы находится под вопросом [И]. [c.259]

Рис. 5. Краевая дислокация в кубическом кристалле с осями вдоль г, у и г, Линия дислокации, которая перпендикулярна плоскости рисунка и изображена точкой Л, является краем лишней полуплоскости, Замкиугый контур у отвечает обходу линии дислокации в положительном направлении. Дислокация характеризуется топологическими индексами N =1, N,= N. = 0 и вектором Бюргерса 6 — а,е , перпендикулярным линии дислокации.

Таким образом, индекс Франка не является топологическим инвариантом. Топологически инвариантен лишь факт его цело- или полуцелочисленности. [c.206]

Из сказанного следует, что все дисклинации в нематической среде распадаются на две категории, в каждой из которых все дисклинации топологически эквивалентны — могут быть переведены дргуг в друга путем непрерывного деформирования поля п (г) (С. И. Анисимов, И. Е. Дзялошинской, 1972). Одну категорию составляют дисклинации с целыми индексами Франка эти дисклинации к тому же топологически неустойчивы — они могут быть вообще устранены путем непрерывного деформирования. Дисклинации целого индекса может заканчиваться в объеме нематика. [c.206]

Технические требования помещают и а поле первого листа топологического сборо чного чертежа. Допускается оформлять их отдельными документами с буквенным индексам в обозначении документов ТБ . В технических требованиях указывают сведения [c.98]

Топологич. тип параметров порядка кристалла (в соответствии с приведенной выше схемой) будет характеризоваться группой л ] (Г ) = Z 2 Z, т. е. топологически устойчивые дисклшшиии в кристаллах обладают тремя целочисленными тонологич. индексами jV , JV и N , каждый из к-рых сохраняется при распадах и слияниях дислокаций. Отметим, что закон сохранения трёх индексов Л , [c.137]

Таким образом, закон изменения параметра порядка со аналогичен соответствующему закону в случае фазового перехода II рода с критическим индексом V. При Х - Ц ) V/( X - Ц )< -v) по другую сторону перехода, при ц > Х , в качестве параметра "беспорядка принимают либо величину положительного ляпуновского показателя X, либо топологическую энтропию А, либо порог синхронизации В [186]. Вблизи значения для показателя X выполняется следующая степенная зависршость [186] [c.107]

Этап А можно теперь свести к геометрической задаче Выявить все возможные топологически различные диаграммы без обозначения индексов, которые могут быть построены из Ъ связей. Две диаграммы по определению являются топологически эквивалентными, если они имеют одинаковое число связей и вершин, а такжа одинаковую кратность связей и если они могут быть наложены друг на друга путем такого непрерывного перемещения их вершин в плоскости, при котором связи (рассматриваемые как идеальна растяжимые) всегда остаются присоединенными к одним и тем ж вершинам. При таком перемещении может оказаться, что связь будет пересечена вершиной, но такую точку пересечения не следует рассматривать как новую вершину. На фиг. 6.2.4 показаны некоторые примеры топологически эквивалентных диаграмм. [c.217]

В дальнейшем при расчете упругих свойств перколяционной модели (см. рис. 2.15) условимся принимать порог Шкр = 0,15 0,03, так как для рассматриваемой модели т кр является топологической характеристикой, а не значением объемной концентрации, при которой возникает жесткость перколяционной системы. Критический индекс / при этом будем приравнивать t — 1,6-=-2 в связи с тем, что в данной модели критический индекс не зависит от свойств компонентов, а влияние на эффективные модули упругости коэффициентов Пуассона компонентов учитьтается непосредственно при задании исходных данных. [c.206]

Остановимся, наконец, на возможности генерации в лазерах регулярных винтовых полей. Эксперименты показали, что такие поля не сложно получать во многих типах лазеров при не слишком высоком превышении порога самовозбуждения. Вначале на отражаюш ее покрытие одного из зеркал на оси резонатора наносят маленькое пятнышко из поглощаюш его материала. Это подавляет возбуждение мод с максимальным значением интенсивности на оси, обладаюш их, как правило, наибольшим усилением. Затем уменьшают размеры внутрирезонаторной диафрагмы до тех пор, пока излучение лазера на выходе не примет кольцевую форму (см. рис. 2.7.7, а). Это и есть пучок с винтовой структурой структурой волнового фронта. Его интерферограмма приведена на рис. 2.7.7, б. Ее сравнение с расчетной интерференционной структурой на рис. 2.7.1, а позволяет утверждать, что в центре сфотографированного пучка находится ВД с топологическим зарядом, равным единице. Варьируя размеры поглощаюш ей зоны на поверхности зеркала и внутрирезонаторной диафрагмы, в принципе можно получать регулярные винтовые моды с более высоким топологическим зарядом. То, что лазер в таких условиях генерирует лишь одну из двух возможных винтовых мод (правую или левую) объясняется неравенством их потерь. Вблизи порога самовозбуждения из-за всегда присутствуютцих слабых паразитных отражений от элементов лазера добротность одной из винтовых мод может случайным образом оказаться выше, и в результате межмодовой конкуренции в резонаторе будет формироваться мода, соответствуюш ая ВД определенного знака. При увеличении накачки лазера и значительном превышении порога самовозбуждения указанные факторы нивелируются, и появляется мода с противоположной закруткой. Интерферируя между собой, моды будут формировать поле, описываемое формулой (2.1.26) с нулевым значением индекса р. Такое поле характеризуется системой располагаюш ихся по диаметру пучка узловых линий, количество которых [c.134]

Другими словами, индекс Пуанкаре является инвариантом топологических отобранчений. сохраняющих траектории. Справедливость этого утверждения обусловливается тем, что при таких отображениях состоятше равновесия переходит в состояние равновесия, а каждый его сектор — в одноименный сектор. [c.562]

Пополнение Ъ по этой метрике называется группой 2-адических целых чисел н обычно обозначается 22- Эта топологическая группа компактна. Пусть —замыкание множества четных целых чисел в метрике — подгруппа 7 индекса два). Докажите, что для сдвиг [c.43]

Следующий простой пример показывает, что трансверсальность существенна для устойчивости неподвижной точки. В любой естественной топологии, скажем, в С-топологии при О г оо, можно рассмотреть вопрос, является ли наличие неподвижной точки свойством, сохраняющимся при возмущениях, т. е. если М — гладкое многообразие, / Diff(M), хеМ — изолированная неподвижная точка / и отображение д е Diii(M) достаточно близко к /, то верно ли, что вблизи х найдется неподвижная точка р Ответ, вообще говоря, отрицателен диффеоморфизм / К -+ R, / х - х + х / + х ), впервые встретившийся нам в упражнении 2.1.3, имеет единственную неподвижную точку О, тогда как отображение /4-е вовсе не имеет неподвижных точек ни для какого е > 0. Этот пример не связан со свойством компактности, как это может показаться если М = S =K/Z и /(ж) = ж + 1/(2тг) sin та (mod 1) (см. рис. 3.3.1), то О — единственная неподвижная точка отображения /, а / -t- е не имеет неподвижных точек при 0<е< 1/2. Таким образом, предложение 1.1.4 без предположения трансверсальности не имеет места. Однако в следующей главе мы увидим (см. теорему 8.4.4), что некоторое чисто топологическое свойство изолированной неподвижной точки, а именно отличие ее индекса от нуля (определение 8.4.2), является достаточным для того, чтобы неподвижная точка сохранялась при С -возмущениях. [c.295]

Хотя все упомянутые выше понятия являются глобальными, некоторые взаимоотношения между ними устанавливаются с помощью ключевого локального понятия индекса неподвижной (или периодической) точки отображения или неподвижной точки потока, которое отражает топологическое поведение отображения либо соответственно отображения сдвига за время t вблизи неподвижной точки. В частности, рассмотрение точек, имеющих отличный от нуля индекс, важно по ряду причин например, они не исчезают в результате С -возмущений системы. Центральным элементом для установления связи между упомянутыми понятиями служит формула Лефшеца, выражающая сумму индексов неподвижных точек через гомологические данные. Понятие индекса является основным и для теории Нильсена, которая позволяет оценить снизу число периодических точек через гомотопические данные. В следующей главе мы покажем, как понятия, связанные [c.314]

Если рассматривается поток М.—С., имеющий замкнутые траектории, то единственное изменение состоит в том, что замкнутой траектории Ь соответствует так называемая круглая ручка Н индекса 1=и Ь). Она является расслоением над Ь (т. е. с топологической точки зрения, над окружностью), гомеоморф- [c.196]

Статья посвящена теории гладких динамических систем, за исключением вопросов, связанных со сложным предельным поведением траекториа осаов-ные понятия, различные топологические понятия типа индексов, системы Морса — Смейла, потоки на поверхностях, примыкающие вопросы топологической дннамнки. Библ. 83 найм. [c.244]

Итак, в типичных однопараметрическнх семействах градиентов встречаются лишь простейшие бифуркации типа А% Эта бифуркация описывает рождение или смерть пары критических точек соседних индексов Морса, топологически версальная деформация задается градиентами функций семейства [c.126]

Алгоритм перебора морсификаций / состоит в следующем. Вначале мы определяем топологические характеристики для некоторой реальной морсификацин исследуемой особенности. (Это неформальная задача в случае особенности коранга 2 она решается методом Гусейна—Заде [56] с помощью формул-(1), (2) с другой стороны, отсутствие особенности в таблице п. 2.2. объясняется только тем, что уже для нее эта задача пока не решена.). Затем к набору этих характеристик последовательно применяем всевозможные допустимые преобразования, при этом следим за тем, не обращается ли в О вектор индексов пересечения исчезающих циклов с классами Петровского. Если класс Петровского обращается в О, то распечатываются параметры соответствующей морсификацин. Восстановление реального шевеления по этим параметрам является вновь неформальной задачей, тем не менее во всех встретившихся случаях она не составила затруднений (см. таблицу на стр. 226—227 и рис. 126—134). При этом, пользуясь результатами п. 1.5, можно одновременно отслеживать локальные лакуг ны и для всех особенностей, стабильно эквивалентных данной.. [c.236]

Д". Одна и та же локальная лакуна может содержать очень большое количество топологически различных морсификаций. Поэтому распечатывается лишь по одному набору с каждым значением инварианта, использованного в п.2.3 для особенностей Хд, (сумма индексов Эйлера по отрицательным критиче- [c.238]

Начнем с определения понятия устойчивости и неустойчивости. Пусть задано топологическое пространство точки которого обозначим через р, и пусть а есть фиксированная точка пространства Под окрестностями в дальнейшем будем понимать только окрестности точки а в пространстве 9i. Пусть pi = Sp топологическое отображение окрестности ili на окрестность iBi, причем точка а = За отображается сама в себя. Обратное преобразование p i = переводит Bi в ili, и вообще рп = З р (п = О, 1, 2,...) будет топологическим отображением окрестности на окрестность которое имеет а неподвижной точкой. Для каждой точки р = ро пересечения ili П 1 =233 найдем последовательно образы pf +i = S pf (f = О, 1,...), пока р находится в ili, и равным образом p f -i = S pf , пока p f лежит в iBi- Всегда существует максимальное число к + 1 = п, такое, что все ро, , pn-i еще лежат в ill, но р там уже не лежит аналогичное утверждение справедливо для отрицательных индексов. При этом для каждого р из 233 имеется или конечная, или бесконечная в одну сторону, или бесконечная в обе стороны последовательность образов р =. .., p i, ро, pi, причем индекс к последовательно пробегает целые числа. [c.234]

Пример. Рассмотрим многообразие особенностей типа А2. Этот класс коразмерности 1 допускает естественную коориентацию. Коразмерность границы равна 2. Рассмотрим типичную точку на границе и построим двумерную поверхность, трансверсальную границе в зтой точке. След класса А2 на поверхности является кривой с особой точкой. Вне этой точки кривая трансверсально ориентирована. Если бы ситуация в зтой точке была топологически эквивалентна тому, что изображено на рис. 63, то тогда бы индекс пересечения кривых с замыканием А2 не существовал. Действительно, число пересечения малой окружности с центром в граничной точке я А2 в зтом случае не равно нулю, [c.126]

Наиболее серьезное ограничение полезности одномерных моделей с теоретической точки зрения связано с обязательной топологической их упорядоченностью ( 2.2). Это означает, например, что индекс узла I в уравнениях (8.12) всегда эквивалентен вектору периодической решетки (2.3), в которой среднее межатомное расстояние такое же, как и в настоящей системе. Диагональный беспорядок уровней энергии %1 и недиагональный беспорядок матричных элементов потенциальной энергии Vц могут быть связаны с двумя причинами во-первых, могут иметь место физические или химические различия между компонентами периодически расположенных ячеек периодической цепочки во-вторых, возможны 4>луктуации относительных расстояний между атомными центрами в цепочке, как это было в формуле (2.5), а беспорядок получается как следствие этих флуктуаций. Говоря математическим языком, нет возможности отличить беспорядок замещения в одномерном сплаве от эффектов, связанных со случайным характером расстояний между атомами в одномерном стекле или одномерной [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...